精品解析：湖南长沙市望城区第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

望城一中2025-2026-2高一期中考试 数学 试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2. 不等式的解集是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解. 【详解】由，得，即 ，整理得 ，即， 等价于，解得， 即原不等式的解集为. 3. 已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 4. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项. 【详解】若，则存在非零实数，使得， 此时：， 因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立， 若，当时，； 当时，存在实数，使得： 整理得：， 所以，若，则，即； 若，则，与为非零向量矛盾， 因此，必要性成立; 综上“”是“”的充要条件. 5. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. -18 B. -12 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】结合向量投影可得； 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，且， 所以，且， 所以. 6. 若复数（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， 所以． 7. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 8. 已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的母线为l，则由题意知，所以， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积与圆柱的体积比为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】若，则存在直线，根据面面垂直的判定定理，，选项A正确； 如图所示，可知，但与相交，则选项B错误； 如图所示，设，过平面内一点，作， 由面面垂直的性质定理可知，，所以， 因为，所以，选项C正确； 如图所示，可知，但与相交，选项D错误； 10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为的球体 B. 所有棱长均为的四面体 C. 底面直径为，高为的圆柱体 D. 底面直径为，高为的圆柱体 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且， 所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确； 对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过的中点作，设， 可知，则， 即，解得， 且，即， 故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱， 若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为， 可知：，则， 即，解得， 根据对称性可知圆柱的高为， 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个圆台上、下底面的半径分别为和，若两底面圆心的连线长为，则这个圆台的母线长为__________，该圆台的轴截面的面积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据圆台的几何性质和勾股定理，求出母线长和轴截面面积. 【详解】 如图所示，作圆台轴截面，上下底面圆心为， 根据题意，可知， 根据勾股定理，可知，所以母线长为13； 轴截面为等腰梯形，则面积为，所以轴截面面积为132； 故答案为：13；132. 13. 设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 14. 如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，用分别表示，即可得到关于的方程组，进而根据与的关系，即可求得结果． 【详解】设，， 则， 设，， 则， 又不共线，故，解得，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若， ①求的值： ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得，由此即可得解； （2）①结合余弦定理可得，结合即可求解；②由正弦定理以及平方关系依次求得，将转换为，结合两角和的正弦公式即可得解. 【小问1详解】 因为，利用正弦定理可得： ， 即. 因为，所以，即， 又，可得. 【小问2详解】 ①由余弦定理及已知可得： 即，又因为，所以， 联立或（舍）， ②由正弦定理可知：， 因为，则，故为锐角，， . 16. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； （3）若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2），； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式； （2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值； （3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求. 【小问1详解】 由函数的部分图象可知， ，，，又， ，解得，由可得， ； 【小问2详解】 将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 可得，； 【小问3详解】 因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图象在有两个交点. 由图象可知符合题意的的取值范围为. 17. 如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． （1）求证：平面； （2）设二面角为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求证，即可求证； （2）利用平面求出点到平面的距离，再利用余弦定理求出点到直线的距离即可求出. 【小问1详解】 因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为与平面所成角为，所以， 则，， 因为平面，所以点到平面的距离， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离， 在直角梯形中， 在中，在中， 则在中利用余弦定理得， 则， 则点到直线的距离为， 则. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． （1）求A； （2）若，求的周长最大值． （3）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，．记和的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用向量数量积的坐标公式得到一个等式，然后利用正弦定理和和差的正弦函数公式对等式进行化简，最后根据角的范围求出. （2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数性质得到其值域即可. （3）首先利用正弦定理列出外接圆半径与的关系，然后根据圆心角、圆周角的关系列出的大小，然后根据三角形面积公式列出的表达式，最后根据角的范围求出其范围即可. 【小问1详解】 ，即， 由正弦定理得，， 因为，所以， 又，所以，即， 因为，所以，所以，即． 【小问2详解】 因为，，所以， 所以周长 因为，所以 当时，周长取得最大值，此时． 【小问3详解】 设外接圆半径为，则， 且由正弦定理，即， 因为，， 所以， ， 所以， 由为锐角三角形知，，，令， 则， ∵， ∴． 19. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：平面； （2）已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【小问1详解】 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城一中2025-2026-2高一期中考试 数学 试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 2. 不等式的解集是（   ） A. B. C. D. 3. 已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 4. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. -18 B. -12 C. 6 D. 12 6. 若复数（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为 8. 已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知不重合直线，不重合平面，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）． A. B. C. D. 11. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为的球体 B. 所有棱长均为的四面体 C. 底面直径为，高为的圆柱体 D. 底面直径为，高为的圆柱体 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个圆台上、下底面的半径分别为和，若两底面圆心的连线长为，则这个圆台的母线长为__________，该圆台的轴截面的面积为__________． 13. 设，则的最小值为_________． 14. 如图，在中，，，与相交于点，若（），则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若， ①求的值： ②求的值. 16. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； （3）若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 17. 如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． （1）求证：平面； （2）设二面角为，求． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． （1）求A； （2）若，求的周长最大值． （3）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，．记和的面积分别为，，求的取值范围． 19. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：平面； （2）已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $