安徽省江南十校2026届高三下学期综合素质检测数学试题

处名 座位号 (在此卷上答题无效) ★启用前绝密 2026届高三综合素质检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。回答非选抒题时，将答案写 在答题卡上，写在木试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1. 设集合A={1,2,3},B={2,3,4,5},则AUB= A.{2,3} B.1{1,2,3} C.{1,4,5} D.{1,2,3,4,5} 2.复数21 的共轭复数是 2+i 2,4 A. 二+-i 55 B. 2-4 55 c. 3.数据35,54,46,36,73,85,60,89的第75百分位数为 A.79 B.54 C.50 D.41 4.2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举 横渡长江， 以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸 近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从A地出发，以5v2kmh的静水 速度向对岸航行，水流速度为5km/h,要使航程最短，大约需要多长时间 (单位：min) A.4V3 B.6N2 C.6 D.12 5.已知双由线c,号-上=1(a>0),在双曲线c左支上任取两个不同的点P(K,W, a2-2 P2(x2,y2),都有xx2+y2>0,则双曲线C的离心率e的最大值为 A.5 B.3 c.√2 D.2 数学试卷第1页共4页 扫描全能王创建 3p-log 6.若a.bk.c为正实数，且有1og:之a=lo, 5 ,则下列大小关系中定 不成立的是 A.c>a>b B.a=b=c C.a>b>c D.c>b>a 7.A4纸是生活中最常用规格的纸.入系列纸张命名规则：①)张A型号纸米沿着两余 长边中点连线裁则分开后得到两张A(行+)型号纸张，比如，一张入0纸对战后可以得 到两张A1纸，一张A1纸对裁后可以得到两张A2纸：②一张A0型号的纸张面积是1 平方米，A10纸是SO国际标准中最小的纸张规格：③所有i型号的纸的长宽比相 等.现从A0到A10,每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（单位：米） aj-(门 B.25+l-] c. a-9 8.如图，抛物线C的方程为y2=2px(p>0),焦点是F,圆 心在x轴上的圆E与抛物线C在第四象限有且只有一个公 共点M,且它们在点M处的切线是同一条直线.若点M F E 的横坐标为3.∠PE=君，则实数p的值为 A.18 B.12 C.9 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是 A.若成对样本数据(x,y)(i=1,2,…,n)都落在一条直线上，则变量x和变量y的 样本相关系数r满足|r=1 B.若P(A)>0,P(B)>0,则事件A,B相互独立与A,B互斥不能同时成立 C.用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2×2的列联表中所有的数 据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D,数据，x2,…,xm的平均数和方差分别为x和s，数据y,2,…,yn的平均数和 方差分别为y和s子，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为z和s?，若 2=在+叨，则必有≥2+) 数学试卷第2页共4页 扫描全能王创建 10.如图，己知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为2，BC和B,C相交于点O,M为 AB的中点，正方体其余各而的中心分别为E,F,G,H,/,下面结论中正确的是 A.DO⊥BC D C B.DB,与CM所成角的正弦值为 15 C.点M到平面AB,C的距离为5 D.多面体EFGHI0的内切球半径为5 D M B 1.已知函数f)=simx+sin2x+sin3x,则 A.f(x)的最小正周期为元 B.f(x)的图象关于点（元，0）中心对称 C.f)在区间，3n上单调递增 44 D.f(x)的零点构成的集合是{xx=kπ，k∈Z 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知a=3,|b=√3，向量a在向量b上的投影向量为√2b,则a与b夹角的余弦 值为 13.已知Q,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 cossicos co sisin- 14.有一个摸奖游戏，在一个不透明的口袋中装有大小相同的3个红球和5个白球，红球分别 标有数字1,2,3，白球分别标有数字1,2,3,4,5，若一次性从袋中摸出三个球，摸 到三个球同色或摸到三个球数字之和为3的倍数就中奖，则中奖的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N) (1)求数列{an}的通项公式； (2)若b,=0,+1a41- 2,求数列仍，}的前n项和Tm Aa ant 16.(本小题15分) 托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：设A, A,,An是一组两两互斥的事件，AUA,U…UAn=2,且P(4)>0,i=1,2, …,n,则对任意的事件BC2,P(B)>0,有 P(41B)=(4)P(B14) P(4)P(®4)，i=1,2,,m. P(B) P(4)P(BA) k=1 数学试卷第3页共4页 扫描全能王创建 这个公式被称为贝叫斯公式（贝叶斯定理），其中∑P(A)P(B4)称为事件B 的全概率.仪设一个车间有3台车床，它们各自独立工作 (1)假设这3台车床型号相同，它)发生故障的概率都是03，设同时发生故障的车 床数为随机变量X,求X的分布列和数学期里： (2)假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品：第二箱内 装有20件，其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个 零件.已知取出的是次品，求它是从第二箱中取出的概率。 17.(木小题15分) 己知梯形ABCD,AB∥CD、AB⊥AD,AB=2AD=2CD=4,现沿对角线AC 翮折，如图，E,F,G,O分别为线段AD,BC,AB,AC的中点 D (1)证明：AC⊥DG: (2)当折成直二面角时，求线段EF的长度： (3)当DG=√2时，求平面BCG与平面DCG夹角的余 弦值 18.(本小题17分) 如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式 Vx2+y-102+Vx2+y+102=4, 设点M的轨迹为2 (1)求的方程： (2)若点S(0,-1),T(0,1),P为轨迹2上一点（不在坐标轴上），设点I,G分 别为△PST的内心和重心， ①证明：IG所在的直线与y轴平行； ②过G作直线与轨迹2交于点A,B,且AG=BG,求△ABI面积的取值范围 19.(本小题17分) 函数f(x)=ecos3x-ae x cosx. (1)当a=e"时，求函数f(x)的图象在点 处的切线方程： (2)若()在x∈(0，孕上没有零点，求实数a的取值范围： (3)当a=0时，设g(=2f()+f"(),若x,3,∈(0，)(G<<G), 满足8(x)=g)=gG)<0,证明：x+5+5>3 4 数学试卷第4页共4页 扫描全能王创建参考答案与评分细则 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 D & A 0 C A A 1.由并集的定义AUB={1,2,3,4,5}选D. 2:7点=20)4-22+12+4共扼复数为24.选B 2+i (2+0(2-)4-2 555 55 3.第一步，将数据从小到大排列为：35,36,46,54,60,73,85,89 第二步，n=8,p=75%,∴.i=8×0.75=6, 第三步，取第6个73与第7个85的平均数为79，选A 4设点B是长江对岸一点，AB与江岸垂直，当汽车实际沿AB方向行驶时，航程最短. 设汽车的速度y,水流的速度y2,实际速度v=,+V2 川=，-k,f=V52)-52-5km. 则航行时间为二×60=12(mim).选D 5.任取双曲线C左支上两个不同的(x,),(2,2)都有xx,+y>0 OP.OP=x+y>0. '.aa 0=1og3 6.10g22 5log:a-1og,b=log,c( 在同一个坐标系下考察函数y=log2x,y=log,x,y=logx与y=的交点 当t=0时，a=b=c=0; 当t>0时，a<b<c 当t<0时，a>b>c,选A 7.设Ai(i=0,1,2,..,10)纸的宽和长分别为4，b(i=0,1,2,,10) 则4=2b6=4 4 a 4b=1 5a2=l4=2,4=2:4+4,=2+2 1 1 :8恤=+=…=4+A-5-2} 22 a+b。4+b4o+b02 学a+0e+51-号 1-22 选C 8.解答：如图，作出抛物线C和圆E在点M处的公共切线，同时过M作射线MN∥x轴， 则有EM上1，由抛物线的光学性质， ∠ME=∠EN=LFEM= 6 .FE=M=xw+=3+,F,0),.E3+p,0), 2 2 且-m∠BN-5=0与又8-2px3-6p,代入得：吉P-6p 3(3+p)-3 解得：p=18.故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABD ACD BD 9、A正确，B正确， 对于C,因为K2= n(ad-be)2 ，当a,b,c,d扩大到原来的10倍，则K2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 的值也扩大10倍，则得到的结论会受到影响.C错误. 对于D,对于题中的分层抽样，三=mx十”少=十刀，六m=1. m十n+n2 又 =0”+在-]m”+6-别 m+n g++G-+6-列≥+ .D正确。 故选ABD 10、对于A,因为ADBC是等边三角形，且O是BC中点，所以DO⊥BC,A正确， 对于B,C,方法一：建系计算，过程略， 方法二：对B,在正方体ABCD-ABC,D,右侧补一个等大的正方体BSTC-BSTC,作 CI的中点G,连BG,DG,易得BGI/MC,.∠DB,G为DB,与CM所成的角（或 补角)，DB=2V3,BG=V5,DG=V3，由余弦定理得： cos∠DBG=25+(52-i③4_5 22W3V5 4Wi5=15,m∠DBG=V210 15 B错 D T A B S D M B S 对于C,点M是AB的中点，所以点M到平面ABC的距离是点B到平面ABC的距离的一 半，又BDL平面AB,C,点B到平面ABC的距离等于BD=×25=25 3 3 M到平面1BC的距腐为 ,C正确 3 对于D,易知EFGH0是正八面体，棱长为V5，所以它的内切球的半径 r-y3{@2 3 5 .D正确 s装85(5 3 4 D B D A 故选ACD. 11解析 A.f)=-simnx+1sin2x-1s 1 sin3x=f(x),不恒成立，A错误； 3 8.2r-9=-nx-n2r-n3x=-f付，B正痛： 2 3 C.f(x)=cosx+cos2x+cos3x=cos2x+2cos2xcosx=cos2x(1+2cosx) 2L或1 当f'(x)=0时，x= 3 4 ,易证x 43 2刀是函数的极值点，C错误： D,由C可知·f)在0孕递，在（行）递诚，在(23)通猫， 4’3 34 在（空港减面小停0.Qx)内无点）-0故D止确 故选BD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 26 设a与b的夹角为0，向量a在向量b上的投影向量为 la cose -6. 3 alcose-3cocov 3 13.3-1 由正弦定理：sinAcos B+√3 sin.Asin B-sinB-sinC=0, 2 sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos Asin B,sin B0, .3sin4-1-cos4=2sin(A-Z)-1=0. 61 A(Q.A=n(B:C）=m4=5 2sin BcosC=3-1 1413 "28 解析： 方法一：摸球总的方法数是C=56种，把符合条件的摸球情况分四类： 第一类：全红有C=1种； 第二类：2红1白，若红球摸1+2号，白球只能是3号(（1种)：若红球摸1+3号，白球可以 是2或5号(2种)；若红球摸2+3号，白球可以是1或4号(2种)，故第二类共1+2+2=5 种； 第三类：1红2白，若红球摸1号，白球可以是1+4号、2+3号、3+5号(3种)，若红球摸 2号，白球可以是1+3号、2+5号、3+4号(3种)，若红球摸3号，白球可以是1+2号、1+5 号、2+4号、4+5号(4种)，故第三类共3+3+4=10种； 第四类：全白有C=10种； 故所求概率为1+5+10+1013 56 28 方法二：按照容斥原理计算 (1)三个球同色的方法数：C;+C:=11 (2)三个球数字之和为3的方法数：分三种情况 第一种：和为6的：1+2+3型有23=8；1+1+4型有1种。其中同色有2种 第二种：和为9的：1+3+5型有2×2×1=4种： 其中同色有1种 2+3+4型有2×2×1=4种； 其中同色有1种 2+2+5型有1×1×1=1种： 其中同色有1种 第三种：和为12的：3+4+5型有2×1×1=2种 所以三个球数字之和为3的方法数共20种 故共有11+20-5=26种 2613 故所求概率 56=28 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 解：(1)数列{a}为等差数列，设首项为4，公差为d,4,m=2a,十1对n∈N恒成立， 必有4，=2g+1, --2分 4+d=2a1+1 4a+6d=428+0解之得/1 --4分 d=2 an=1+2(n-1)=2n-1, 即数列{a}的通项公式为an=2n-1,(n∈N) -5分 (2)6,=a+1a1-D=4m2 14n2-1+1 Aa,a 4(2n-1)(2n+1)4、4n2-1 -7分 1 1,1，,1),neNw, -0+am+时-0+2we+广子+5+ -10分 1=+a么-+6=经+0〉 2n+14n+2 --13分 16.(本小题15分) 解：(1)设p=0.3,由题意知： X~B(3,0.3) -2分 .P(X=)=C30.3(1-0.3)3t=C,0.30.73-k=0,1,2,3) 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 ∴.E(X)）=p=3×0.3=0.9 -5分 (2)设B=“任取一个零件为次品” A=“零件是从第i箱取出的”(=1,2)，则2=AUA,且A∩A,=0 有题意知： PA)=5P4)-月 PA)-5P4) 20 -8分 由全概率公式： Pr44+aPo)号0石 --11分 由贝叶斯公式知： 1.3 P(A,)P(B4.) P(A(AP(B)+P(A)P(BM) 220=3 7 7 40 ------15分 17.(本小题15分) (1)证明：连接OD、OG,则AC⊥OD,AC⊥OG .OD∩OG=O,OD,OGc平面DOG .AC⊥平面DOG .'DGc平面DOG ,AC⊥DG 3分 (2)方法一：由(1)可知，∠DOG为二面角D-AC-B的平面角， 由题意OD⊥平面ABC,作EH⊥AC于H,则EH/OD,EH⊥平面ABC. :Hc平面ABC,EH1H,m=OD-5 -5分 2 s0n9中，om-9or-2oa- m-(5y+2-252-5)3 2 2 =2 EF2=EH2+FH2-=7,EF=√万 …8分 方法二：由(1)可知，∠DOG为二面角D-AC-B的平面角， 由题意∠DOG=90°，.DO⊥OA,OA⊥OG 以OA、OG、OD所在直线为xy二轴建系， -5分 A(V2,0,0),D(0,02),B(2,25,0),C(5,0,0) m50r-55.02 旺-(，-团}2+ 8分 (3)OD=OG=DG=√2，.∠DOG=60°.在平面D0G内过0作OH⊥0G于0 由(1)知平面DOG⊥平面4OG,.OH⊥面4OG,∠DOH=30° 以OA、OG、OH所在直线为x、八二轴建系. -11分 a55),cG=55.0,cn=0-55) 2 设平面DCG的法向量为n=(x,y,2) [V2x+√2y=0 90 令=1，则y=V5,x=5,n=（V5,V5,) 2 m-i 平面BCG的法向量m=(0,0,1),cos<m,n> 。1万 所求夹角的余弦值为 万 -----------15分 7 18.(本小题17分) 解：(1)由椭圆的定义，点M的轨迹是以(0,1)，(0，-1)为焦点，长轴2a=4的椭圆-2分 y2,x2 所以点M的轨迹方程为： 43 =1 -4分 (2) 由1)知，s(0-1),T01为椭圆2少+ =1的焦点， 43 由题意知PG交y轴于点O,设直线PI交y轴于N, ,G为APST重心 PG ：G0 =2 分 方法一、 .I为△PST的内心 ∴.IT,IS分别平分∠PTS,∠PS7 ..PS=PI PT SN IN TN P以-PS4P7=202 IN SN+TN 2c -8分 PI PG N2= G0 ,且P不在坐标轴上， ∴.IG与y轴平行 -10 分 方法二：由对称性，不妨设点 P(x,)(:,≠0，。≠0)在y轴右侧，由面积知 3x5=及e20加1=学=子= 3 ∴.IG与y轴平行 --10 分 3)设点%，≠0，%≠0，则G停学 -----11分 PT=Vx2+(0,-)2且。+=1 34 则7=30-)+0-0=-4=4-)-23 1 同理：PS=2+。 2 .I为△PST的内心 =PT IN-PI :.IN=1-1Y5.N(O. s=Ps2c=2a 又双=亚2 --13分 设A(x,y),B(x2,y2),则 +=1 3 4:→-五=-45+五=-4五 4 -14分 车+上=1-，3%+%3 3 4 4,设 3 yo 3yo 40 yo 3 =1→(4+3k2)x2+6kx+3m2-12=0 y=kx+m 则△=483k2+4-m2)=48(3 6+4-6结合+全=化简△ 2048 2 9y1 34 3。 6km X+x2= 4+3k2 3m2-12 X12= 4+3k2 32√6 ---16分 3y4+3k2) 8V6 n26 .S=G-4 (0，g)&*0) --17 國者，其中士44x3》8.209 3y。2 yo 分 19.（本小题17分) (1)当a=e开时，f(x)=ecos3.x-er-”cosx,x∈R.