精品解析：甘肃陇南市宕昌县第一中学、第二中学、两当县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025-2026年宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学 高一下学期期中考试数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，所以的虚部为. 2. 若满足，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意解出的值，再逐一验证即可. 【详解】由题意可得或 或， 因为， 所以或或，， 验证可知C正确，ABD错误． 故选：C． 3. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不含的直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论. 【详解】由和正弦定理，可得， 因，代入上式，化简得：， 即，故得或， 当时，，所以，此时是直角三角形； 当时，，又，， 则或（舍去），此时为等腰三角形. 综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. -4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过两角和与差的正余弦公式得出和的关系，再利用二倍角的正切公式即可得结果. 【详解】由，得， 即，所以， 所以，所以． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 由 ， 所以. 6. 已知三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（ ） A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 【答案】D 【解析】 【分析】设出点的坐标，利用同角公式及正弦函数性质求出答案. 【详解】由点在圆上运动，设， 所以 ，显然的最大值、最小值分别为57和45， 所以的最大值与最小值之和为102. 故选：D 7. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用纯虚数定义可得A；借助复数运算法则可计算出，再利用几何意义即可得B；利用共轭复数定义可得C；利用模长公式计算可得D. 【详解】对A：，为纯虚数，故A正确； 对B：，由、， 故在复平面内对应的点位于第三象限，故B正确； 对C：由，则，故C正确； 对D：，故D错误. 10. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长； 对于选项，根据余弦定理可求得的值为，可得，可得三个内角，，成等差数列； 对于选项，由正弦定理可得，外接圆直径可得的值； 对于选项，由题意利用中线定理即可计算得解． 【详解】由正弦定理可得． 设 ， 解得的周长为，故A正确； 由余弦定理得，， 故B正确； 由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确； 由中线定理得，即， ，故D错误． 故选:ABC． 11. 已知函数在上有最大值，无最小值，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 是离轴距离最近的对称轴 D. 的最小正周期为 【答案】CD 【解析】 【分析】首先化简函数的解析式，根据函数的形状，确定端点的取值范围，即可求的值，再根据函数的性质，判断选项. 【详解】. 当时，， 因为函数在上有最大值，无最小值， 所以存在，使得 整理得，，所以，解得. 又因为，故，得， A.，所以函数不是奇函数，故A错误； B.当时，，所以函数在上单调递减，故B错误； C.令，，则，，所以离轴距离最近的对称轴方程为，故C正确； D.的最小正周期为，故D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复数范围内分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用立方差公式分解因式，再求出虚数根代入因式中即可. 【详解】 令，由求根公式可得：， 故. 故答案为：. 13. 已知，且，则______，______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据题意，结合求得，进而结合二倍角公式求得，再结合，根据正弦差角公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以. ． 因为， 所以 ． 14. 函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数得到在上单调递增，再合理换元将目标不等式转化为，进而再得到的单调性，最后利用分离参数法得到，结合正弦函数单调性求解参数范围即可. 【详解】因为， 所以， 则在上单调递增，由已知得， 令，可将化为，且令， 而，即是奇函数， 因为， 所以， 则，即 即， 由题意得在上单调递增，可得在上单调递增， 则，化简得， 令，得到， 由正弦函数性质得在上单调递增， 可得在上单调递增，即，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求； （2）已知，，，求和的夹角. 【答案】（1）  ；（2） 【解析】 【分析】（1）利用共轭复数的概念计算即可； （2）利用平面向量数量积运算律及夹角公式计算即可. 【详解】（1）由，得； （2）由， 得， 又，，， ， 和的夹角为 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. 【小问2详解】 法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 【小问3详解】 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 17. 在中，内角的对边分别是，且． （1）若的面积为，求的周长； （2）若为边上的一点，，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用题干条件结合正弦定理求出角B；利用三角形面积公式得到的值；再结合余弦定理求出的值，进而得到三角形周长； （2）由题意知，即可推出．由余弦定理得，即可推出，再计算三角形面积. 【小问1详解】 在中，因为，由正弦定理得， 即， 所以，即， 又，所以， 又，所以． 由，得， 由余弦定理得，得，得，得， 所以的周长为． 【小问2详解】 由题意知，，由（1）知， 所以，即． 由余弦定理得，则，即， 结合，得，解得或（舍）， 所以． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求B； （2）若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，则角B可求； （2）结合直角三角形性质和正弦定理求出，列方程求得，再由两角和的正弦公式得，代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以 ， 由正弦定理可得， 所以，所以， 又，则，所以， 则，，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，，在中，由正弦定理得，， 所以. 又，，，所以， 故，即. 又，所以，所以. 又， 所以的面积为. 19. 设函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． （1）求的值； （2）求函数图象的对称中心； （3）求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先令函数，根据正弦函数值求解，再结合最小正零点及已知条件求出. （2）由（1）得出的表达式，令正弦函数的相位为，求解，进而得到对称中心. （3）根据三角函数零点求出数列的通项公式，进而求出. 【小问1详解】 令得 或，其中， 解得或， 所以当时，的最小正零点为． 依题意有，故． 【小问2详解】 由（1）知， 令，解得， 所以函数图象的对称中心为． 【小问3详解】 由（1）可知满足或， 依据三角函数的特性可知，在一个周期内有两个零点， 所以最小的两个正零点为，周期， 所以数列的奇数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列， 数列的偶数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列， 所以 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学 高一下学期期中考试数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 若满足，则可以是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不含的直角三角形 4. 已知，则（ ） A. -4 B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为（ ） A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 7. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 10. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为 11. 已知函数在上有最大值，无最小值，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 是离轴距离最近的对称轴 D. 的最小正周期为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复数范围内分解因式：___________. 13. 已知，且，则______，______． 14. 函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求； （2）已知，，，求和的夹角. 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 在中，内角的对边分别是，且． （1）若的面积为，求的周长； （2）若为边上的一点，，且，求的面积． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求B； （2）若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 19. 设函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． （1）求的值； （2）求函数图象的对称中心； （3）求数列的前2n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $