湖南邵阳市第二中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题

2026年5月高一期中检测卷 数学 （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于空间几何体的说法中，正确的个数是（ ） ①正四棱柱都是长方体；②棱台的侧棱长均相等；③一个多面体至少有4个面. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（ ） A. 2km B. 3km C. 4km D. 5km 5. 正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知复数z满足，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 有3个实数根 C. 若有8个实数根，则 D. 若有4个实数根，从小到大分别为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足＝，＝，则在上投影向量的模为______. 13. 已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是______. 14. 已知是单位圆的内接三角形，取sinA，sinB，sinC为边长构成新的，若的内角A，B，C满足，求内切圆半径的最大值______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）将的图象向右平移个单位后得到函数，，求，的值域. 16. 在△ABC中，已知.设，若，且＝0. （1）求的值； （2）设不同于点A的点E满足，且，求实数的值. 17. 已知定义在上的函数不恒为0，且. （1）求的值，并判断的奇偶性. （2）对于定义在上的偶函数，满足，若函数的图象上不存在两点P，Q使得PQ//x轴，求a的取值范围. 18. 如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＋b＝5，，且. （1）求b边的长度； （2）求△ABC的面积； （3）设点G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别交于点E，F（都不与端点重合），当△AEF的面积最小时，求的值. 19. 指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间的平均变化率随的增大而增大.已知实数、，满足. （1）比较和的大小； （2）当时， （i）证明：； （ii）判断的符号. 2026年5月高一期中检测卷 数学 （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1），奇函数 （2） 【18题答案】 【答案】（1）4 （2） （3）1 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年5月高一期中检测卷 数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.【答案】D 【解析】因为A={1,2,4,8,16,B={x√x∈A,所以B={1,4,16,64,256},所以 A∩B={1,4,16,故A,B,C错误. 2.【答案】C 【解析】对于①正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，当底面边长和高不相等时， 它是长方体；底边边长与高相等时，它是正方体（正方体是特殊的长方体)所以正 四棱柱都是长方体说法正确；对于②棱台是由棱锥用平行底面的平面截取而来，只 有正棱台的侧棱才相等，一般的棱台侧棱长不一定相等，所以这个说法错误；对于 ③面数最小的多面体是三棱锥（四面体)它有4个面，所以多面体至少有4个面， 这个说法正确。 3.【答案】A 2W5 【解析由正弦定理： 2 120°=si3。,解得sinC=5,因为A=120°所以0°<C<6 所以C=30°，所以B=180°-A-C=30°=C,所以△ABC的面积为 -csm-225 2 3 sin30°=V3 3 4.【答案】C 【解析】由题意设以=上，为=kx,(K>0,太>0)仓库到车站的距离>0， 当=2，月=，为=2必，由于为=4，即今=4x2,所以两项费用之和为 少+为 16k2+k,x22 6kx=8跳，当且仅当16=k,,即x=4时等号成 立，即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站4km. 5.【答案】c 【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心， 如图，因为该四棱台上下底面边长分别为√2,2√2，侧棱长为2，所以该棱台的 数学参考答案第1页（共13页） 高h=√2-(2-1)}=V5,下底面面积S=8,上底面面积S,=2,所以该棱台的体 灰v-专S+8+5)-背58-2*82列145 Γ3 6.【答案】B 【解析】数f(-m(or引m>0),设数f的袋小E同期为T,由 f+到=f)可得灯=xkeN),所以T-石-爱keNj,即a=2k(eN'): ,所以 +牙≥元，即023；综上，四的最小值为4 7.【答案】C 【解析】设z=a+bi(a,beR),.元=a-bi由题意可知z2=a2+2abi-b2=z2= a2-2abi-b2,则ab=0,又=Va2+b2≤3，由复数的几何意义知z在复平面内 对应的，点Z(,b)在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段AB, CD上运动， 设E(4,2),则-4-2=ZE,由图象可知2E≥BE=√4-3}+22=5，所以 IZElin=v5. 8.【答案】A 【解析】法一：坐标法+基本不等式 建立以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴平面直角坐标系，A(0,0),C(2,2), P(n,0),Q(0,m),m,n∈[0,2]， cp=(n-2,-2),c=(-2,m-2),CP.C@=2[(2-m)+(2-n)], 又cn.cn=-cHco 则有2[2-m)H2-m]=2-m+4×2-+4x5 2 化简得2[(2-m)+(2-n)]=4-(2-m)(2-n), A P BX 数学参考答案第2页（共13页） 4-2网r=e2-2-2- 所以(2-m)+(2-n)≥42-4或(2-m)+(2-n)≤-42-4（合去）， 又m,n∈[0,2]且2[(2-m+(2-n]=4-(2-m)(2-m)s4, 所以「(2-m)+(2-n)≤2， 综上所述Cp.C=2[(2-m)+(2-n)]∈8N2-8,4] 法二：三角法 设c-a,ac0引 则∠BCP=π :正方形ABCD的边长为2，cosC= CD C’cos CB 4 CP 2 2 ..Co=- CP= cosa cos (7-a ..cp.co=-2 2 42 -X cosa 2 cos 4 -a √2 -+cos 2a- 2 4 DCO=a,a0. 4 4V2 ∴.CP.CQ= √2 ∈8W5-8,4] +cos 2 2a 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9.【答案】CD 2 【解析】由题意z= 20+1)=2(+四-1-i, i-1(i-1)(i+1)-1-1 对于A:=-1+(-1=2,故A错误； 对于B:z的共轭复数为-1+i,故B错误； 对于c:+足1* 2-1i- 2(1-i) =-1-i-1+i=-2,为实数，故C (1+i)(1-i) 正确；对于D:iz=(-1-i)i=1-i,在复平面内对应的点为(1，-1)，位于第四象限， 故D正确. 数学参考答案第3页（共13页） 10.【答案】ABD 【解析】由题意cosA=cos BcosC,所以cos(π-B-C)=cos BcosC,所以 -cos(B+C)=cos Bcos C,所以-cos BcosC+sin Bsin C=cos BcosC,所以 sin BsinC=2 cos Bcos C,所以tan B tan C=2,故A正确； 因为A+B+C=元，所以B+C=元-A,所以tan(B+C)=tan(π-A)=-tanA,所以 anB+tanC_tanB+tanC,所以tanA=tanB+ianC,故B -tan A=tan(B+C)=I-tan BtanC 1-2 正确； 因为tan B tan C=2,所以tanB,tanC同号，若tanB<0,tanC<0,又0<B<π， 0<C<元，此时子B<,子C<元，显然不特合题意，所以aB>0、mC>0 0<B<5,0<C<5,所以tamA=tamB+tanC>0,所以0<A< tanA=tanB+tanC>0,可得tanA>tanB,tanA>tanC,所以A>B,A>C,所 以3A>元，所以A胥故C错误 由A>B,A>C,可得a>b,a>c,故D正确. 11.【答案】ACD 【解析】对于A,由题意， f日oe十2-=3，故A正确 对于B,当x≤0时，由f)=--4+1=可得2+8x+3=0,解得x=-2士四 5 因x<0,故得x=-2+:当>0时，由3可特8x-子：或 7 名、解得x2型或20，故出3有x2生0,2,2里 数根，故B错误； 对于C,设t=f(x),则方程f2(x)-af(x)+2a-5=0即t2-at+2a-5=0,由图知， 要使原方程有8个实数根，需使t2-at+2a-5=0有两个相异实根1，t2, 4=a2-4(2a-5)>0 8(1)=a-4≥0 且1≤1<5,1≤12<5，设g(t)=t2-at+2a-5,依题意，需使{8(5)=-3a+20>0, 1s<5 2 解得ae 20 ，3 故C正确； 数学参考答案第4页（共13页） y=f(x) y=t 3\ X4 对于D,作出函数f(x)的图象，由x≤0时，f(x)=-x2-4x+1=-(x+2)2+5≤5， 且f(0)=1,可知当1≤t<5时，直线y=t与函数f(x)有两个交，点；又由x>0时， [og2- 1-log2x,0<x≤2 log2 x-1,x>2 ，当1>0时，直线y=1与画数f田均有两个交点， 故由f(x)=1有4个实数根可得，1≤t<5,由图知，x+:2=2×(-2)=-4, 1 1-log2x3=l1og2x-1,则log2(xx4)=2,解得xx4=4,又由1-l1og2x=5解得x= 16 由1-1og2x=1解得x=1,则有<x≤1，于是x+,+x+x4=-4+:+4,因函 16 数y=x+4在 4 45.1025 单调递减，故y=x+ 则x+x++16) 961 xL16/ 故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】5 【解析】a在6上的投影向量的摸为-0_132_2+3V5 b W4+1 v5 13.【答案】46 【解析】过，点C作CC"y轴交x轴于点C",如下图所示： A(O B 股正三角形ARC的边长为a,则Sca=4V3,解得Q=4 在△A'CC"中，A'C=4,∠A'C"C=∠x'Oy'=45°， ∠CA'C"=180°-∠BA'C=180°-60°=120°，由正弦定理 C'cm A'C sin∠C'A'C"sin∠A'c"C, 即、Ccm sin450,可得CC"=4sin120 4 4x3 sin120° sin 450 2=26,因此，顶点C对应的点 2 C到x轴的距离是2CC"=4v6, 数学参考答案第5页（共13页） 14【答案】号 【解析】法-：由余弦定理可得(a+b?-3ab-3 -a w iws3. 当且仅当d=i=5时取等号，又d+b>c-5, <a'+b≤3， 2 2 2S'a'b'sin C L'a'+b'+c'a'+b'+c' a+b+ 2 624 当d=b= 5时，取到最大值为 法二：应用正弦定理Q=b C sinA sin B sinC 2R=2,所以snA=号inB-月 sinC=G,设△AB'C'的三边分别为：a=sinA,b'=sinB,c=sinC,则d= a D名，cS意味着△ABC与△ABC相仪，且相似比为口 由sin2A+sin2B=sin2C+sin Asin B得 〔+-+ 即a2+b-c2=ab则C=元.已知C= 3 c'=sinC=sin π√3 3 32 所以△BC的面积：S=)dWsinC' -sin Asin B, 2 4 △A'B'C的半周长：p= sin A+sin 2 2 由于A+B= ，令A +x,B=-x,其中- 3 3 t<π 3 化简得：sinA+sinB=sin ， +sin=2sin cosx=v3 cosx 3 sin Asin B=sin 3*=cos2x- 1 数学参考答案第6页（共13页） cos2x- 代入r的表达式：r= 4 4 p 3cosx+3 2 2 因为-骨骨阶以分cos1. 当cosK-1(即=0，此时A=月-骨，△ABC为等边三角形)时，/取等最大值 4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.【解折110：f国=m(+爱引，由2冰x-孕x石2标+号，keZ 6 得-号+2水≤骨2k,keZ. 3 ∴f(x)的单调递增区间为 2-2Xx2k2.m5分 (2)第一步：y=f()的图象向右移个单位，x表示为x-元 .7分 第二步：h(x)=f(x)g(x)=sinx+ 6 9分 因为x02 所以2x- 所以sin 2x 2 -3 ∴.函数h(x)的值域为 1V5 24 .13分 16.【解析】(1)解法一：基底向量法 因为BD=2DC,所以D分BC所成比为2：1（靠近C) AD-1AB+2AC-a+2b. 3 33 0-传a+多-与a6如b,又-5，间-l1,显ab-0 @2*41.网层- .7分 数学参考答案第7页（共13页） 3e0. 解得=0或2=2， 当入=0时，点E与A重合，舍去， 当1=2时，点E在AD的延长线上，亦满足垂直条件，综上，2=2.15分 解法二：坐标法， (1)以A为原，点建如图所示平面直角坐标系，则C(1,0),B0,V2).BD=2DC, 2 设D(x),(xy2)=21-x列-5=-2y x=2-2x x= 3 3 .7分 .AE=AAD. m=Ax 9分 n= 3 .11分 贴=得-9-9号+号=0 22420→元-2)0 :. .13分 解得元=0或入=2， 当=0时，E与A重合，舍去. 当元=2时，E在AD的延长线上，元=2.…15分 解法三：平面几何+解三角形法 (1)∠BAC=90°，AB=√2，AC=1,BC2=3,BC=V3, BD=23 3 .3分 数学参考答案第8页（共13页） - x2 2=2+2852+48=2-4- 3√ 935 332331 a0-6 .7分 (2)BD2 3,AD2 3,AB2=2, AD⊥BD又BE⊥CE,.E在以BC为直径的圆上 D 不妨设圆心为P,AE⊥PD, AE=2AD,=2. .15分 17.【解析】(1)：f(x+y)f(x-y)=f(x)f(y) 令x=y=0,有f2(0)=f2(0)-f2(0)=0, f(0)=0.… .2分 取x=0,代入有：f(y)f(-y)=-f2(y), f(y)不恒为0，定义域为R ·f(-y)=-f(y),即y=f(x)在R上为奇函数， .5分 (2)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， 有f+8()=2 )+g可)2a,解得=2-2 8(x)=2+2x .7分 .y=g2(x)-af(2x)+1=(1-a)22x+(1+a22r+3, 函数y=g(x)-af(2x)+1图象上不存在两点P,Q,使得PQ∥x轴 函数y=g(x)-af(2x)+1在定义域上严格单调， 9分 下面讨论单调性：令t=22，则t在xR上是增函数，且>0. 令m0=0-ar++3, ①当(1-a)1+a)≤0，即a≥1或a≤-1时， 4>≥0，有，）a)a4,+@6-5) hh 若al,h(t)-h(t2)<0,则y=h()在t>0上是减函数，满足条件. 若a≤-1，h()-h(t2)>0,则y=h)在>0上是增函数，满足条件.12分 ②若-1<a<1时， a时，1-arH,-1+a)0.即h4)-h,)0. 当0<1- 此时y=h(t)是减函数. 数学参考答案第9页（共13页） 当1-a 时，(1-a)tt2-(1+a)>0,h(5)-h(i2)>0. 此时y=h(t)是增函数. .当-1<a<1时，y=h(t)在>0上不单调. 综上：Q≥l或Q≤-1.… ..15分 18.【解析】(1)：2 bsin Ccos A=bsinB-asinA+csin B, 4 由正孩定理：2 be cos A=b2-a2+c cb, 4 由余孩定理：2bc2+c2d-B-d+ 2bc 4cbc2= 4cb→b=4c, c+b=5,.b=4. .5分 (2)~D为中点，D=A证+AC),设<A8,AC)=0, ADB+AC+2AACbc0s0= 17+8cose √21 2 2 。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 .7分 将o6分多0青m0号 8分 六△ABC的面积为2X4x1xsin9=5. ..10分 （3)设AE=mAB,AF=nAC,(0<m<1,0<x<1) E,F,G共线，∴.可设AG=AE+(1-)AF,则AG=mAB+(1-2)nAC, 义aG-D-号丽+A号西+AG,由手西量基本定是等 1 1m= 3 3元 -加 .14分 =30- 由0<m<1与0<<1=写女号， 3 刻5.s-丽sn写-方西hd9方m495r =5 11-51>§ 1 4W3 领09-9 .15分 9 当且仅当月=1-，即A=时取华，此时，m=n-号，正-号丽，A正-号AC, 数学参考答案第10页（共13页） =AF-A证-4C-A8创-号C,即EF与C方向相同， .cos EF,BC>=1. ..17分 19.【解析】(1)由题意得：a>0,b>0,则ab>0,所以log。b<0=logn1, 当0<a<1时，则y=log。x在定义域内单调递减，解得b>l,所以(a-1)(b-1)<0; 当a>1时，则y=log。x在定义域内单调递增，解得0<b<1,所以(a-1)(b-1)<0; 综上所述，(a-1)(b-1)<0..ab+1<Q+b. .4分 (2)(I)当a=2时，则2b2+log2b=0, (方读-)①发设2分则b>1方-oe:b,即6+10g:b0. 1 由2方且>0，所以2Y>方8=6，别28+e,>6l0g:b, 所以2b2+l0g2b>0,与已知矛盾，故假设不成立； .6分 2假设2<方则b<1e石-08，b,即b+log,b0, 由2<分且>0，所以2rb名b=b,则26+b0g:bb+1og:b, b 所以2b2+log2b0,与已知矛盾，假设不成立；8分 8当2-分别6=， 可得2°B2+10g,b=×b2+1Dg,2=b-b=0,符合题意； b 9分 由028可得：2= 10分 (方法二)设p(x)=2x2+log2x,则b是p(x)的零点， .5分 对Vx,x2∈(0，+0)，且x<x2, y=2,y=x2,y=log2x在(0，+0)单调递增，则0<2<2,0<x<x, 10g2x<10g2x2, 可得25x2<25x号，2x+log2x2x号+l0g2X2, 即p(:)<p(x),故p(x)在(0，+∞)单调递增， ∴.p(x)有唯一的零点b, 7分 设q(x)=2-1, 对x,x3∈(0+0），且x<x2, :y=2,y=-都在(0+w)单调递增，则2<2，-1<-1 数学参考答案第11页（共13页） 可得25-1<2-1 即q(x)<q(x2),故q(x)在(0，+0)单调递增， 且a9）-25-2×0g0=2-1=0. 2 故画数零点存在性定理知g()在行存在唯一的零点 3 则满足20-1=0，即2=1>0， Xo 可得5=log,1,即-=log2, 故2x+l0g2x +(-x)=0,即p(x)=0, 所以q(x)的零点即为p(x)的零，点b, 所以g(b0)=2-10,即2= b b .10分 1 方法三)两边除以b可得：2b=8b,变形得：2182b 6 .7分 构建f(x)=xlog2x, 对x,x2∈(1，+0)，且x<x2, y=x,y=log2x都在(1，+o)单调递增，则1<x<x2,0<log2x<1og2x2, 可得xlog2x<x21og2x2, 即f()f(),故f(-在四)上单调运增，卫f(2)-f[日 由（1)可知：当a=2>1时，则0<b<1, 所以2”>1,1>1，所以2= ..10分 w心-心引6-点割 由前面(1)可知>0，故b+510只需比技6与3,51的大小， 2 2 .12分 设&()=2r-对出0o),且<6， 数学参考答案第12页（共13页) :y=2,y=上都在(0，∞)单调递增，则25<25，-1<-1 可得25-1<25-1 即g(x)<g(x),故g(x)在(0，+∞)单调递增， 2 6 >0, .14分 3 由指数函数y=2"在区间[0，t]上的平均变化率，随t的增大而增大， 所以指数函数y=2在区间[0，b]上的平均变化率小于在区间[0,1]上的平均变化率， 即2-2”<2-20 b-0 1-0 化简得2<b+1,所以<b+1,解得公51或b5+1(含去片16分 5 2 故+6-6-0. .17分 数学参考答案第13页（共13页）