精品解析：广东汕头市金平区2026年中考一模考试数学

2025－2026学年度第二学期九年级教学质量监测数学试卷 说明：本试卷共4页，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，与2026互为相反数的是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可得到答案． 【详解】∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 的相反数是． 2. 2026年我国“天问二号”小行星探测器成功抵达预定探测目标，该小行星距离地球约347000000千米，其中数据347000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：347000000用科学记数法可表示为． 3. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：、圆底烧瓶沿中心竖直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意； 、漏斗下端管口为斜切面，沿竖直线折叠左右不重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、分液漏斗活塞处右侧有手柄，沿竖直线折叠左右不重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；  、洗气瓶内导管一长一短，沿竖直线折叠左右不重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 4. 小丽同学是某校2024年入学的，她在5班，学号是23，如果用6位数字给她编学籍号，下面比较实用的是（ ） A. 202405 B. 240623 C. 240523 D. 230524 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵小丽2024年入学，6位编码下取入学年份后两位为24；小丽在5班，占2位编码为05；小丽学号是23，占2位编码为23； ∴按规则组合得到学籍号为240523． 5. 育才中学为了解学生体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周平均每天的锻炼时间，统计结果如图所示．这些学生锻炼时间的中位数、众数分别是（ ） A. 9，7 B. 9，9 C. 1，1.5 D. 1，1 【答案】D 【解析】 【详解】解：由统计图可知：这些学生锻炼时间为1小时的人数最多，所以众数是1， ∵， ∴这些学生锻炼时间的中位数是第12和第13数据之和的平均数，即． 6. 如图，点P在⊙O外，PA切⊙O于点A，连接OP，若OP=5，PA=4，则sin∠APO等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA，由勾股定理得OA=3，从而得sin∠APO=． 【详解】解：连接OA， 由切线性质知，∠PAO=90°． 在Rt△PAO中，OP=5，PA=4，由勾股定理得OA=3． ∴sin∠APO=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义．由切线性质得知∠PAO=90°是解决此题的关键． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方与积的乘方、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据幂的乘方与积的乘方运算法则，以及完全平方公式，逐一分析各选项的运算过程，判断其正确性． 【详解】解：，选项A运算错误， ，选项B运算错误， ，选项C运算错误； ，选项D运算错误． 8. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转，使的对应边经过点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，根据旋转的性质得出及，结合点在上，利用等边对等角及三角形内角和定理求出旋转角的度数，即为的度数． 【详解】解：在中，，，  ． 由旋转的性质可知，，，．   的对应边经过点，  点在上， ，  ． 在中，．  ． 9. 如图，的中线相交于点F，若的面积等于12，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据中线的性质得到三角形面积之间的关系，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： ∵的中线相交于点F， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵的面积为12 ∴， 解得， ∴． 10. 已知二次函数，若关于的方程的实数根为，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与零点，再根据方程的几何意义判断交点横坐标的范围，即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数，二次项系数为， ∴抛物线开口向上， 令，则有，解得，， ∴抛物线与轴交点为和， 根据开口向上的抛物线的性质，可得当时，， 方程的实数根是抛物线与直线交点的横坐标， ∵，即， ∴两个交点都落在区间内， 又， ∴． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 在压力不变的情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积的反比例函数，其图象如图所示．当时，该物体所受到的压强为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出P关于S的反比例函数关系式，再把代入关系式中求出对应的P的值即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴当时，该物体所受到的压强为， 故答案为：． 13. 若m，n满足+=0，则mn=___________． 【答案】-12 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出m、n的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴m-3=0，且n+4=0， 解得：m=3，n=-4， ∴， 故答案为：-12． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，代数式的值，与非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 14. 单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，平分，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理．先根据平行线的性质求出的度数，再结合已知条件求出的度数，利用角平分线的定义求出的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． ， ． 平分， ． 在中， ． 15. 如图，四边形为正方形，点E为的中点，平分，交于点F．则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设定正方形边长为定值简化运算，结合正方形性质与勾股定理求出线段长度，作垂直辅助线，利用角平分线的距离相等性质得到垂线段与FC相等，通过证明直角三角形全等得到，列方程求出的长度，在直角三角形内根据正切定义求出的正切值，结合角平分线等量代换得到的最终结果． 【详解】解：过点作，垂足为，连接，如图 设正方形边长为． 四边形为正方形． ，， 为的中点 在中，由勾股定理． ． ． ． 平分，， ， 在和中． ． ， 设． ． ． 在中，，． 由勾股定理． ． 在中，由勾股定理． ． 联立等式，得 ． 解得． ． 在中． ， 平分 ． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】0 【解析】 【详解】解：原式． 17. 如图，在平行四边形中，平分，交于点． （1）尺规作图：作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）的条件下，若的长为_____（直接写出答案）． 【答案】（1）见详解 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图进行求解即可； （2）由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：所作图形如图所示： 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 18. 为了做好春季诺如病毒的预防工作，光明中学后勤部门购进了甲、乙两种包装的消毒湿巾．已知甲种消毒湿巾每包的价格比乙种消毒湿巾每包的价格多6元，若用1200元购进甲种消毒湿巾的数量和用750元购进乙种消毒湿巾的数量相同，求这两种包装的消毒湿巾每包的价格各是多少． 【答案】甲种消毒湿巾每包价格为16元，乙种消毒湿巾每包价格为10元 【解析】 【详解】解：设甲种消毒湿巾每包价格为元，则乙种消毒湿巾每包价格为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：甲种消毒湿巾每包价格为16元，乙种消毒湿巾每包价格为10元． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某文创公司推出两种毕业纪念礼盒：经典款（A型）和典藏款（B型）．销售1个经典款的利润为80元，销售1个典藏款的利润为120元．公司计划本次共推出两种礼盒120个，受供应链产能限制，典藏款的推出数量不能超过经典款的2倍．设推出经典款礼盒个，销售全部礼盒的总利润为元． （1）求关于的函数解析式（要求写出自变量的取值范围）； （2）如何分配两种礼盒的推出数量才能使总利润最大？总利润最大值是多少？ 【答案】（1）（，且x为正整数） （2）经典款推出40个，典藏款推出80个时总利润最大，最大总利润为12800元 【解析】 【分析】（1）根据总利润等于两种礼盒的利润和列出函数关系式，再结合题干限制条件与实际意义求出自变量的取值范围； （2）利用一次函数的增减性，结合自变量范围求出最大总利润，得到两种礼盒的推出数量． 【小问1详解】 解：已知推出经典款礼盒个，则推出典藏款礼盒的数量为个 根据题意得  化简得  根据典藏款的推出数量不能超过经典款的2倍，可得   解得  又 解得  为礼盒个数，是正整数， 因此自变量的取值范围是，且为正整数 即关于的函数解析式为（，且为正整数） 【小问2详解】 解：在中， 随的增大而减小 当时，取得最大值 此时典藏款数量为（个） 将代入解析式得（元） 答：推出经典款40个，典藏款80个时总利润最大，总利润最大值是12800元． 20. 疫情期间，我区积极开展“停课不停学”线上教学活动，某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果良好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）此次调查中，共抽查了________名学生； （2）补全条形统计图，扇形统计图中“效果不理想”对应的圆心角为________； （3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果较好，丙认为效果良好，丁认为效果一般．从该学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果良好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求列表或画树状图求概率） 【答案】（1）200 （2） （3）表见解析，“1人认为效果良好，1人认为效果较好”的概率是 【解析】 【分析】（1）由B组有80人，占比40%，从而可得总人数； （2）先求解A组的人数，再补全统计图即可，由D组的占比乘以可得扇形统计图中“效果不理想”对应的圆心角； （3）用列表法表示所有可能出现的结果以及符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）， 此次调查中，共抽查了200名学生． 故答案为：200． 【小问2详解】 ，补全条形统计图如下： 扇形统计图中“效果不理想”对应的圆心角为． 故答案为：． 【小问3详解】 用列表法表示所有可能出现的结果如下： 甲（A） 乙（A） 丙（B） 丁（C） 甲（A） AA AB AC 乙（A） AA AB AC 丙（B） BA BA BC 丁（C） CA CA CB 共有12种等可能结果，其中“1人认为效果良好，1人认为效果较好”的有4种，记为事件A， ． 【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形图中某部分所对应的圆心角，补全条形统计图，利用列表或画树状图求解随机事件的概率，掌握以上统计与概率的基础知识是解本题的关键． 21. 综合与实践 实际背景：如图1，汕头市中山公园的九曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光． （1）数学知识：其中蕴含的数学道理是_____； （2）知识应用：如图2，四边形的对角线、交于点O，若四边形的周长为，求证：； （3）拓展探究：如图3，四边形的对角线、交于点O，若，，则的最小值为_____．（直接写出答案） 【答案】（1）两点之间线段最短 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据三角形三边关系即可求解； （3）以为邻边，构造平行四边形，过点E作，连接，则有，然后可得，进而可根据三角形三边不等关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短； 【小问2详解】 证明：在中，由三角形三边关系可得， 同理可得：， 将以上四个不等式左右两边分别相加得：， ∵，且四边形的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：； 【小问3详解】 解：以为邻边，构造平行四边形，过点E作，连接，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴根据三角形三边不等关系可得：，当且仅当点A、B、E三点共线时取等号， ∴的最小值为． 五．解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图1，内接于，，． （1）求的半径； （2）如图2，点D在，连接，交于点E，若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在上，点C关于的对称点落在上，连接，并延长交于点，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，并延长交于点D，连接，易得，，求出，设半径，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）连接，易证，可求、，再证，即可得解； （3）导角可证，则，再利用双勾股建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，并延长交于点D，连接， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 设半径为r，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 故的半径为； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 由图可知， ∴的长为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ， 由对称性可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴，即． 23. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点D为线段上一动点（点D不与端点重合）． ①如图2，若抛物线上的点M与点O关于点D对称，求点M的坐标； ②如图3，若D的坐标为，，分别在轴和轴上，且．若的面积为，则的值为_____．（直接写出答案） 【答案】（1） （2）①；②2或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）①由（1）可知，然后得出直线的解析式为，设点，进而根据中点坐标公式可进行求解； ②先求出，然后根据两点距离公式可得，，进而根据的面积为可知 ，则有 ，最后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：由抛物线与轴交于两点，可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①由（1）可知：抛物线的解析式为， ∴令时，则有，即， 设直线的解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵点M与点O关于点D对称， ∴根据中点坐标公式可得：，即， 把代入直线的解析式得：， 解得：， ∴； ②由①可把代入直线的解析式得：， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ， ， ∵的面积为， ∴，即 ， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴ ， 当，时，即， ∵ ， ∴ ， 解得：， ∴， ∴； 当，时，即， ∴， 由 ，则若时，那么；若时，那么； 综上所述：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期九年级教学质量监测数学试卷 说明：本试卷共4页，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，与2026互为相反数的是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 2026年我国“天问二号”小行星探测器成功抵达预定探测目标，该小行星距离地球约347000000千米，其中数据347000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 小丽同学是某校2024年入学的，她在5班，学号是23，如果用6位数字给她编学籍号，下面比较实用的是（ ） A. 202405 B. 240623 C. 240523 D. 230524 5. 育才中学为了解学生体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周平均每天的锻炼时间，统计结果如图所示．这些学生锻炼时间的中位数、众数分别是（ ） A. 9，7 B. 9，9 C. 1，1.5 D. 1，1 6. 如图，点P在⊙O外，PA切⊙O于点A，连接OP，若OP=5，PA=4，则sin∠APO等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转，使的对应边经过点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的中线相交于点F，若的面积等于12，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 已知二次函数，若关于的方程的实数根为，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 12. 在压力不变的情况下，某物体所受到的压强是它的受力面积的反比例函数，其图象如图所示．当时，该物体所受到的压强为____． 13. 若m，n满足+=0，则mn=___________． 14. 单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，平分，则_______． 15. 如图，四边形为正方形，点E为的中点，平分，交于点F．则的值为_____． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在平行四边形中，平分，交于点． （1）尺规作图：作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）的条件下，若的长为_____（直接写出答案）． 18. 为了做好春季诺如病毒的预防工作，光明中学后勤部门购进了甲、乙两种包装的消毒湿巾．已知甲种消毒湿巾每包的价格比乙种消毒湿巾每包的价格多6元，若用1200元购进甲种消毒湿巾的数量和用750元购进乙种消毒湿巾的数量相同，求这两种包装的消毒湿巾每包的价格各是多少． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某文创公司推出两种毕业纪念礼盒：经典款（A型）和典藏款（B型）．销售1个经典款的利润为80元，销售1个典藏款的利润为120元．公司计划本次共推出两种礼盒120个，受供应链产能限制，典藏款的推出数量不能超过经典款的2倍．设推出经典款礼盒个，销售全部礼盒的总利润为元． （1）求关于的函数解析式（要求写出自变量的取值范围）； （2）如何分配两种礼盒的推出数量才能使总利润最大？总利润最大值是多少？ 20. 疫情期间，我区积极开展“停课不停学”线上教学活动，某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果良好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）此次调查中，共抽查了________名学生； （2）补全条形统计图，扇形统计图中“效果不理想”对应的圆心角为________； （3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果较好，丙认为效果良好，丁认为效果一般．从该学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果良好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求列表或画树状图求概率） 21. 综合与实践 实际背景：如图1，汕头市中山公园的九曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光． （1）数学知识：其中蕴含的数学道理是_____； （2）知识应用：如图2，四边形的对角线、交于点O，若四边形的周长为，求证：； （3）拓展探究：如图3，四边形的对角线、交于点O，若，，则的最小值为_____．（直接写出答案） 五．解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图1，内接于，，． （1）求的半径； （2）如图2，点D在，连接，交于点E，若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在上，点C关于的对称点落在上，连接，并延长交于点，求的长． 23. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点D为线段上一动点（点D不与端点重合）． ①如图2，若抛物线上的点M与点O关于点D对称，求点M的坐标； ②如图3，若D的坐标为，，分别在轴和轴上，且．若的面积为，则的值为_____．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $