专题4.2 平行四边形及其性质重难点题型专训（2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本初中数学讲义聚焦平行四边形的定义、表示、基本元素（边、角、对角线）及性质（对边相等、对角相等、对角线互相平分），通过2个知识点、7大题型、2大拓展训练构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以“知识点+题型+拓展”分层设计，即时训练与经典例题结合，如“数图形中平行四边形的个数”培养几何直观，“性质证明”提升推理能力，生活实例（如活动窗户设计）强化应用意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题4.2 平行四边形及其性质重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 利用平行四边形的性质求解 题型二 利用平行四边形的性质证明 题型三 平行四边形性质的其他应用 题型四 数图形中平行四边形的个数 题型五 四边形的不稳定性 题型六 求平行线间的距离 题型七 利用平行线间距离解决问题 拓展训练一 用平行四边形的性质解决相关问题 拓展训练二 解决有关平行线距离的相关问题 知识点一：平行四边形的定义及表示 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2. 平行四边形的表示：如图所示，平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 3. 平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 图示 基本元素 主要内容 边 邻边 AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对 对边 AB和DC，AD和BC，共有两对 角 邻角 和，和，和，和，共有四对 对角 和，和，共有两对 对角线 AC和BD，共有两条 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海·月考）的周长是28，对角线、相交于点，且的周长比的周长小4，则的长为（   ） A．5 B．10 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，结合平行四边形的对角线互相平分的性质，得到邻边和与邻边差的两个等式，联立求解即可得到的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵的周长是， ∴ ①， ∵的周长比的周长小， ∴的周长减去的周长等于4 ∴， 化简得②， 联立得， 解得， 2．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）平行四边形的周长为16，一边长为4，则另一条邻边长为________． 【答案】 4 【分析】根据平行四边形对边相等的性质，可得平行四边形两邻边的长度和为周长的一半，结合已知边长即可求解另一邻边长． 【详解】解：∵平行四边形的周长为16，一边长为4， ∴另一条邻边长为． 知识点二：平行四边形的性质 1. 性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分． 2. 平行四边形的性质可从边、角、对角线、对称性等几个方面来探究，归纳如下表： 图示 性质 数学语言 边 对边平行且相等 AB∥DC，AD∥BC，AB＝DC，AD＝BC 角 对角相等，邻角互补 ＝，＝，＋＝180°，＋＝180°等 对角线 对角线互相平分 AO＝CO，BO＝DO 【即时训练】 1．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）如图，的周长是40，边上的高．设，的面积为y，若，则y的值是（   ） A．147 B．111 C．93 D．33 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据的周长公式求出的长，进而求出的长，再根据平行四边形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵的周长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的高， ∴； 故选D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知平行四边形中的两个内角度数分别为和，且满足，则_________． 【答案】或/70或30 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形构建方程组求解． 【详解】解：当时，； 当时，， 解得． 故答案为：或． 【经典例题一 利用平行四边形的性质求解】 【例1】（2025·八年级下 浙江）在数学活动课上，小明做了一个梯形纸模板，测得其一底边长为，高为，两腰长分别为和，那么该梯形纸模板的面积不可能是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了梯形的面积公式，勾股定理，平行四边形的性质，利用分类讨论思想是解决本题的关键， 分类讨论可能存在的四种情况，利用平行四边形的性质和勾股定理求出各线段的长，最后利用梯形面积公式即可解决． 【详解】解：如图1、图2、图3、图4的梯形纸板面积分别为 ， ， ， ， 已包括所有情况，故选B． 【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用若干根木棒搭平行四边形，在长度分别为的三根木棒中，选择长度是___________的铁丝作为平行四边形的一边，另两根作为对角线，可搭成平行四边形． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系，根据平行四边形的对角线互相平分，以及构成三角形的条件进行判断即可． 【详解】解：当作为对角线时，，不符合题意； 当作为对角线时，，不符合题意； 当作为对角线时，，符合题意； 故选择长度是的铁丝作为平行四边形的一边，另两根作为对角线，可搭成平行四边形． 故答案为：8． 1．（25-26八年级下·浙江温州·课后练习）如图，在▱中，点，，，分别在边，，，上，，，交点在的内部，记，，，的面积分别为，．若的面积为，则下列选项中，可用含的代数式表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质结合，列式计算即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，， ， ， ， ， ∴， 整理得，即， ∴． 可用含的代数式表示的是． 2．（23-24·八年级下 四川眉山）下列说法中错误的是（   ） A．平行四边形两邻角的平分线相交所成的角是直角 B．平行四边形两条对角线将四边形分成的四个小三角形的面积相等 C．平行四边形的邻角互补 D．在中，可能等于 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐一分析选项，找出错误的说法． 【详解】解：A、平行四边形的邻角互补，和为，两邻角的平分线分别将角分为原角的一半，两平分线相交形成的角为，故A正确； B、 平行四边形的对角线互相平分，分成的四个小三角形底边相等、高相同，面积相等，故B正确； C、平行四边形的对边平行，邻角为同旁内角，互补，故C正确； D、平行四边形对角相等，若为，则，，与对角相等矛盾，故D错误． 故选：D． 3．（24-25八年级下·重庆·课后练习）如图，某公园计划在一块面积为的平行四边形草坪中修建一条宽为的小道，已知，现需采购铺小道的石板（不考虑损耗），则需购买石板 _______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行四边形的性质，设平行四边形草坪中边上的高为，则小道的面积为，由题意得，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设平行四边形草坪中边上的高为，则小道的面积为， 由题意得：， 解得：， ∴， 即需购买石板， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）中，中，，．若拼成图①，则与重合．若拼成图②，则与重合．求图②中的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握平行四边形的角的性质和等腰直角三角形的边长关系是解题的关键． 先利用平行四边形的角的关系求出的度数，从而得到的度数，再判断为等腰直角三角形，求出的长度，结合图①中与重合的条件得到的长度，最后计算的长． 【详解】解：在中， ， ． ， ， ． 由图②知，． ， 为等腰直角三角形， ， ． 由图①知，， ． 【经典例题二 利用平行四边形的性质证明】 【例1】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接、，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质、三角形的面积公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、与同高，且， ，则此项正确，不符合题意； B、，， ， ，则此项正确，不符合题意； C、， ， 即，则此项错误，符合题意； D、， ，则此项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 【例2】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是_____（填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据平行四边形的性质得到，，得到，然后证明出，进而判断即可． 【详解】∵四边形是平行四边形，其对角线的交点O ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，，故①②④正确； ∵和不一定平行 ∴和不一定相等，故③错误； 故答案为：①②④． 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，是平行四边形内的一点，沿着，，和，将平行四边形裁成四部分，面积分别为，，，，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 嘉嘉：一定存在，与点的位置无关； 淇淇：当时，点一定在对角线上．    A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 由于平行四边形两组对边分别相等，的边上的高的和是两平行线之间的距离，所以，同理可得：，可判断嘉嘉的说法；根据已知进行变形，求出，可判断淇淇的说法． 【详解】过点O作的垂线，分别交，于，   四边形是平行四边形 同理 ，故嘉嘉说法正确； ∵， ∴， 此时， 即P点一定在对角线上．故淇淇正确． 故选C． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交EH、CD于点P、Q过点P作，分别交AD、BC于点M、N，若要求的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（    ） A．四边形AFPM B．四边形MPQD C．四边形FBNP D．四边形PNCQ 【答案】C 【分析】连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， 若要求平行四边形的面积，只需知道四边形的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有____．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质可判断①；结合图形可判断②；利用平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，对顶角的性质可判断③；利用平行四边形的性质及三角形的面积公式可判断④． 【详解】解：∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC， ∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE， ∴∆DME≅∆BNE， ∴DM=BN， ∴AM=CN，故①正确； 由图可得：BM>AB≠AD=BC， 故②错误； 连接AE、CE， 四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE， ∴∆ADE≅∆CBE， ∴AE=CE，∠AED=∠CEB， 点A、E、C三点共线，故③正确； 如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点， ∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点， ∴DQ=2EP， ， ， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意综合运用这些知识点是解题关键． 4．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，以线段为斜边作等腰．使得，；连接，再以为直角边作等腰，使得，． (1)如图1，当时，表示线段，之间的数量关系与位置关系； (2)如图2，以线段，为边构造，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等边对等角，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据等边对等角得到，可知B、D、C在一条直线上，进而可知线段，之间的数量关系与位置关系； （2）连接，延长到G，根据平行四边形的性质得到，即，证明，得到，，即，，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴B、D、C在一条直线上， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，连接，延长到G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， 即， ∴． 【经典例题三 平行四边形性质的其他应用】 【例1】（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·上海·期中）平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是______． 【答案】12或18/18或12 【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12； 当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18； 故答案为：12或18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式，当高不知道是哪条边上的高时，要进行讨论． 1．（22-23八年级下·河北石家庄·课后练习）嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】C 【分析】根据，计算出的面积，再根据的面积是的面积的4 倍计算出最后的答案． 【详解】 过点O做EF垂直于BC，交BC于点F，交AD于点E ∵在中，AO=OC， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关知识． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个． 【答案】2 【分析】因为△ABE的底与平行四边形的底相等，要使△ABE的面积为1，则高△ABE的高必须为平行四边形的一半，所以当E在AD，BC的中点时成立． 【详解】解：如图， ∵平行四边形ABCD的底是不变的， 即AB是固定的，AB即为△ABE的底不变，高变化， ∵AB×AB边上的高=1， ∴当△ABE的高为平行四边形ABCD的底边AB上的高的一半时△ABE的面积为1， 即E在AD，BC的中点时成立， 故使△ABE的面积为1的点E共有2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，注意：同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半． 4．（24-25八年级下·河南南阳·月考）如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的面积； (2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查多项式乘多项式， （1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）把相应的值代入（1）中运算即可； 解答的关键是掌握相应的运算法则和公式． 【详解】（1）解：由题意得： （平方米）， ∴绿化的面积为平方米； （2）当，时， （平方米）， ∴此时绿化的面积为平方米． 【经典例题四 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（23-24八年级下·江西）如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定和网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 以为边的格点平行四边形共有5个，以为对角线的格点平行四边形共有5个， ∴以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形，这样的平行四边形共有10个． 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·福建福州·课后练习）如图，图1共有5个平行四边形，图2共有11个平行四边形，图3共有19个平行四边形，照这样，图5共有________个平行四边形，图_______共有155个平行四边形． 【答案】 41 11 【分析】本题考查图形类的规律探究，数形结合是解决本题的关键． 根据题意可推断出图n有个平行四边形，问题随之得解． 【详解】解：由题意得：图n有个平行四边形， 所以图5有个平行四边形． 设图n共有155个平行四边形, 则， ， （舍去）， 所以图11共有155个平行四边形． 故答案为：41；11． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 3．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出___________个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是___________． 【答案】 3 平行四边形，平行四边形，平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定画出图形即可解答． 【详解】解：如图： 即平行四边形，平行四边形，平行四边形； 故答案为：3；平行四边形，平行四边形，平行四边形． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】(1)图见解析； (2)，，，，，． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 【经典例题五 四边形的不稳定性】 【例1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【答案】A 【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变． 根据稳定性的变化逐一判断即可． 【详解】A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确； B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误； C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误； D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误； 故选：A． 【例2】（2024八年级下·浙江·专题练习）生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ____． 【答案】平行四边形具有不稳定性 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的不稳定性求解可得． 【详解】解：因为平行四边形具有不稳定性， 所以可以灵活的开关窗户， 故窗户的支撑装置（四边形被设计成平行四边形． 故答案为：平行四边形具有不稳定性． 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上梯子变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，符合题意； D、使用梯子的过程中，墙壁、地面和梯子形成三角形，三边和三角固定，防止登上梯子变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意． 2．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，我们铁岭三中的电动伸缩校门利用的数学原理是（  ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查了四边形的性质，根据电动伸缩门的工作原理，结合四边形的不稳定性即可得到答案，熟练掌握四边形的相关知识的解题的关键． 【详解】解：∵电动伸缩门的整体形状为四边形，且电动伸缩门的长度可以伸长和变短， ∴利用的数学原理是四边形的不稳定性， 故选：． 3．（22-23八年级下·广东云浮·期中）新兴县实验中学教学楼一楼打开或者关闭铁闸门的过程是利用了四边形的________ 【答案】不稳定性 【分析】利用四边形的不稳定性进行解答． 【详解】解：铁闸门做成四边形的形状，是利用四边形的不稳定性，易变形的特性． 故答案为：不稳定性． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，四边形的不稳定性运用比较广泛，铁闸门的制作运用了四边形的不稳定性． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【经典例题六 求平行线间的距离】 【例1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，若直线，下列关于直线，之间距离的说法正确的是（    ） A．的长是，之间的距离 B．的长是，之间的距离 C．和的长是，之间的距离 D．的长是，之间的距离 【答案】C 【分析】本题考查了平行线间的距离．熟练掌握平行线间的距离是解题的关键．根据平行线间的距离定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段和的长， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·上海静安·月考）如图，，，，，垂足分别为E、F，则图中点B到的距离等于图中线段______的长．（不可再添加线段） 【答案】/ 【分析】本题考查两平行线间的距离处处相等，点到直线的距离是点到直线垂线段的长度． 【详解】解：， 到直线的距离与到直线的距离相等， ， 到直线的距离为线段的长， 到直线的距离为线段的长． 答案为：． 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平行的性质，全等三角形的判定和性质．延长交于点，作于点，证明四边形是矩形，得到，再利用证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：延长交于点，作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，点E，F分别为，上的点，连接，，若，则两直线与间的距离是（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】作于H，证是等腰直角三角形，计算即是直线与间的距离． 【详解】解：如下图，作于H，   ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了求平行线间的距离，结合等腰直角三角形知识点，作垂直构造等腰直角三角形是解题的关键． 3．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆完全收拢（即）时，如图2所示，床高（与之间的距离）为，则此时伸缩杆的长度为________．当成时，伸缩杆打开最大，此时的长度为，则固定钢架的长度为________． 【答案】 15 29 【分析】过P作，交于N，交于M，根据题意得出cm，cm，再由平行线分线段成比例得出cm，再由勾股定理求解即可得出结果；过点D作于点F，过点C作于点H，利用勾股定理得出cm，cm，，利用勾股定理逆定理确定，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：过P作，交于N，交于M， ∴cm， ∵cm，cm， ∴cm， ∵， ∴，即， 解得cm， ∴在中， cm， ∴cm， ∴在中， cm； 过点D作于点F，过点C作于点H，如上图所示， ∴cm，， 在中，cm，， ∴cm， 在中，cm，， ∴cm， ∴， 如下图， ∵cm，cm，cm， ∵，即， ∴， 在中 ，即， ∴， 解得：cm， 故答案为：①15；②29． 【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理解三角形，平行线分线段成分比例等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上（、不与点重合），点在射线上且，过点作直线，点在点的左边且． (1)求出的面积． (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点B作直线的垂线，交直线于点，根据平行线间距离处处相等，得到，利用三角形面积公式即可求解； （2）由，推出，由，推出，则，从而得到再由角平分线的定义得到，则． 【详解】（1）解：过点B作直线的垂线，交直线于点， ，， ， ∵， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【经典例题七 利用平行线间距离解决问题】 【例1】（24-25八年级下·吉林·课后练习）如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可知三角形和梯形的高相等，据此分别表示出两个图形的面积即可得到答案． 【详解】解：设两平行线间的距离为h， ∴三角形面积为，梯形面积为， ∴①的面积是②的面积的2倍， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形中，，与相交于点，下列说法：①三角形与三角形周长相等；②三角形与三角形面积相等；③三角形与三角形面积相等；④与之间的公垂线段相等．其中说法正确的是____________（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行线间的距离，根据，得出间的距离相等，进而根据三角形的面积公式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴间的距离相等， ①三角形与三角形周长不一定相等，故①不正确 ②三角形与三角形面积相等，故②正确； ③∵ ∴ 即三角形与三角形面积相等，故③正确； ④与之间的公垂线段相等，故④正确． 故答案为：②③④． 1．（25-26八年级下·山东青岛·课后练习）（如图）在两条平行线间有甲、乙、丙、丁四个图形，下面说法中正确的是（    ） A．面积按照从大到小的顺序排列是：甲乙丁丙 B．丙的面积最小，丁的面积最大 C．丙的面积最小，甲的面积最大 D．无法确定 【答案】C 【分析】由于甲、乙、丙、丁四个图形在两条平行线间，因此它们的高都相等．设它们的高都为h，将它们的面积用含有m的代数式表示出来，再比较大小即可． 本题考查了平行线之间的距离处处相等，以及列代数式，正确的列出代数式是解题关键． 【详解】解：因为甲、乙、丙、丁四个图形在两条平行线间，所以它们的高都相等，设它们的高都为h，则 甲的面积， 乙的面积， 丙的面积， 丁的面积． 面积按照从大到小的顺序排列是：甲乙丁丙，丙的面积最小，甲的面积最大． 故选：C． 2．（23-24八年级下·河南南阳·课后练习）把一个平行四边形任意分成两个梯形，这两个梯形的（    ）一定相等． A．周长 B．面积 C．高 D．上、下底的和 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．由于平行四边形的两组对边是平行的，它的高有无数条且都是相等的，所以无论怎样分割成两个梯形，它们的高都是相等的，据此即可解答． 【详解】解：把一个平行四边形任意分割成两个梯形后，两个梯形的高还等于原平行四边形的高； 由于平行四边形有无数条高且都是相等的，所以两个梯形的高是相等的； 答：这两个梯形的高总是相等． 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是练习书法的书画毡，点，，，均为格点上的点，其中满足的点为__________． 【答案】，，， 【分析】根据“平行线之间的距离处处相等”以及“同底等高的两个三角形面积相等”即可解答． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴满足的点为，，，． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，直线，于点A，于点B，直线分别与，相交于点C和点D，，，．点E，F，G分别在线段，，上，且，，连接，，过点F，G分别作，的平行线相交于点H． (1)求证：； (2)若点H落在四边形内或其边上，求面积的最大值与最小值； (3)当为等腰三角形时，请画图确定H的位置，并简要说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)面积的最大值为与最小值为 (3)见详解 【分析】（1）连接，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）过作，过作于点，由可判定，由全等三角形的性质，由三角形的面积得，①当与重合时，取得最大值， ②当在线段上时，取得最小值； （3）过作，是定值，在直线上运动，以为圆心长为半径画弧交于、；作的垂直平分线交于． 【详解】（1）证明：连接， 过点F，G分别作，的平行线相交于点H， ，， ， ， ， （）， ； （2）解：过作，过作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， ①当与重合时，取得最大值， 此时， 面积的最大值为： ； ②当在线段上时，取得最小值， 过作， 直线，，， 平行线之间的距离处处相等， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 面积的最小值为： ； 故面积的最大值为与最小值为； （3）解：过作， 是定值， 在直线上运动， 以为圆心长为半径画弧交于、， ， 、是等腰三角形； 如图，作的垂直平分线交于， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，掌握平行线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【拓展训练一 用平行四边形的性质解决相关问题】 【例1】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，三线合一定理，过点C作于点E，于点F，由角平分线的性质可得；可证明，则可推出，由三线合一定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴； ∵四边形是平行四边形，且点P、Q是平行四边形的边上一点， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，的垂直平分线经过点C，与交于点R，的角平分线分别与，交于点Q，P，连接，则_________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得，则，因为，所以，则，求得，由的垂直平分线经过点，得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵的角平分线与交于点， ， ， ， ， ∵的垂直平分线经过点， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 1．（2025·八年级下 浙江温州）如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，理解等底等高的三角形面积相等是解题的关键． 连接，过点作交于点，过点作交于点，易证，可得，进而得到，由，，得到，即得到结论． 【详解】解：连接，过点作交于点，过点作交于点， 由题意可知，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴上的点到上的点距离相同， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴已知的面积，则一定能求出的面积， 故选：B． 2．（2023·八年级下 安徽合肥）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】先依据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得到的长，再分三种情况，即可得到以、、、为顶点的平行四边形的周长，进而得出周长的最大值． 【详解】解：由勾股定定理得：，则； 过点作，垂足为，则， 则， 则， ， 由，得， 再由勾股定理得：； 如图1：周长； 如图2：周长； 如图3：周长为最长． ∵，并且 即， 故周长的最大值是 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算得到的长． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若的周长是36，，则四边形ABFE的周长为________． 【答案】24 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握利用平行四边形对角线互相平分及对边平行的性质证明三角形全等，进而转化线段求周长是解题的关键． 先证；再由平行四边形周长得；最后转化四边形的周长表达式，代入数值计算． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴，， ∴． ∵的周长是， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，得到，即可证明推出． （2）求出，由平行四边形的性质推出，由勾股定理求出即可得到． (3)利用全等，将四边形的面积转化为的面积. 进而得到和的关系. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，． 又， ， ． （2）解：，， ，即． 四边形是平行四边形，， ，． ，， ，． （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ， 在和中， ． 在和中， ， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握知识点. 【拓展训练二 解决有关平行线距离的相关问题】 【例1】（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线间的距离，解题的关键是由平行四边形的面积公式得到； 本题根据平行四边形的性质，可得，设与之间的距离为，可得：，然后代入即可求解； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴与之间的距离为． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）如图，点是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；…；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质以及三角形面积的等积变换，关键是利用正方形的角度关系证明，从而将的面积转化为的面积，发现与的关系． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴点与点到直线的距离相等， ∴． ∵正方形的边长为， ∴， ∴，即． 当时，， ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·安徽安庆·课后练习）点E是的边上一点，连接并延长交延长线于F，连接，则下列结论中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离处处相等．利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合三角形和梯形面积公式，验证各选项，找出不一定成立的结论，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵四边形是平行四边形 ∴，， 设平行四边形边上的高为h， 则， 依题意，与同底，且底边长为， ∵， ∴点C和点D到直线的距离相等，均为h， ∴，A选项一定成立，不符合题意； ∵平行四边形对角线平分面积， ∴， 在中，底，高为到直线的距离，等于h， ∴，B选项一定成立，不符合题意； ∵ ∴四边形是梯形，上底为，下底为，高为h， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，C选项一定成立，不符合题意； 依题意， ， 若 则，化简得，仅当E是中点时该等式成立，E不是中点时不成立， 故D选项不一定成立，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，，证明，，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】如图，过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，， ∴， ∵． ∴，， ∵，． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积， ． 3．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，，，点和点分别是线段和上的两个动点，且，连接，，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股逆定理与勾股定理，等面积法，平行线之间距离处处相等，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用勾股逆定理得出是直角三角形，且，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，， ∴， 即是直角三角形，且， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则 ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为： 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N， 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， 即， 在中，， 即的值最小，且为， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】先过作的高，利用得到这两条高相等；再结合同底的条件，证明与面积相等；最后减去它们的公共部分的面积，即可得到与的面积相等． 【详解】证明：如图，过点作于点，过点作于点． ， ． ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形面积与平行线间距离的性质，掌握同底等高的三角形面积相等，通过减去公共部分面积推导目标三角形面积相等是解题的关键． 1．（2024·八年级下 吉林长春）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 【答案】C 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，根据四边形的不稳定性求解即可． 【详解】解：升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是：四边形的不稳定性， 故选：C． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（   ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，利用邻角互补求出的度数，即可求出的度数； 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分的性质是解题的关键． 根据平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，依次找出图中的全等三角形． 【详解】解：在中： ， 全等三角形有：   因此，图中的全等三角形共有对，对应选项C． 故选：C． 4．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【详解】解：设AC、PQ交于点O，如图所示： ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴AO=CO，OP=OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB于点P′， ∵∠BAC=45°， ∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵AO=AC=×8=4， ∴OP′= AO=2， ∴PQ的最小值=2OP′=4， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定与性质分析判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵在中，分别是各边中点， ∴， ∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形， 故选：B． 6．（24-25八年级下·广东梅州·月考）已知直线，，，在同一平面内，且，，与，，分别交于点A，，，，，则与的距离是（  ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线之间距离的关系，掌握平行线的性质，图形结合分析是解题的关键． 分两种情况，结合平行线之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：情况一：直线在与之间， ，， ， 与的距离是 情况二：直线在与之间， ，， ， 与的距离是， 综上所述：则与的距离是或． 故选：C． 7．（25-26八年级下·广西南宁·月考）如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，连接，则下列结论正确的是（   ） ①平分 ②三角形与三角形的面积相等 ③与互余的角有2个 ④若，则 A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】由，可得，即，由是的平分线，是的平分线，可得，，由，可得，即平分，可判断①的正误；由，可知与的面积相等，可判断②的正误；由，可证，则与互余的角有，，，共4个，可判断③的正误；由，可得，则，，可判断④的正误． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴平分，①正确，故符合要求； ∵， ∴与的面积相等，②正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与互余的角有，，，共4个，③错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 综上，①②④正确，A选项符合题意． 8．（22-23八年级下·河南商丘·期中）如图，在平行四边形中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，则下列结论中一定成立的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质以及，可得，根据平行线的性质和等边对等角可得，即可判断①，延长，交的延长线于M，证明，可得，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据，以及三角形的面积和即可判断③，设，则，根据角度关系的计算即可求得． 【详解】解：①∵F是的中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确， 延长，交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵F为中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确， ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故③错误 ④设，则 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，故结论④正确 综上可知，一定成立的是①②④ 9．（23-24八年级下·江苏扬州·月考）如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判断出①②正确；再根据 与不一定相等，再利用 与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确． 【详解】∵， ∴，， ∵BD平分，EF平分， ∴，， ∴， ， ∴， 故①②正确； ∴ 与不一定相等， 由题意可知， ∴与不一定相等， 故③错误； ∵， ∴与是等底等高的三角形， ∴， ∴， 故④正确， ∴①②④正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 10．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，以的三边为边分别向外画一个正方形．过点C作，垂足为M，连接，则的面积等于（    ） A．的面积 B．的面积 C．正方形面积的一半 D．正方形面积的一半 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等及证明面积相等问题，掌握“手拉手”几何模型及平行线间距离相等是解题的关键． 延长交于点，连接，先证明的面积等于，利用几何模型——“手拉手”，易证，再证明，推出，再根据平行线之间的距离处处相等可得，进而得到，进而即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ∵，， ∴， ∴的面积等于， ∵四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ∴， ， ∴点到所在直线的距离等于，点到所在直线的距离等于， ，， ∴， ∵的面积等于， ∴的面积等于正方形面积的一半． 故选：C． 11．（25-26八年级下·上海松江·期中）平行四边形中，边上的高是，则平行四边形的周长是____________． 【答案】或 【分析】需分两种情况讨论，边上高的垂足位置分垂足在边上和垂足在延长线上两种，利用勾股定理求出的长，再根据平行四边形周长公式计算即可． 【详解】解：设边上的高为，，，为垂足． 在中，由勾股定理得： ， 在中，， 分两种情况讨论： 情况1：垂足在的延长线上时，如图    此时． 平行四边形周长为． 情况2：垂足在边上时，如图 此时． 平行四边形周长为． ∴平行四边形周长为或． 12．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________． 【答案】120°和60° 【分析】根据平行四边形的性质可以得到，，，即可得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图所示，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°，120°，60°，120°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【答案】 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 【答案】 【分析】先运用勾股逆定理得出，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为， 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， ∴， 即， 在中，， 即的值最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等面积法，平行线之间距离处处相等，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 15．（25-26八年级下·吉林长春·课后练习）如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中： ①； ②； ③； ④ 一定成立的有的结论有___________．（填正确结论的序号） 【答案】②③④ 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】解：①∵是的中点， ∴， 设点C到的距离为， ∴，， ∴， 故①错误； ②∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③延长，交延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ④设， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 故答案为：②③④． 16．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 【答案】直线与之间的距离为 【分析】本题主要考查了垂直的性质、平行线之间的距离等知识点，过一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 根据垂直的性质可得，再根据垂线段的长度的定义以及线段的和差即可解答． 【详解】解：直线，，， ． 又直线与之间的距离是，直线与之间的距离是， ，， ，即直线与之间的距离为． 17．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．利用网格点和直尺，完成下列各题： (1)补全； (2)连接，则这两条线段之间的关系是___________； (3)点为格点（异于点），且，则图中满足要求的点共有___________个． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)6 【分析】（1）根据平移的性质作出图形即可； （2）根据平移的性质即可解答； （3）利用三角形的面积公式结合两平行线间的距离相等即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由平移的性质可知，且； （3）解：如图，满足要求的Q点共有6个， 18．（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 【答案】(1)平行四边形（答案不唯一） (2)见详解 【分析】本题考查新定义题型，涉及特殊的四边形，四边形内角和． （1）根据定义，平行四边形，菱形，矩形都符合，写出一个即可； （2）利用四边形内角和及邻补角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形； （2） , ． 19．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：； (2)连接，若，平分． ①求证：； ②若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是根据平行四边形的性质与全等三角形的性质找边、角之间的关系． （1）因为四边形是平行四边形，所以，可得内错角相等；由折叠的性质得，得到，推出，因为点E是中点，所以，又由翻折知，所以；利用全等三角形的判定定理即可证明； （2）①因为，所以是等腰三角形，由翻折可得；因为平分，所以；再结合平行四边形的性质，可得角的关系，进而推出；②由（1）的全等可得相关线段相等，结合平行四边形的性质得到线段间的关系；再结合①中，利用勾股定理建立线段的等式，通过等量代换推导得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴，即， ∵点E是中点， ∴， 由翻折知， ∴； ∵， ∴； （2）①证明：如图， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 由翻折可得，，即， ∵平分， ∴； ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知， ∴， ∴， ∴， ∵点E是中点， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26八年级下·河北唐山·月考）如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，在线段上取一点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)若，求的长． (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，见解析 【分析】（1）如图所示，过点作于点，可得是等腰直角三角形，根据边的关系列含的方程，由此即可求解； （2）分类讨论，根据平行四边形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， ∴的长为． （2）解：存在，或，理由如下， 第一种情况，当点在线段上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得，； 第二种情况，当点在线段延长线上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得，． 综上所述，存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 平行四边形及其性质重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 利用平行四边形的性质求解 题型二 利用平行四边形的性质证明 题型三 平行四边形性质的其他应用 题型四 数图形中平行四边形的个数 题型五 四边形的不稳定性 题型六 求平行线间的距离 题型七 利用平行线间距离解决问题 拓展训练一 用平行四边形的性质解决相关问题 拓展训练二 解决有关平行线距离的相关问题 知识点一：平行四边形的定义及表示 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2. 平行四边形的表示：如图所示，平行四边形用符号“”表示，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． 3. 平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 图示 基本元素 主要内容 边 邻边 AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对 对边 AB和DC，AD和BC，共有两对 角 邻角 和，和，和，和，共有四对 对角 和，和，共有两对 对角线 AC和BD，共有两条 【即时训练】 1．（25-26八年级下·上海·月考）的周长是28，对角线、相交于点，且的周长比的周长小4，则的长为（   ） A．5 B．10 C．9 D．18 2．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）平行四边形的周长为16，一边长为4，则另一条邻边长为________． 知识点二：平行四边形的性质 1. 性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分． 2. 平行四边形的性质可从边、角、对角线、对称性等几个方面来探究，归纳如下表： 图示 性质 数学语言 边 对边平行且相等 AB∥DC，AD∥BC，AB＝DC，AD＝BC 角 对角相等，邻角互补 ＝，＝，＋＝180°，＋＝180°等 对角线 对角线互相平分 AO＝CO，BO＝DO 【即时训练】 1．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）如图，的周长是40，边上的高．设，的面积为y，若，则y的值是（   ） A．147 B．111 C．93 D．33 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知平行四边形中的两个内角度数分别为和，且满足，则_________． 【经典例题一 利用平行四边形的性质求解】 【例1】（2025·八年级下 浙江）在数学活动课上，小明做了一个梯形纸模板，测得其一底边长为，高为，两腰长分别为和，那么该梯形纸模板的面积不可能是(     ) A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用若干根木棒搭平行四边形，在长度分别为的三根木棒中，选择长度是___________的铁丝作为平行四边形的一边，另两根作为对角线，可搭成平行四边形． 1．（25-26八年级下·浙江温州·课后练习）如图，在▱中，点，，，分别在边，，，上，，，交点在的内部，记，，，的面积分别为，．若的面积为，则下列选项中，可用含的代数式表示的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24·八年级下 四川眉山）下列说法中错误的是（   ） A．平行四边形两邻角的平分线相交所成的角是直角 B．平行四边形两条对角线将四边形分成的四个小三角形的面积相等 C．平行四边形的邻角互补 D．在中，可能等于 3．（24-25八年级下·重庆·课后练习）如图，某公园计划在一块面积为的平行四边形草坪中修建一条宽为的小道，已知，现需采购铺小道的石板（不考虑损耗），则需购买石板 _______． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）中，中，，．若拼成图①，则与重合．若拼成图②，则与重合．求图②中的长． 【经典例题二 利用平行四边形的性质证明】 【例1】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接、，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是_____（填写序号即可）． 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，是平行四边形内的一点，沿着，，和，将平行四边形裁成四部分，面积分别为，，，，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 嘉嘉：一定存在，与点的位置无关； 淇淇：当时，点一定在对角线上．    A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都正确 D．两人都不正确 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交EH、CD于点P、Q过点P作，分别交AD、BC于点M、N，若要求的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（    ） A．四边形AFPM B．四边形MPQD C．四边形FBNP D．四边形PNCQ 3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有____．（写出所有正确结论的序号） 4．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，以线段为斜边作等腰．使得，；连接，再以为直角边作等腰，使得，． (1)如图1，当时，表示线段，之间的数量关系与位置关系； (2)如图2，以线段，为边构造，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【经典例题三 平行四边形性质的其他应用】 【例1】（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【例2】（23-24八年级下·上海·期中）平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是______． 1．（22-23八年级下·河北石家庄·课后练习）嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个． 4．（24-25八年级下·河南南阳·月考）如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的面积； (2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【经典例题四 数图形中平行四边形的个数】 【例1】（23-24八年级下·江西）如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【例2】（25-26八年级下·福建福州·课后练习）如图，图1共有5个平行四边形，图2共有11个平行四边形，图3共有19个平行四边形，照这样，图5共有________个平行四边形，图_______共有155个平行四边形． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 3．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出___________个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是___________． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【经典例题五 四边形的不稳定性】 【例1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【例2】（2024八年级下·浙江·专题练习）生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ____． 1．（25-26八年级下·广西南宁·期中）以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，我们铁岭三中的电动伸缩校门利用的数学原理是（  ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 3．（22-23八年级下·广东云浮·期中）新兴县实验中学教学楼一楼打开或者关闭铁闸门的过程是利用了四边形的________ 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【经典例题六 求平行线间的距离】 【例1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，若直线，下列关于直线，之间距离的说法正确的是（    ） A．的长是，之间的距离 B．的长是，之间的距离 C．和的长是，之间的距离 D．的长是，之间的距离 【例2】（24-25八年级下·上海静安·月考）如图，，，，，垂足分别为E、F，则图中点B到的距离等于图中线段______的长．（不可再添加线段） 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 2．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，点E，F分别为，上的点，连接，，若，则两直线与间的距离是（　　） A．5 B．6 C． D． 3．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆完全收拢（即）时，如图2所示，床高（与之间的距离）为，则此时伸缩杆的长度为________．当成时，伸缩杆打开最大，此时的长度为，则固定钢架的长度为________． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上（、不与点重合），点在射线上且，过点作直线，点在点的左边且． (1)求出的面积． (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，求证：． 【经典例题七 利用平行线间距离解决问题】 【例1】（24-25八年级下·吉林·课后练习）如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 【例2】（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形中，，与相交于点，下列说法：①三角形与三角形周长相等；②三角形与三角形面积相等；③三角形与三角形面积相等；④与之间的公垂线段相等．其中说法正确的是____________（填序号） 1．（25-26八年级下·山东青岛·课后练习）（如图）在两条平行线间有甲、乙、丙、丁四个图形，下面说法中正确的是（    ） A．面积按照从大到小的顺序排列是：甲乙丁丙 B．丙的面积最小，丁的面积最大 C．丙的面积最小，甲的面积最大 D．无法确定 2．（23-24八年级下·河南南阳·课后练习）把一个平行四边形任意分成两个梯形，这两个梯形的（    ）一定相等． A．周长 B．面积 C．高 D．上、下底的和 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是练习书法的书画毡，点，，，均为格点上的点，其中满足的点为__________． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，直线，于点A，于点B，直线分别与，相交于点C和点D，，，．点E，F，G分别在线段，，上，且，，连接，，过点F，G分别作，的平行线相交于点H． (1)求证：； (2)若点H落在四边形内或其边上，求面积的最大值与最小值； (3)当为等腰三角形时，请画图确定H的位置，并简要说明理由． 【拓展训练一 用平行四边形的性质解决相关问题】 【例1】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，的垂直平分线经过点C，与交于点R，的角平分线分别与，交于点Q，P，连接，则_________． 1．（2025·八年级下 浙江温州）如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 2．（2023·八年级下 安徽合肥）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若的周长是36，，则四边形ABFE的周长为________． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 【拓展训练二 解决有关平行线距离的相关问题】 【例1】（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（   ） A． B．6 C． D． 【例2】（25-26八年级下·贵州遵义·期末）如图，点是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；…；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为________． 1．（25-26八年级下·安徽安庆·课后练习）点E是的边上一点，连接并延长交延长线于F，连接，则下列结论中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，，，点和点分别是线段和上的两个动点，且，连接，，则的最小值为_____． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 1．（2024·八年级下 吉林长春）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（   ）   A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 4．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 6．（24-25八年级下·广东梅州·月考）已知直线，，，在同一平面内，且，，与，，分别交于点A，，，，，则与的距离是（  ） A． B． C．或 D．以上都不对 7．（25-26八年级下·广西南宁·月考）如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，连接，则下列结论正确的是（   ） ①平分 ②三角形与三角形的面积相等 ③与互余的角有2个 ④若，则 A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 8．（22-23八年级下·河南商丘·期中）如图，在平行四边形中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，则下列结论中一定成立的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 9．（23-24八年级下·江苏扬州·月考）如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 10．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，以的三边为边分别向外画一个正方形．过点C作，垂足为M，连接，则的面积等于（    ） A．的面积 B．的面积 C．正方形面积的一半 D．正方形面积的一半 11．（25-26八年级下·上海松江·期中）平行四边形中，边上的高是，则平行四边形的周长是____________． 12．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 15．（25-26八年级下·吉林长春·课后练习）如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中： ①； ②； ③； ④ 一定成立的有的结论有___________．（填正确结论的序号） 16．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，，，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，求直线与之间的距离． 17．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．利用网格点和直尺，完成下列各题： (1)补全； (2)连接，则这两条线段之间的关系是___________； (3)点为格点（异于点），且，则图中满足要求的点共有___________个． 18．（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 19．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：； (2)连接，若，平分． ①求证：； ②若，求证：． 20．（25-26八年级下·河北唐山·月考）如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，在线段上取一点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒． (1)若，求的长． (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $