精品解析：辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

沈阳市回民中学2024级高二下学期4月月考 数 学 出题人：高二数学组 审题人：高二数学组 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的) 1. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】等差数列中，由，得，即，解得， 而，则公差，所以. 2. 已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等比中项的性质可求得的值，再利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】由题意可知，对任意的，， 由等比中项的性质可得，可得，则. 由等差中项的性质可得. 故选：A. 3. 已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（ ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A. 2.5 B. 2.7 C. 2.9 D. 3.1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出样本中心点坐标，代入回归直线方程，解方程即可. 【详解】由题意，可得，， 所以样本点的中心坐标为， 代入回归直线方程，可得， 解方程得. 4. 已知数列满足，若为递增数列，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用得到，求出时，取得最大值，得到答案. 【详解】要想为递增数列，则恒成立， 故， 又时，取得最大值，最大值为，故， 故选：B 5. 在校运动会中，班甲同学和其他三位同学参加短跑接力赛，甲在短跑接力赛中跑第一棒、第二棒的概率分别为，且甲跑第一棒、第二棒时，班赢得短跑接力赛的概率分别为，则班赢得短跑接力赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式结合全概率公式求解即可. 【详解】用，分别表示甲在短跑接力赛中跑第一棒、第二棒， 用表示班赢得短跑接力赛，由题意得， ，，， 所以由全概率公式得，故B正确. 故选：B 6. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 7. 若成等差数列；成等比数列，则等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可． 【详解】若1，a1，a2，4成等差数列，4＝1+3d，d＝1， ∴a1﹣a2＝﹣1． 又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）． ∴ 故答案为A． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 8. 记数列的前n项和为，若，，且恒成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】说明是首项为，公比为3的等比数列，可得，，由题意得恒成立，进一步即可求解. 【详解】因为，所以． 又， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 则，故， 所以， 则． 因为恒成立，所以恒成立， 又，所以，解得． 又，所以，即实数的取值范围为． 故选：A. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 离散型随机变量服从两点分布，且，则 C. 随机变量，若，则 D. 已知随机变量，满足，若，则， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项分布，两点分布和正态分布的相关性质计算判断即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因服从两点分布，则， 又，联立解得，故B正确； 对于C，因，且 ，则， 故，故C正确； 对于D，由可得， 因为，则，故，，故D正确. 故选：BCD. 10. 记是公差为的等差数列的前项和，已知，，是数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 对于任意正整数， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，求出等差数列通项公式的基本量，然后求出通项以及前项和，判断选项AB，根据性质即可得到是等差数列，即可判断选项C，进而结合裂项相消法，即可判断选项D. 【详解】由题知，，可得， 即，， 又，令，得，， 解得，所以， 所以，， 所以，，数列是为首项，为公差的等差数列， 所以，， 所以， 因为，所以.故ACD正确. 故选：ACD 11. 已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据与的关系，求出，并求得；由项与积的关系求得，可得数列是等比数列，根据等比数列的前项和即可求得. 【详解】因为，所以 当时，，解得； 当时，， 两式相减可得， 即，所以. 故数列是以1为首项、2为公比的等比数列，故，所以A错误. 由，得，所以，所以B正确. 记， 当时，， 即， 故. 因为，故，故数列是以1为首项，为公比的等比数列. 故，所以C、D正确． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】解：由题，则，解得. 13. 已知数列满足，则其前9项和 ___ . 【答案】69 【解析】 【分析】由分组求和法即可得解. 【详解】 . 故答案为：69. 14. 已知数列的前n项和为，若，，则满足的的最小值为________. 【答案】48 【解析】 【分析】对递推公式取倒数，结合等差数列的定义求出通项公式，进而求出的表达式，接着根据不等式放缩得，最后结合题意求解最小值即可. 【详解】由题，两边取倒数得， 所以，即数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以，， 所以， 因为， 另一方面，， 所以， 所以， 因为当时，当时， 所以，满足条件的k的最小值为48. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． （1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列； 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）根据超几何分布的概率公式即可求解概率，进而可求解分布列. 【小问1详解】 5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为， 则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为； 【小问2详解】 X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2． ；；． 所以分布列为： X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 16. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用之间的关系，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 ， 当时，，即，① 当时，， ， 是等比数列，∴公比② 将②代入①得：， 是以2为首项，3为公比的等比数列， . 【小问2详解】 依题意，， ， ③. 将③得 ④. 由③-④得 ， ， ， . 17. 已知，其中为实数，曲线在处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若曲线，求曲线过点的切线方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线方程即可求解； （2）设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，又切线方程过点进而求解. 【小问1详解】 ， 由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有； 【小问2详解】 曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率 所以切线方程为， 即，解得或， 故所求的切线方程为或. 18. 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为，利用等比中项概念与等差数列前n项和的基本量运算可求得，从而可写出通项公式； （2）利用裂项相消法与分组求和法即可求得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 因为成等比数列，所以， 由于， 所以，化简得. 解得或，又，所以. 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得，则， 则， 所以， 则 . 19. 已知数列的前n项和为，且满足，又知，． （1）求，； （2）求的通项公式； （3），求的前n项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知递推式结合已知条件，代入计算求解； （2）利用已知递推式，运用错位相减法求出递推关系，再分奇、偶项分类讨论求解； （3）先求出的通项公式，再根据的性质，分奇、偶数讨论求解． 【小问1详解】 ，，， ，解得，故； 同理，解得， ． 【小问2详解】 ①， 时， ②， 式①减②得， ， 又符合上式， 数列的奇、偶项分别成等差数列， 当时，首项，公差， 则， 当时，首项，公差， 则， 综上，． 【小问3详解】 ， i）当时， ， ii）当时，则， ， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市回民中学2024级高二下学期4月月考 数 学 出题人：高二数学组 审题人：高二数学组 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的) 1. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 2. 已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（ ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A. 2.5 B. 2.7 C. 2.9 D. 3.1 4. 已知数列满足，若为递增数列，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在校运动会中，班甲同学和其他三位同学参加短跑接力赛，甲在短跑接力赛中跑第一棒、第二棒的概率分别为，且甲跑第一棒、第二棒时，班赢得短跑接力赛的概率分别为，则班赢得短跑接力赛的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若成等差数列；成等比数列，则等于 A. B. C. D. 8. 记数列的前n项和为，若，，且恒成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 离散型随机变量服从两点分布，且，则 C. 随机变量，若，则 D. 已知随机变量，满足，若，则， 10. 记是公差为的等差数列的前项和，已知，，是数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 对于任意正整数， 11. 已知数列的前项和为，且，首项为1的正项数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知函数，则__________. 13. 已知数列满足，则其前9项和 ___ . 14. 已知数列的前n项和为，若，，则满足的的最小值为________. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． （1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列； 16. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知，其中为实数，曲线在处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若曲线，求曲线过点的切线方程. 18. 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求． 19. 已知数列的前n项和为，且满足，又知，． （1）求，； （2）求的通项公式； （3），求的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $