第二十二章函数章末检测卷（培优卷）2025-2026学年人教版八年级下册数学

**基本信息** 人教版八年级数学函数单元卷，以生活实际、科技前沿和文化素材为情境，覆盖函数定义、图像、性质及应用，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|函数定义、自变量取值范围、图像识别|结合摩天轮运动、苹果存量等情境，考查几何直观| |填空题|4题|分段函数、动点面积、链条长度函数|设计出租车收费、圆环扣合问题，体现模型意识| |解答题|8题|函数关系式、图像分析、动点综合|含机器人测试、温度变化等探究题，提升推理能力|

· 人教版新教材八年级数学第二十二章函数章末检测卷 · · 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．某车油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 5．如图①，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为，摩天轮绕中心O按逆时针方向匀速转动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过后，点P的高度h与t的函数图象如图②所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（    ） A．当时，h随t的增大而增大 B．摩天轮的直径为 C．P点离地面最高为 D．P点离地面时，摩天轮转动了 6．某苹果批发商连续4天购进苹果，并从第3天开始销售，苹果的存量S（吨）与时间t（天）的函数关系如图所示，则苹果从开始进货到销售完毕所用的天数是（    ） A．4.5天 B．5天 C．5.5天 D．6天 7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为5时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（    ） A．0 B． C． D． 8．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑向处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．甲、乙同学在8秒时相遇 B．A，B两处的距离是80米 C．其中一位同学的速度为5米秒 D． 9．王大爷饭后出去散步，从家出发，走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离y（单位：m）与离家时间x（单位：）之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔记录一次温度计上显示的度数，记录结果如表： 时间（s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计上的度数（） 49 31 22 16 14 12 12 下列说法中不正确的是（  ） A．当时，温度计上的度数是 B．这个表中时间是自变量，温度计上的度数是时间的函数 C．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变 D．当温度计的度数为时，经过的时间可能是 11．《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：）与温度（单位：）之间的对应关系，则下列说法正确的是（    ） A．硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B．随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C．时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D．溶解度为时，硝酸钾溶液的温度比氯化钾溶液的温度低 12．如图，矩形中，对角线，交于点．点和点分别是边，的中点，，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 评卷人 得分 二、填空题 13．大连市出租车收费标准是这样规定的：早晨5点到晚上22点，这个期间乘车不超过3千米，付车费10元，超过3千米后，按每千米2元收费，已知李老师在上午8点至9点期间，乘出租车行驶了千米，付车费y元，则y与x之间的函数表达式为________． 14．函数中，自变量的取值范围是______． 15．如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 16．如图1，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米秒，秒时点的速度变为厘米秒，秒后点以厘米秒速度匀速运动．如图是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是____． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图所示的是某地一天内的气温变化记录，根据图象回答下列问题． (1)这天，7时的温度为______，10时的温度为______，14时的温度为______； (2)这一天中气温在逐渐升高的时间段为______； (3)求出这一天中最高气温与最低气温的温差． 18．已知y与x之间满足，且当时，．求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 19．如图，某品牌自行车1节链条的长度为，圆的直径为．设链条长度为，链条节数为x． (1)观察图形，填写下表： 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度 … (2)上表的两个变量中，自变量是_______； (3)请写出y与x之间的函数解析式； (4)如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？ 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度 … 20．已知等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为． (1)求y关于x的解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当自变量时，求出函数值． 21．周六早上，小明8点钟从家里出发步行到图书馆还书，他走了一段路后，突然发现有一本书忘带，于是跑步回家取书，拿到书后跑步到图书馆办理了还书的手续，离开图书馆后他步行回家，小明离家的路程s(米)与时间t(分钟)之间的关系如图所示． (1)小明几点到达图书馆?他还书共用多长时间? (2)小明从出门到回家，路上走过的路程一共为多少米? (3)小明从图书馆回到家的速度是多少? 22．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 7 5 m 1 1 3 n 7 … (1)表格中：______，______． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是______； ②写出该图象的一条性质______； ③进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个解． 23．2026年4月19日，在北京亦庄举办了“人形机器人半程马拉松”赛事，冠军机器人“闪电”以50分26秒夺冠，超越了人类男子半马的世界纪录．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙沿同一路线出发，甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间的函数图象（如图）．根据图象回答下列问题： (1)甲行走的速度为______；乙行走的速度是______ ； (2)图中点表示的实际意义为______； (3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 24．如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． (1)参照图②，求a、b及图②中的c值； (2)设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值； (3)当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的． 试卷第6页，共9页 试卷第5页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 人教版新教材八年级数学第二十二章函数章末检测卷 · · 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．某车油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余油量等于总存油量减去流出的油量列出函数关系式即可求解． 【详解】解：∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的油量为升， 又∵剩余油量总油量流出油量， ∴． 2．函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 3．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分三个过程：当水的高度不高于小水杯的高度，当小水杯没有装满水，小水杯装满水，分别分析出高度与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为非0的定值，故选项A、D不合题意；当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意；选项C不合题意； 4．下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行判断即可． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，不一定有唯一的值与之对应，故不是的函数，符合题意． 5．如图①，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为，摩天轮绕中心O按逆时针方向匀速转动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过后，点P的高度h与t的函数图象如图②所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（    ） A．当时，h随t的增大而增大 B．摩天轮的直径为 C．P点离地面最高为 D．P点离地面时，摩天轮转动了 【答案】C 【分析】根据函数图象获取最高点、最低点坐标及变化趋势，结合摩天轮的实际几何意义（中心高度、半径、直径）进行判断即可． 【详解】解：由图②可知：函数图象的最高点纵坐标为， 点离地面最高为，故选项C正确； 函数图象显示随的变化呈周期性波动，既有增大也有减小， 当时，随的增大而增大说法错误，故选项A错误； 摩天轮中心距地面，最高点距地面， 摩天轮半径为， 摩天轮直径为，故选项B错误； 观察图象，当和时，的值均为， 点离地面时，摩天轮转动的时间不一定是，故选项D错误． 6．某苹果批发商连续4天购进苹果，并从第3天开始销售，苹果的存量S（吨）与时间t（天）的函数关系如图所示，则苹果从开始进货到销售完毕所用的天数是（    ） A．4.5天 B．5天 C．5.5天 D．6天 【答案】B 【分析】先求得购进苹果的速度是4吨/天，销售苹果的速度是8吨/天，据此求解即可． 【详解】解：根据题意和图象可得：购进苹果的速度是吨/天， 当在第3天时，库存物资应该有12吨，在第4天时库存8吨， 所以销售苹果的速度是（吨/天）， 所以剩余的8吨完全销售需要（天）， 故苹果从开始进货到销售完毕所用的天数是（天）． 7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为5时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用已知运算公式得出b的值，进而代入求出时对应的值． 【详解】解：∵输入的x的值为5时，输出的y的值为7， ∴， 解得：， 若输入x的值是2，则输出的y的值是：． 8．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑向处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．甲、乙同学在8秒时相遇 B．A，B两处的距离是80米 C．其中一位同学的速度为5米秒 D． 【答案】C 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲、乙同学在8秒时相遇，甲、乙两人之间的距离为80米，甲秒跑完米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑秒钟的路程之和为米，从而可以求得乙的速度，然后用除以乙的速度，即可得到的值． 【详解】由图象可得，甲、乙同学在8秒时相遇，故A正确； 由图象可得，当时，甲、乙两人之间的距离为80米，即A，B两处的距离是80米，故B正确； 由图象可得，甲的速度为(米秒)， 乙的速度为(米秒)， 故C错误； 秒所对应的时间为乙同学到达A地， ∴，故D正确． 9．王大爷饭后出去散步，从家出发，走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离y（单位：m）与离家时间x（单位：）之间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将王大爷的运动过程分为三个阶段：去公园、在公园休息、回家，分别分析各阶段离家距离随时间的变化情况，确定关键的时间节点和图像走势即可． 【详解】解：王大爷从家出发走到离家的公园， 第一阶段图像为从上升到的线段； ∵在公园休息了， ∴第二阶段离家距离不变，时间从持续到，图像为平行于轴的线段； ∵用返回家中， ∴第三阶段离家距离从减小到，时间从持续到，图像为下降的线段； 观察各选项，只有D选项符合上述特征． 10．小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔记录一次温度计上显示的度数，记录结果如表： 时间（s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计上的度数（） 49 31 22 16 14 12 12 下列说法中不正确的是（  ） A．当时，温度计上的度数是 B．这个表中时间是自变量，温度计上的度数是时间的函数 C．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变 D．当温度计的度数为时，经过的时间可能是 【答案】D 【分析】根据表格中的数据，结合变量、函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、由表格数据可得，当时，温度计上的度数是，说法正确，本选项不符合题意； B、时间主动变化，对每一个确定的，都有唯一确定的温度计度数与之对应，因此时间是自变量，温度计上的度数是的函数，说法正确，本选项不符合题意； C、观察表格数据，温度计度数从逐渐下降到，之后保持不变，因此温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变，说法正确，本选项不符合题意； D、时温度为，时温度为，温度随时间增加持续下降，对应的时间在到之间，，此时温度低于，不可能为，说法错误，本选项符合题意． 11．《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：）与温度（单位：）之间的对应关系，则下列说法正确的是（    ） A．硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B．随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C．时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D．溶解度为时，硝酸钾溶液的温度比氯化钾溶液的温度低 【答案】D 【分析】根据函数图像分析溶解度随温度的变化趋势，通过观察图像交点及特定纵坐标对应的横坐标大小关系进行判断． 【详解】解：A、当温度时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度小，故该选项说法错误，不符合题意； B、随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐增大，故该选项说法错误，不符合题意； C、由图可知两曲线交点横坐标约为，当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度小，故该选项说法错误，不符合题意； D、在纵轴上取，作水平线与两曲线相交，可知硝酸钾曲线对应的横坐标（温度）小于氯化钾曲线对应的横坐标，即硝酸钾溶液的温度比氯化钾溶液的温度低，故该选项说法正确，符合题意． 12．如图，矩形中，对角线，交于点．点和点分别是边，的中点，，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为，的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】从图2中可看出当时，此时的面积为0，说明点M一定在上，选项中只有点O在上，所以点M的位置可能是图1中的点O． 【详解】解：∵，，四边形是矩形， ∴当时，点P到达D点，此时的面积为0，说明点M一定在上， ∴从选项中只有点O在上，所以点M的位置可能是图1中的点O． 评卷人 得分 二、填空题 13．大连市出租车收费标准是这样规定的：早晨5点到晚上22点，这个期间乘车不超过3千米，付车费10元，超过3千米后，按每千米2元收费，已知李老师在上午8点至9点期间，乘出租车行驶了千米，付车费y元，则y与x之间的函数表达式为________． 【答案】/ 【详解】解：由题意，得， 即y与x之间的函数表达式为． 14．函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：二次根式的被开方数必须是非负数，因此， 解得：， 分式的分母不能为，因此， 解得：， 综上，自变量的取值范围是． 15．如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 【答案】 【分析】先分析单个圆环、两个圆环扣在一起时的长度，找出每增加一个圆环长度的变化规律，再据此列出个圆环扣紧时总长度与的关系式． 【详解】解：∵单个圆环的外圆直径为，环宽为， ∴每增加一个圆环，长度增加， ∵个圆环扣在一起时，第一个圆环长度为，后面还有个圆环， ∴总长度， ∵， ∴． 16．如图1，在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为厘米秒，秒时点的速度变为厘米秒，秒后点以厘米秒速度匀速运动．如图是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时秒；④当的值为时，点运动的路程为厘米．其中正确结论的个数是____． 【答案】个 【分析】①根据图2可得时，代入的面积得出，求得，同理得，根据题意秒时点的速度变为厘米秒，得出；②根据题意分析可得总路程为，分段计算时间，即可得出的值；③长，速度为，得出点从点运动到点用时秒；④前秒路程为，后秒路程为，得出总路程，即可求解． 【详解】解：①在长方形中，，当在上运动时，的面积， 由图，时， 代入得：， 解得， 初始速度为，因此秒， 秒时，同理得，刚好到达点， 从到，共秒，走了， 因此速度，结论①正确； ②总路程为，前秒走了， 剩余路程，速度为， 剩余时间秒， 总时间秒，结论②错误； ③∵长，速度为， ∴用时秒，结论③正确； ④前秒路程：，秒共秒， 路程：， 总路程，不是；结论④错误； 正确的结论是①、③，共个． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图所示的是某地一天内的气温变化记录，根据图象回答下列问题． (1)这天，7时的温度为______，10时的温度为______，14时的温度为______； (2)这一天中气温在逐渐升高的时间段为______； (3)求出这一天中最高气温与最低气温的温差． 【答案】(1)，2，5 (2)时 (3) 【分析】（1）在图象上找到横坐标是7，10，14对应的点即可确定相应的气温； （2）找出气温上升对应的图象即可； （3）从图象中找出最高气温和最低气温，再求出它们的差即可． 【详解】（1）解：7时、10时、14时的气温是、、． （2）时的气温在升高． （3）最高气温是，最低气温是-3℃，所以最高气温和最低气温的温差为 18．已知y与x之间满足，且当时，．求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）将代入求解即可； （3）将代入求解即可； 【详解】（1） 解：∵，当时，， 将代入解析式得， 解得， 因此； （2）解：将代入得； （3）解：将代入得， 整理得， 解得 ． 19．如图，某品牌自行车1节链条的长度为，圆的直径为．设链条长度为，链条节数为x． (1)观察图形，填写下表： 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度 … (2)上表的两个变量中，自变量是_______； (3)请写出y与x之间的函数解析式； (4)如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？ 【答案】(1)， (2)链条节数x (3) (4)这根链条安装到自行车上后，总长度为 【分析】（1）先求出每增加一节链条长度增加的数值，然后填表； （2）根据链条长度随链条节数的变化而变化，得出自变量； （3）根据第一节链条，然后每增加一节链条，长度增加，得出y与x之间的函数解析式； （4）根据自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短，结合函数解析式，求出安装后的长度． 【详解】（1）解：每增加一节链条长度增加：， ， ， 填表如下： 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度 … （2）解：上表的两个变量中，自变量是链条节数x； （3）解：根据题意得：y与x之间的函数解析式为： ． （4）解：， 答：这根链条安装到自行车上后，总长度为． 20．已知等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为． (1)求y关于x的解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当自变量时，求出函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】利用周长公式建立解析式，并用三角形三边关系确定自变量取值范围． 【详解】（1）解：等腰三角形周长为 ，腰长为 ，底边长为 ， ， ， 三角形两边之和大于第三边， ，即 ， ， 又 ，即 ， ， 自变量 的取值范围为 ； （2）解：当 时，． 21．周六早上，小明8点钟从家里出发步行到图书馆还书，他走了一段路后，突然发现有一本书忘带，于是跑步回家取书，拿到书后跑步到图书馆办理了还书的手续，离开图书馆后他步行回家，小明离家的路程s(米)与时间t(分钟)之间的关系如图所示． (1)小明几点到达图书馆?他还书共用多长时间? (2)小明从出门到回家，路上走过的路程一共为多少米? (3)小明从图书馆回到家的速度是多少? 【答案】(1)小明到达图书馆，他还书共用5分钟； (2)小明从出门到回家，路上走过的路程一共为1800米； (3)小明从图书馆回到家的速度为70米/分． 【分析】（1）观察图象即可知小明到达图书馆的时间以及还书的时间； （2）往返回家的路程+家与图书馆间的往返路程=走过的路程； （3）有700除以回家用的时间即可得． 【详解】（1）解：小明到达图书馆，他还书共用分. （2）解：（米）， 所以小明从出门到回家，路上走过的路程一共为1800米; （3）解：（米/分）， 所以小明从图书馆回到家的速度为70米/分． 22．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 7 5 m 1 1 3 n 7 … (1)表格中：______，______． (2)在直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是______； ②写出该图象的一条性质______； ③进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个解． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①；②当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；③， 【分析】（1）将和代入函数计算即可得出结果； （2）先描点，再连线，即可得出函数图象； （3）结合函数图象分析即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即； （2）解：画出函数图象如图所示： （3）解：①根据函数图象可得，该函数的最小值是； ②写出该图象的一条性质当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； ③进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程有个解． 23．2026年4月19日，在北京亦庄举办了“人形机器人半程马拉松”赛事，冠军机器人“闪电”以50分26秒夺冠，超越了人类男子半马的世界纪录．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙沿同一路线出发，甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间的函数图象（如图）．根据图象回答下列问题： (1)甲行走的速度为______；乙行走的速度是______ ； (2)图中点表示的实际意义为______； (3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 【答案】(1)2，2.5 (2)甲、乙两个机器人在距离起点米处相遇 (3)当甲出发秒或秒时，甲、乙相距 【分析】（1）由函数图象即可解答； （2）先分别求出甲、乙的函数表达式，再联立即可求解点表示的实际意义； （3）分类讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲行走的速度为，乙行走的速度是 （2）解：由甲乙的速度可得，， 当时，则， 解得， 此时 ∴图中点表示的实际意义为：甲、乙两个机器人在距离起点米处相遇； （3）解：当时，甲机器人走了 ∴时，甲、乙不可能相距； 当时，则， 解得或（舍去）； 当时，， 解得或（舍去） 综上：当甲出发秒或秒时，甲、乙相距． 24．如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． (1)参照图②，求a、b及图②中的c值； (2)设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值； (3)当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的． 【答案】(1)，， (2)， (3)当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的 【分析】本题主要考查了动点及相关的函数图象分析，运用函数图象解决动点问题． （1）根据，结合图象，得出当时，，由图象可知，8秒时，点P在B处，结合a的值求得b值，最后根据c表示的是运动总时间，求出c值； （2）由点P在6秒后开始变速，变速后速度为每秒，可求得动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式；当点P运动到中点时，可知点P离开点A的路程为，将代入y与x的关系式，即可求得x的值； （3）先求出矩形的面积以及的面积，再按照点P不同的运动阶段分类讨论，求出符合条件的值，具体分为三个阶段进行讨论，分别是：点P在上运动，点P在上运动，点P在上运动，其中：点P在上运动需要再分变速前和变速后两个阶段分别讨论． 【详解】（1）解：当P在边上时，由图得知：， 当时， ， ∴； 当，即动点P运动时间为6秒时，， ， ∴，； （2）解：由题意得：， P到达中点时，， 又∵， ∴， 即； （3）解：∵在矩形中，，， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴． ①P在段（）， 当时，P从A向B匀速运动，速度为1单位/秒， 此时， 若， 则，即，不符合题意，舍去； 当时，P的速度为2单位/秒， ， 若， 则，即，符合题意； ②P在段， 此时，不符合题意． ③P在CD段， 此时， 即， 若， 则，即，符合题意； 综上： 或． 当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的． 试卷第12页，共20页 试卷第13页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $