精品解析：江西省南昌市南昌一中联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期期中阶段性学习 质量检测初二数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、当时，它不是二次根式，故本选项不符合题意， B、一定是二次根式，故此选项符合题意； C、当时，该式子不是二次根式，故本选项不符合题意； D、，该式子无意义，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 1，1， C. 8，12，13 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】以两个较小数为两个直角边的边长，较大数为斜边的边长，验证四个选项是否满足勾股定理的逆定理即可． 【详解】解：A选项，，故A选项不符合题意； B选项，，故B选项不符合题意； C选项，，，，故C选项符合题意； D选项，，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题关键． 3. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、的值，求出的值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ． 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，不符合题意； B、54，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 5. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决． 利用勾股定理可求得铅笔在笔筒内最长的长度，得出铅笔露出笔筒部分的最小长度；求出当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案． 【详解】铅笔在笔筒内最长时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：； 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为， 即铅笔在笔筒外面最长不超过， 所以铅笔露出笔筒部分的长度不短于，不超过． 所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意； 故选：D． 6. 如图，四边形的对角线，交于点O，，，过O作直线分别交，于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为（ ） A. 24 B. 16 C. 22.8 D. 18.2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．理解当最小时最小，且当时最小是解题关键．由题意易证四边形为平行四边形，从而可证，得出，进而求出，即说明当最小时最小，且当时最小．过点A作，可知，由勾股定理可求得，最后根据等积法可求出，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴当最小时最小，且当时最小． 如图过点A作， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即， ∴，即最小值为， ∴四边形周长的最小值为． 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：＝_______． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：． 8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________． 【答案】x2＋62＝(10－x)2 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由题意则有AC=x，AB=10﹣x，BC=6，根据勾股定理即可列出关于x的方程. 【详解】根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10﹣x)2， 故答案为x2+62=(10﹣x)2． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键. 9. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到（米）， 故答案为：． 10. 若a，b都是实数，，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二次根式有意义的条件求出，再代入求出，最后计算的值． 【详解】解：由题意，得 ， 解得，， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和求代数式的值，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 11. 如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及中位线定理，直角三角形斜边的中线的性质等知识，根据三角形中位线求出，在中，利用勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，根据直角三角形斜边的中线的性质可求，从而求出周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点O是的中点，E为的中点， ∴， ， 在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得， 10． ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是的中点， ∴． ∴周长为， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，，E为的中点，点P从点A出发沿运动，连接，，，当为直角三角形时，的长为___________． 【答案】4或3或 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，勾股定理，矩形的性质等知识点，解决此题的关键是要分类讨论．当为直角三角形时，有三种情况能组成直角三角形，画出对应的示意图，根据勾股定理和矩形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 当为直角三角形时，分以下三种情况： ①如图1，点P在上，， 在矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ②如图2，点P与点C重合，，此时； ③如图3，点P在上，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 综上，当为直角三角形时，的长为4或3或． 故答案为：4或3或． 三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）如图：，且，四边形是平行四边形吗？请说明理由． 【答案】（1）2 （2） 解：四边形是平行四边形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，平行四边形的判定，平行线的判定，熟练掌握二次根式混合运算法则和平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先计算乘法，再计算加减即可； （2）先由，得出，再加上，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 略 14. 估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数，容易发现，即．于是的整数部分是1，小数部分是，现记的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 【答案】21 【解析】 【分析】先估算出的值，从而求出a，b的值，然后代入式子中，利用平方差公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 15. 如图，在中，． （1）直接写出的形状是_________； （2）若点P为线段上一点，连接，且，求的长． 【答案】（1）直角三角形 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴是直角三角形； 故答案为：直角三角形. 【小问2详解】 解：由（1）得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 16. 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以的速度收绳，12秒后船移动到点D的位置，问此时船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了米 【解析】 【分析】开始时，米，米，即可求得的值，12秒后根据，长度即可求得的值，即可解题． 【详解】解：在中，，米，米, 米， 此人以的速度收绳，秒后船移动到点的位置， 米， 米， 米， 答：船向岸边移动了米． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求12秒后的值是解题的关键． 17. 如图，在□ABCD中，点E在BC上，AB=BE，BF平分∠ABC交AD于点F，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）. （1）在图1中，过点A画出△ABF中BF边上的高AG； （2）在图2中，过点C画出C到BF的垂线段CH. 【答案】(1)如图1，AG即为所求； (2)如图2，CH即为所求. 【解析】 【分析】(1)连接AE，交BF于点G，则AG即为所求，理由为：AB＝AE，BF平分∠ABC，根据等腰三角形三线合一的性质可得BG⊥AG； (2)连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交AD于点G，连接CG交BF于点H，CH即为所求，理由：由平行四边形的性质以及作法可得△BOE≌△DOG，由此可得DG=BE=AB=CD，继而可得CG平分∠BCD，由AB//CD可得∠ABC+∠BCD=180°，继而可得∠FBC+∠GCB=90°，即∠BHC=90°，由此即可得答案. 【详解】略 【点睛】本题考查了作图——无刻度直尺作图，涉及了等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】（1） （2）①；②直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 ①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 19. 当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： （1）______的解法是错误的； （2）错误的原因______； （3）当时，求的值． 【答案】（1）小亮 （2）未能正确地运用二次根式的性质 （3） 【解析】 【分析】（1）运用二次根式的性质来进行化简，再将代入求解来进行判定； （2）运用二次根式的性质来求解； （3）根据得到，，利用二次根式的性质进行化简求解. 【小问1详解】 解： ， ， ， 原式， 故小亮的解法错误. 故答案为：小亮. 【小问2详解】 解：小亮解法错误，错误的原因是： 未能正确地运用二次根式的性质，将变形为. 故答案为：未能正确地运用二次根式的性质. 【小问3详解】 解：， ，， . 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质和绝对值的性质是解答关键. 20. 如图，在四边形ABCD中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵直线是对角线的垂直平分线， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）120 【解析】 【分析】（1）证，得出，由，证出四边形是平行四边形，进而得出结论； （2）由菱形的周长得到菱形的边长，由菱形的性质及得到，在中由勾股定理得到的长，进而得到的长，利用菱形的面积公式即可求得的面积 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵菱形的周长为52， ∴， ∴， 又， ∴ 在中，由勾股定理得， 故， 故菱形面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立． 试探究下列问题： （1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明） （2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； （3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论． 【答案】（1）成立；（2）成立，理由见试题解析；（3）正方形，证明见试题解析． 【解析】 【分析】（1）因为四边形ABCD为正方形，CE=DF，可证△ADF≌△DCE(SAS)，即可得到AF=DE，∠DAF=∠CDE，又因为∠ADG+∠EDC=90°，可推出∠ADG+∠DAF=90°，即有AF⊥DE； （2）同理（1）即可证明； （3）设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，因为点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQDE，PQAF，然后根据AF=DE，可得四边形MNPQ是菱形，又因为AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形． 【详解】（1）上述结论①，②仍然成立，理由是： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°． 在△ADF和△DCE中，， ∴△ADF≌△DCE(SAS)， ∴AF=DE，∠DAF=∠CDE． ∵∠ADG+∠EDC=90°， ∴∠ADG+∠DAF=90°， ∴∠AGD=90°，即AF⊥DE； （2）上述结论①，②仍然成立，理由是：. ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°． 在△ADF和△DCE中，， ∴△ADF≌△DCE(SAS)， ∴AF=DE，∠DAF=∠EDC． ∵∠ADG+∠EDC=90° ∴∠ADG+∠DAF=90° ∴∠AGD=90°，即AF⊥DE； （3）四边形MNPQ是正方形．理由是： 如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H． ∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点， ∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，， ∴四边形OHQG是平行四边形． ∵AF=DE， ∴MQ=PQ=PN=MN， ∴四边形MNPQ是菱形． ∵AF⊥DE， ∴∠AOD=90° ∴∠HQG=∠AOD=90° ∴四边形MNPQ是正方形． 【点睛】本题为四边形综合题，考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 22. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）； （2）写出根分式中x的取值范围______； （3）已知两个根分式． ①若，求的值； ②若是一个整数，且为整数，请直接写出的值：______． 【答案】（1）③ （2）且 （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行计算即可求解； （3）①根据题意列出方程，解方程即可求解，最后要检验； ②先计算，根据是一个整数，为整数，求得的值，最后检验即可求解． 【小问1详解】 解：①的分子不是二次根式，不是根分式， ②的分母不是整式，不是根分式， ③是根分式， 故答案为：③； 【小问2详解】 由题意得：，， 解得：，， 故x的取值范围是：且； 故答案为：且； 【小问3详解】 当，时， ①， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解； ② ， 是一个整数，且x为整数， 是一个整数， ， 解得：或1， 经检验，或1符合题意， 故答案为：3或1． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解分式方程，正确的计算是解题的关键． 六、解答题（本大题12分） 23. （1）【证法回顾】证明：三角形中位线定理． 已知：如图1，DE是△ABC的中位线． 求证： ． 证明：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE （D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF； 请继续完成证明过程： （2）【问题解决】 如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的长． （3）【拓展研究】 如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=，DF=2，∠GEF=90°，求GF的长 【答案】（1）DE∥BC，DE=BC；（2）5；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理填写即可；利用“边角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后求出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可． (2)由正方形性质及E为AD 中点得出△ADE≌△CFE，由全等三角形推出，EF垂直平分GH，从而求解. (3) 过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，可证明△AEG≌△DEH，结合条件可得到△HPD为等腰直角三角形，可求得PF的长，在Rt△HFP中，可求得HF，则可求得GF的长． 【详解】（1）DE∥BC，DE=BC 证明：在△ADE和△CFE中，， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠A=∠ECF，AD=CF， ∴CF∥AB， 又∵AD=BD， ∴CF=BD， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DE∥BC，DE=BC． （2）如图2，延长GE、FD交于点H， ∵E为AD中点， ∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°， 在△AEG和△DEH中 ∴△AEG≌△DEH（ASA）， ∴AG=HD=2，EG=EH， ∵∠GEF=90°， ∴EF垂直平分GH， ∴GF=HF=DH+DF=2+3=5； （3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF， 同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF， ∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=， ∵∠ADC=120°， ∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°， ∴∠HDP=45°， ∴△PDH为等腰直角三角形， ∴PD=PH=3， ∴PF=PD+DF=3+2=5， 在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=3，PF=5， ∴HF= == ∴GF=． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理；本题考查知识点较多综合性较强，难度较大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中阶段性学习 质量检测初二数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 1，1， C. 8，12，13 D. ，， 3. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（    　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线，交于点O，，，过O作直线分别交，于E，F两点，若，则四边形周长的最小值为（ ） A. 24 B. 16 C. 22.8 D. 18.2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：＝_______． 8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________． 9. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 10. 若a，b都是实数，，则的值为_______． 11. 如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点，若，，则的周长为___________． 12. 如图，在矩形中，，，E为的中点，点P从点A出发沿运动，连接，，，当为直角三角形时，的长为___________． 三、解答题（本大题共6小题，每小题3分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）如图：，且，四边形是平行四边形吗？请说明理由． 14. 估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数，容易发现，即．于是的整数部分是1，小数部分是，现记的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 15. 如图，在中，． （1）直接写出的形状是_________； （2）若点P为线段上一点，连接，且，求的长． 16. 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以的速度收绳，12秒后船移动到点D的位置，问此时船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 17. 如图，在□ABCD中，点E在BC上，AB=BE，BF平分∠ABC交AD于点F，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）. （1）在图1中，过点A画出△ABF中BF边上的高AG； （2）在图2中，过点C画出C到BF的垂线段CH. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 19. 当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： （1）______的解法是错误的； （2）错误的原因______； （3）当时，求的值． 20. 如图，在四边形ABCD中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为，求菱形的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立． 试探究下列问题： （1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明） （2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； （3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论． 22. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）； （2）写出根分式中x的取值范围______； （3）已知两个根分式． ①若，求的值； ②若是一个整数，且为整数，请直接写出的值：______． 六、解答题（本大题12分） 23. （1）【证法回顾】证明：三角形中位线定理． 已知：如图1，DE是△ABC的中位线． 求证： ． 证明：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE （D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF； 请继续完成证明过程： （2）【问题解决】 如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的长． （3）【拓展研究】 如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=，DF=2，∠GEF=90°，求GF的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $