精品解析：2026年广东省揭阳市揭东区初中学业水平考试第一次模拟考数学科试题

2026年初中学业水平考试第一次模拟考 数学科试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1. 据报道，年我国南方电网“西电东送”送电量超过亿千瓦时，其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，只需根据科学记数法的定义确定和的值即可，科学记数法的表示形式为，要求，为整数． 【详解】解：∵亿 ，根据科学记数法对的要求，可得， ∵等于原数的整数位数减，原数整数位数为， ∴， ∴亿用科学记数法表示为， 故选：B． 2. 把方程变形为的依据是（ ） A. 乘法结合律 B. 乘法分配律 C. 等式的性质1 D. 等式的性质2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质； 根据等式的基本性质，将方程两边同时乘以同一个不为零的数，等式仍成立，可得答案． 【详解】解：将方程两边同时乘以2，得，依据的是等式的性质2， 故选：D． 3. 点在轴上，则点的坐标为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再代入计算纵坐标，即可得到点P的坐标. 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 4. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．据此分析即可． 【详解】解：A．该图是所给几何体的左视图，故符合题意； B．该图是所给几何体的俯视图，故不符合题意； C．该图是所给几何体的主视图，故不符合题意； D．该图不是所给几何体的视图，故不符合题意； 故选A． 5. 在女兵徒步方队中，为保证队形整齐，队员身高要经过严格筛选．某女兵方队队员的身高（单位：）数据如下：168，169，168，170，169，168，167，169，168．则这组数据的中位数是（ ） A. 167 B. 168 C. 169 D. 170 【答案】B 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，根据数据个数的奇偶性，取对应中间位置的数得到中位数． 【详解】解：这组数据从小到大排序为， ∵这组数据共有个，是奇数，中位数为排序后第个数， ∴第个数为， 即这组数据的中位数是． 6. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上一点．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据角的和差计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵点C，D，F在射线上， ∴， ∴． 7. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据方程组的解满足知道将两方程相减是解题的关键．将方程组中两个方程相减可得，根据可得关于k的不等式，继而知k的范围． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，列出不等式求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴或， ∴可能的值是； 故选B． 9. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 10. 如图，某考古队在发掘一处古代遗址时，发现了一枚残缺的青铜四边形挂饰．经检测，挂饰的三条线段满足，且工匠在边角处清晰刻下了，为完整复原这枚挂饰的形制，考古人员需要计算出的度数．根据所学几何知识，点，，在以点为圆心的同一个圆上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得点，，在以点为圆心的同一个圆上，然后通过圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴点，，在以点为圆心的同一个圆上， ∴， ∴， ∴的度数为． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围，熟练掌握二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围是解题的关键；由题意易得且，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且； 故答案为且． 13. 从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是___________． 【答案】18 【解析】 【分析】从边形的一个顶点出发有条对角线． 【详解】解：设该正多边形的边数是， ∵从正多边形的一个顶点出发有15条对角线， ∴， 解得， ∴该正多边形的边数是18． 14. 已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为________． 【答案】29 【解析】 【分析】先根据题意得到，则，，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵点在直线上，也在双曲线上， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，完全平方公式的变形求值，正确得到，是解题的关键． 15. 如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，半径OA＝2，C为的中点，D为OA上任意一点（不与点O、A重合），则图中阴影部分的面积为____． 【答案】π. 【解析】 【分析】连接OC，BC，由C为弧AB的中点，得到两条弧相等，进而得到所对的圆心角相等，再由OB＝OC，得到三角形BOC为等边三角形，进而得到一对内错角相等，确定出BC与OA平行，利用同底等高三角形面积相等得到三角形BCD面积＝三角形BOC面积，进而把阴影部分面积转化为扇形BOC面积，求出即可． 【详解】连接OC，BC， ∵圆心角为120°的扇形OAB中，C为的中点， ∴∠BOC＝∠AOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠OCB＝∠COA＝60°， ∴BC∥OA， ∴由同底等高得到△BOC与△BCD面积相等， ∴S阴影＝S弓形BC+S△BCD＝S弓形BC+S△BOC＝S扇形BOC＝， 故答案为π. 【点睛】此题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． （1）你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； （2）请选择合适的方法解原方程． 【答案】（1）不是原方程的解； （2），． 【解析】 【分析】（）根据方程解的定义，将代入原方程，比较左右两边的值是否相等即可判断； （）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：将代入得，左边 ，右边， ∵左边右边， ∴不是原方程的解； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 17. 今年春节，揭阳文化古城人气火爆，累计接待游客约50万人次．揭阳学宫推出两款文创纪念品：“揭阳古八景”书签和“进贤门”折扇．某文创店决定购进这两款纪念品，已知“揭阳古八景”书签每件的进价比“进贤门”折扇每件的进价少6元，花180元购买“揭阳古八景”书签的件数与花240元购买“进贤门”折扇的件数相等．求书签和折扇每件的进价． 【答案】“揭阳古八景”书签每件进价18元，“进贤门”折扇每件进价24元． 【解析】 【分析】设折扇每件的进价为x元，则书签每件的进价为元．根据花180元购买“揭阳古八景”书签的件数与花240元购买“进贤门”折扇的件数相等，列分式方程进行求解． 【详解】解：设折扇每件的进价为x元，则书签每件的进价为元． 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：书签每件的进价为18元，折扇每件的进价为24元． 18. 如图，，是的两条弦，，连接． （1）利用尺规作图法在上求作一点，使得点到，的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，，，，四边形的形状是 ． 【答案】（1）见解析； （2）菱形． 【解析】 【分析】（）过作垂线即可； （）连接，，，，由圆周角定理可得，由（）可知，，则，证明，是等边三角形，故有，，所以，从而求证． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接，，，， ∵， ∴， 由（）可知，， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．某中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：八年级20名学生的成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 a 九年级 89 b 92 （1）填空：______；______，______； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市航天科普知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率． 【答案】（1）25，94，87 （2）八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出九年级C组占比，进而即可得出m的值，根据众数和中位数的定义即可得出a、b的值； （2）可从平均数、众数、中位数角度分析解答； （3）先列表求出所有可能的结果数，再找出必有甲同学参加比赛的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 在八年级的成绩中出现次，次数最多， 故； 九年级成绩中D组人数为人， 中位数应是排列后居于第位和位数据的平均数，即； 【小问2详解】 解：八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好．理由如下： ∵两个年级学生成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数高于九年级， ∴八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 由表格可知，所有等可能的结果共有12种，其中必有甲同学参加比赛的结果有6种，可得． 20. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）的长为． 【解析】 【分析】（）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到结论； （）根据三角形中位线定理求得，根据三角函数的定义得到，求得，根据勾股定理得到，根据平行四边形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到结论． 【小问1详解】 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：由（）知，是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为． 21. 某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】如图，点是桥塔顶部一点，即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部处的俯角，底部处的俯角，沿水平方向由点行米到达点处，在处测得处的俯角．，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 （1）请根据以上数据求桥塔的高度（结果精确到米．参考数据：，，，，，）； 【方案反思】 （2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（，，米，）中至多可以删减的数据为 ． 【答案】（1）桥塔的高度约为米； （2）米和． 【解析】 【分析】（）延长交于点，则，所以，设米，米，在中，则，故米，所以，从而求得米，米，在中有，然后通过线段的和与差，代入即可求解； （）由现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，即为已知，设米，同（）理可得，故只需数据，，从而求解． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点，则， ∴， 在中，， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， ∴米， ∵沿水平方向由点行米到达点处， ∴， 解得：， ∴（米），（米）， 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：桥塔的高度约为米； 【小问2详解】 解：由现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，即为已知，设米，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴只需数据，， ∴原数据采集方案（，，米，）中至多可以删减的数据为米和， 故答案为：米和． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第22小题14分，共27分 22. 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人： （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高（m） 1.70 1.73 1.75 1.80 人数 2 2 4 1 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适： （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 （1）任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． （2）任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． （3）任务3：方案优化改进，据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整，班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（线段），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题． 【答案】（1）；（2）绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学，理由见解析；（3）方案能解决同学反映的问题，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数平移等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）按照题意建立平面直角坐标系，易得抛物线的对称轴为轴，于轴交于点，并且经过点，设出相应的函数解析式，进而把点代入可得二次项系数的值，即可求得长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式； （2）个同学，最高的同学在正中间，那么右边将有个同学，易得最右侧同学所在的横坐标，代入（1）中得到的解析式，可得最右侧同学所在的地方抛物线的高度，计算出最右侧同学屈膝后的身高，与抛物线的高度比较可判断绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学； （3）根据抛物线的形状相同可得绳子摇至最低处时，抛物线解析式，进而可得平移后新的抛物线解析式，取最右侧同学的横坐标代入可得最右侧同学跳绳的高度，与舒适高度比较即可判断方案能否解决问题． 【详解】解：（1）如图建立平面直角坐标系： 设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：， ∵经过点， ， 解得：， ∴长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：； （2）最右侧同学所在的横坐标为： ， 当时，， ∵长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的， ∴最右侧同学屈膝后的身高为：， ， ∴绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学； （3）当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为， ∵出手高度降低至， ∴抛物线下降， ∴下移后的抛物线解析式为：， 当时，， ∴方案能解决同学反映的问题． 23. 如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M． （1）求∠APC和∠BPC的度数； （2）求证：△ACM≌△BCP； （3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积； （4）在（3）的条件下，求的长度． 【答案】（1）∠APC＝60°，∠BPC＝60° （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，根据圆周角定理即可得到∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°； （2）根据平行线的性质得到∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，求得∠M=∠BPC=60°，根据圆周角定理得到∠PAC+∠PCB=180°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （3）作PH⊥CM于H，根据全等三角形的性质得到CM=CP，AM=BP，根据直角三角形的性质得到PH，根据三角形的面积公式即可得到结论； （4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，求得∠PBQ=30°，得到PQ，根据勾股定理得到BQ和AN，根据弧长公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°， ∵，， ∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°； 【小问2详解】 证明：∵CM∥BP， ∴∠BPM+∠M=180°， ∠PCM=∠BPC， ∵∠BPC=∠BAC=60°， ∴∠PCM=∠BPC=60°， ∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°， ∴∠M=∠BPC=60°， 又∵A、P、B、C四点共圆， ∴∠PAC+∠PCB=180°， ∵∠MAC+∠PAC=180°， ∴∠MAC=∠PBC， ∵AC=BC， 在△ACM和△BCP中， ， ∴△ACM≌△BCP（AAS）； 【小问3详解】 解：∵CM∥BP， ∴四边形PBCM为梯形， 作PH⊥CM于H， ∵△ACM≌△BCP， ∴CM=CP，AM=BP， 又∠M=60°， ∴△PCM为等边三角形， ∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3， 在Rt△PMH中，∠MPH=30°， ∴PH=， ∴S四边形PBCM=（PB+CM）×PH=（2+3）×=； 【小问4详解】 解：过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB， ∵∠APC=∠BPC=60°， ∴∠BPQ=60°， ∴∠PBQ=30°， ∴PQ=PB=1， 在Rt△BPQ中，BQ=， 在Rt△AQB中，AB=， ∵△ABC为等边三角形， ∴AN经过圆心O， ∴BN=AB=， ∴AN=， 在Rt△BON中，设BO=x，则ON=−x， ∴()2+(−x)2＝x2， 解得：x=， ∵∠BOA=∠BCA=120°， ∴的长度为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试第一次模拟考 数学科试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1. 据报道，年我国南方电网“西电东送”送电量超过亿千瓦时，其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 把方程变形为的依据是（ ） A. 乘法结合律 B. 乘法分配律 C. 等式的性质1 D. 等式的性质2 3. 点在轴上，则点的坐标为 A. B. C. D. 4. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 在女兵徒步方队中，为保证队形整齐，队员身高要经过严格筛选．某女兵方队队员的身高（单位：）数据如下：168，169，168，170，169，168，167，169，168．则这组数据的中位数是（ ） A. 167 B. 168 C. 169 D. 170 6. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上一点．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（ ） A. 0 B. C. D. 9. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，某考古队在发掘一处古代遗址时，发现了一枚残缺的青铜四边形挂饰．经检测，挂饰的三条线段满足，且工匠在边角处清晰刻下了，为完整复原这枚挂饰的形制，考古人员需要计算出的度数．根据所学几何知识，点，，在以点为圆心的同一个圆上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11. 分解因式：___________． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 13. 从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是___________． 14. 已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为________． 15. 如图，在圆心角为120°的扇形OAB中，半径OA＝2，C为的中点，D为OA上任意一点（不与点O、A重合），则图中阴影部分的面积为____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． （1）你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； （2）请选择合适的方法解原方程． 17. 今年春节，揭阳文化古城人气火爆，累计接待游客约50万人次．揭阳学宫推出两款文创纪念品：“揭阳古八景”书签和“进贤门”折扇．某文创店决定购进这两款纪念品，已知“揭阳古八景”书签每件的进价比“进贤门”折扇每件的进价少6元，花180元购买“揭阳古八景”书签的件数与花240元购买“进贤门”折扇的件数相等．求书签和折扇每件的进价． 18. 如图，，是的两条弦，，连接． （1）利用尺规作图法在上求作一点，使得点到，的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，，，，四边形的形状是 ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．某中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：八年级20名学生的成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 a 九年级 89 b 92 （1）填空：______；______，______； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市航天科普知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率． 20. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】如图，点是桥塔顶部一点，即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部处的俯角，底部处的俯角，沿水平方向由点行米到达点处，在处测得处的俯角．，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 （1）请根据以上数据求桥塔的高度（结果精确到米．参考数据：，，，，，）； 【方案反思】 （2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（，，米，）中至多可以删减的数据为 ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第22小题14分，共27分 22. 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人： （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高（m） 1.70 1.73 1.75 1.80 人数 2 2 4 1 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适： （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 （1）任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． （2）任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． （3）任务3：方案优化改进，据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整，班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（线段），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题． 23. 如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M． （1）求∠APC和∠BPC的度数； （2）求证：△ACM≌△BCP； （3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积； （4）在（3）的条件下，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $