精品解析：2025年广东省汕头金平区九年级数学一模试卷

2024~2025学年度第二学期九年级教学质量监测 数学试卷 说明：本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1. 答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B铅笔把学生考号的对应数字涂黑． 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4. 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑． 1. 实验室检测四个零件的质量（单位：克），按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”记录如下，其中最接近标准质量的是（ ） A 1.1 B. C. D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵，，， ∴最接近标准质量的是记克的零件， 故选：C． 2. 下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 3. 电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到3月23日，累计票房已达153亿元，数据153亿用科学记数法表示约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：153亿， 故选：B． 4. 榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．如下图①是其中一种卯，则图②是该几何体的（　　） A. 正视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 右视图 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的定义， 理解 “从上面看几何体，所看到的视图是俯视图”，理解看见的轮廓线是实线，看不见的轮廓线是虚线，会看出几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由题意得 是俯视图； 故选：C． 5. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据剪拼的过程可知矩形的面积大正方形的面积小正方形的面积，由此列式，然后化简即可． 本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】由题意得，该矩形的面积为： ． 故选：C． 6. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，根据题意、正确画出树状图成为解题的关键． 正确画出树状图确定所有可能的结果数和能让灯泡发光的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故选：B． 7. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．先根据根与系数的关系求出和的值，再将转化成，然后将和的值代入即可得解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：D． 8. 如图在中，边，的垂直平分线交于点D，连结，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质，正确作出辅助线是解题关键．连接并延长交于点，首先根据垂直平分线的性质可得，进而可得，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，同理可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接并延长交于点， ∵边，的垂直平分线交于点，， ∴， ∴， ∴，同理可得， ∴． 故选：A． 9. 若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于直线的对称点，然后利用待定系数法即可求解． 【详解】解：直线与轴的交点为，与轴的交点为； 点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， 把点、代入， 得：， 解得：，， 故选：A． 10. 如图，在三角形纸片中，，沿过点A直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，先计算算术平方根，零指数幂，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验，当时，， ∴原方程的解为， 故答案为：． 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，负整数幂，直接利用绝对值的非负性，偶次幂的非负性得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 故． 故答案为：． 14. 如图1，王老师小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为如图2所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，过点B向右侧作，利用平行线的性质得，根据平行线的传递性得出，结合得，进而得，从而可得出答案． 【详解】解：过点B向右侧作，则． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，、关于原点O对称的点分别为C、D，点M从点B出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点N从点A出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点M的速度是点N的速度的2倍，则点M和点N第2025次相遇时，点M的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明四边形是菱形，利用勾股定理求出菱形边长为，利用行程问题中相遇问题，根据两个点的速度，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：∵、关于原点O对称的点分别为C、D， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 根据题意设点N的速度为x，则点M的速度为， ∴点M和点N第1次相遇时，经过时间为，此时点M运动的路程为，则点M在点上，坐标为； 点M和点N第2次相遇时，经过时间为，此时点M运动的路程为， ∵， ∴点M在点的三等分点上，且靠近点C， 如图，设相遇点为，过点作轴的垂线，垂足为，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 点M和点N第3次相遇时，同理得经过时间为，此时点M运动的路程为，点M在点的三等分点上，且靠近点A， 如图，设相遇点为，同理得， 点M和点N第4次相遇时，同理得经过时间为，此时点M运动的路程为，点M在点上， ； 则点M和点N相遇点依次为， ∵， ∴点M和点N第2025次相遇时，相遇位置为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的规律，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质及菱形的判定与性质，找到规律是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】，画图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查的是的解不等式组，掌握不等式的性质，解不等式的方法，不等式取值的方法是解题的关键．根据不等式的性质分别解出不等式①②的解，将解集表示在数轴即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 解得：； 由②得，， 将解集表示在数轴上，如图所示， ∴不等式组的解集是：． 17. 如表是陈红这一学期数学成绩测试记录，根据表格提供的信息，回答下列问题： 自我评价 平时成绩 期中测试 期末测试 一 二 三 四 成绩 88 93 90 85 90 96 （1）陈红6次成绩的众数为______，中位数为______； （2）若把四次练习成绩的平均分作为平时成绩，按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请求出陈红本学期的综合成绩． 【答案】（1）众数为，中位数为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查中位数、众数、平均数的概念，熟练掌握中位数、众数、平均数的概念是解题的关键． （1）根据众数和中位数的概念得出结论即可； （2）根据各种成绩的比例得出综合成绩即可． 【小问1详解】 解：∵陈红的次成绩分别为、、、、、， ∴陈红次成绩的众数为，中位数为 ； 【小问2详解】 解： 即陈红本学期的综合成绩为． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：利用尺规作的高．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）问题与解决：在（1）的条件下，若，求． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，熟悉掌握尺规作图高的做法是解题的关键． （1）根据高的尺规作图方法作图即可； （2）先求解，证明，进一步解答即可． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求： ； 【小问2详解】 解：∵， 为的高， ∴， ∵， ∴， ∴. 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 （1）由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． （2）当的长度为时，求弹簧秤的示数． （3）李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式即可求解； （3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【小问1详解】 解：是的反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，． 答：弹簧秤的示数为； 小问3详解】 解：将代入中，得， 解得． ， 不可能等于2． 20. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2是其平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高．上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ，， ， ． ， 在中，， 答：下折臂的长约为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ，， ， 由题意可得四边形是矩形， ，， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 如何购买保洁物品 素材1 某学校需要增加保洁物品的库存量，因经费问题，计划用不超过720元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的2倍，扫把簸箕套装不少于50套． 素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需33元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需48元． 素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】任务1：毛巾单价为3元，扫把簸箕套装的单价为12元；任务2：两种方案下，均能购买50套扫把簸箕套装和100条毛巾 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解此题的关键． 任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，计算即可得解． 【详解】任务1： 解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元． 根据题意得： 解得 答：毛巾单价为3元，扫把簸箕套装的单价为12元． 任务2： 解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， ∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元） 方案一：， 解得， 由题意得， ∴， ∴； 方案二：， 解得， 由题意得， ∴， ∴； 答：两种方案下，均能购买50套扫把簸箕套装和100条毛巾． 五、解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图1，正方形的边长为4，E为上一点（B、C点除外），连接，以为直径作，与对角线的另一交点为F，连接，． （1）证明：为等腰直角三角形； （2）如图2，连接，若． ①证明：与相切； ②求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②8 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，根据正方形的性质和圆周角定理得出，结合三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，即可得证； （2）①根据三线合一的性质求出，证明，得出，进而得出，然后根据切线的判定即可得证； ②过C作于G，根据等角对等边可得出，证明，可得出，设，则，在中，根据勾股定理可求出，在中，根据勾股定理可求出，结合，得出，求出，则，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； 【小问2详解】 ①证明：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 又是的半径， ∴与相切； ②解：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判断，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 23. 如图1，直线与x，y轴分别交于A，B两点． （1）求的长； （2）如图2，点C的坐标．点F为线段上一点（A、B点除外），连接交于点G．当时．求点F坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，分别以线段，的长度为长和宽，在x轴的上方作矩形．过A、G两点的抛物线的顶点M在矩形的边上．请直接写出a的值． 【答案】（1）5 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）分别求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求解即可； （2）在上取点M，使，连接，过M作于N，证明，求出，，则，根据待定系数法求出直线解析式为，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，则，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，解方程组即可求出点F的坐标； （3）分当顶点M在上时；顶点M在上；当顶点M在上时；顶点M在上时，四种情况讨论，然后根据待定系数法求解即可． 小问1详解】 解：当时，， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：在上取点M，使，连接，过M作于N， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：根据题意得， 对于，当时，， ∴， 当顶点M在上时，M和A重合，则， 设抛物线解析式为， 把代入，得， ∴； 当顶点M在上时，M和A重合，则， 同理求出， 当顶点M在上时，设， 则可设抛物线解析式为，， 把，代入，得， 解得，经检验，符合题意， ∴； 当顶点M在上时，设，， 则可设抛物线解析式为， 把，代入，得， 化简，得 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴， 解得， 综上，a的值为或或． 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $