精品解析：吉林长春市第五中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

长春市第五中学 长春市田家炳实验中学 2025-2026学年度高一年级下学期 数学学科期中考试 满分：150分 时间：120分钟 出题人：马爽 审核人： 一、单选题 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算得到，得到答案. 【详解】，虚部为. 故选：C 2. 已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（ ） A. 1或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分由三点共线，可得与共线，根据共线向量坐标表示求解. 【详解】因为三点共线，所以与共线， 则，解得或. 故选：A 3. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（    ） A. 丁险种参保人数超过五成 B. 41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C. 18－29周岁人群参保的总费用最少 D. 人均参保费用不超过5000元 【答案】B 【解析】 【分析】利用统计图表一一分析选项即可. 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为， 超过五成，故A正确； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比：，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比， 人均参保费用在，而54岁及以上人群参保比例虽， 但人均参保费用在6000，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约 ， 不超过5000元，故D正确. 故选：B 4. 已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进一步得到，再结合投影向量定义即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，所以与共线且同向，且，所以在上的投影向量为, 因为与共线且同向，所以，所以在上的投影向量为. 5. 已知平面向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】因为，所以，， 又因为，所以，则， 所以. 故选：C. 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】对于A选项，使用正弦定理即可求解；对于B选项，使用余弦函数单调性即可判断；对于C选项，使用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可判断；对于选项D，使用正弦定理边化角，再使用诱导公式即可判断； 【详解】对于A选项，若，则的外接圆半径满足，，圆面积为,故选项A错误; 对于B选项，若，由于在中，,函数在上单调递减，故，选项B错误； 对于C选项，由正弦定理可得，， ， 所以C为钝角，故为钝角三角形，选项C正确； 对于选项D,由可得 ，即， 则为等腰三角形，故选项D错误; 8. 已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线基本定理，结合图形求得，再由平面向量数量积的定义与运算律计算即得. 【详解】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本的方差，则这组样本数据总和等于60 B. 若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据方差公式求得样本容量，样本平均数即可判断；对于B，根据方差与标准差，方差的公式求解判断；对于C，先将数据从小到大排序，再求解判断；对于D，结合样本方差与平均值的公式计算即可. 【详解】对于A，由样本的方差得样本容量，样本平均数，所以样本数据总和为，故正确； 对于B，样本数据标准差为8，故样本数据的方差为64， 所以数据的方差为，标准差为，故错误； 对于C，将数据从小到大排序后得12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，共10个数， 所以，所以该组数据的第70百分位数是，故错误； 对于D，一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2， 不妨记原始数据为，则 ，，即， 现样本中又加入一个新数据5，此时样本平均值为， 样本方差为， 所以加入一个新数据5，平均数不变，方差变小，故正确. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长计算与数量积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 解得，因为，所以为直角三角形，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 11. 已知函数的部分图像如图，下列结论正确的有（ ） A. 是函数的一条对称轴 B. 函数为奇函数 C. 函数在为增函数 D. 函数在区间上有个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图分别计算值，从而得，代入点计算可得值，从而得函数的解析式，利用三角函数的性质对选项逐一计算分析即可得答案. 【详解】由图可知，，，得， 所以，， 得，因为，所以， 所以得，则， 所以是函数的一条对称轴，故A正确； 函数， 所以函数为偶函数，故B错误； ， 得， 所以函数的单调递增区间为， 当时，函数的单调递增区间为， 所以函数在上为增函数，故C正确； 当时，即，得， 因为，可得的取值是 ， 函数在区间上有个零点，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 12. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“向上的点数是偶数”，事件“向上的点数超过4”，则概率________． 【答案】 【解析】 【分析】确定事件的可能情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】由题意可知抛掷一枚质地均匀的骰子，点数有共6种可能， 事件为“向上的点数是”， 故， 故答案为： 13. 在对某中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为__________，方差为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用分样本平均数和方差与总样本的平均数和方差的关系，代入计算即可得出结论. 【详解】易知总样本的平均数为， 代入公式可得总样本的方差为； 因此总样本的平均数为，方差为； 故答案为：；. 14. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用带的坐标分别表示向量，求得数量积关于的式子，然后用函数的思想求范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故答案为： 四、解答题 15. 已知复数，且是纯虚数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法及乘法计算，再应用纯虚数的概念计算求参； （2）根据共轭复数及加法计算，最后根据点在第四象限，列出不等式计算求参. 【小问1详解】 因为， 所以， 由是纯虚数，得， 解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知 所以 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 16. 某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动．已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示： 参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲 参加环境保护知识宣讲 人 人 未参加环境保护知识宣讲 人 人 （1）从该班随机选取名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率； （2）已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的名学生中，有名男生和名女生．现从这名学生中随机选取人作为主讲人，求选取的人中恰有名男生和名女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式直接计算； （2）利用列举法计算古典概型概率. 【小问1详解】 由题意知，至少参加一项活动的学生人数为：， 班级学生总数为． 因此，该学生至少参加一项活动的概率； 【小问2详解】 设名男生分别为，，，；名女生分别为，， 记这名学生中随机选取的人为和，则可用表示样本点， 样本空间，且， 记事件“选取的人中恰有名男生和名女生”，则 ，， 因为中每一个样本点的可能性都相等，所以． 17. “不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，，，满足 （1）求； （2）若的面积为，且，求的周长 【答案】（1） （2）cm 【解析】 【分析】（1）根据题意可求圆的直径，再结合正弦定理运算求解； （2）根据题意结合面积公式和余弦定理运算求解. 【小问1详解】 设的外接圆半径为，则（cm）， 由正弦定理，可得. 【小问2详解】 ∵，则，故为锐角， ∴， 由面积公式，即，可得， 由余弦定理，即， 可得，解得（cm）， 故的周长为（cm）. 18. 2025年吉林市马拉松赛将于5月18日正式开赛.为积极参与马拉松比赛，吉林市某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是. （1）求图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的平均数； （3）根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的第80百分位数； （4）根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？ 【答案】（1）0.005 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得实数的值； （2）根据频率分布直方图求平均数，即每小组的中点值乘以频率加起来即可； （3）第80百分位数指的是频率累计到0.8的点，根据已知，即可求出； （4）求出样本中小于80分钟之频率，总数乘以频率可得结果. 【小问1详解】 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1， 可得， 解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图可得平均分为： . 【小问3详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 故第80百分位数落在，设为m， 由，得， 故第80百分位数为． 【小问4详解】 样本中80分钟之前频率为， 因此估计该校3000名学生中能在80分钟内完成15公里马拉松比赛的学生人数为． 19. 在中，角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简原式，利用和角公式和三角形内角范围计算即可； （2）先求出A范围，再利用正弦定理化边为角，根据三角形面积公式，结合三角函数值域计算即可 【小问1详解】 因为，所以， 所以，， 整理得， 在中，，所以， 故， 因为，所以， 又，故. 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以，. 因为，所以. 三角形为锐角三角形，故， 解得. 三角形面积， 又， 所以 ， 因为，所以，则. 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第五中学 长春市田家炳实验中学 2025-2026学年度高一年级下学期 数学学科期中考试 满分：150分 时间：120分钟 出题人：马爽 审核人： 一、单选题 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知，，且A，B，C三点共线，则x等于（ ） A. 1或 B. C. 或 D. 3. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（    ） A. 丁险种参保人数超过五成 B. 41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C. 18－29周岁人群参保的总费用最少 D. 人均参保费用不超过5000元 4. 已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰直角三角形 8. 已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本的方差，则这组样本数据总和等于60 B. 若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 11. 已知函数的部分图像如图，下列结论正确的有（ ） A. 是函数的一条对称轴 B. 函数为奇函数 C. 函数在为增函数 D. 函数在区间上有个零点 三、填空题 12. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“向上的点数是偶数”，事件“向上的点数超过4”，则概率________． 13. 在对某中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为__________，方差为__________. 14. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 四、解答题 15. 已知复数，且是纯虚数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动．已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示： 参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲 参加环境保护知识宣讲 人 人 未参加环境保护知识宣讲 人 人 （1）从该班随机选取名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率； （2）已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的名学生中，有名男生和名女生．现从这名学生中随机选取人作为主讲人，求选取的人中恰有名男生和名女生的概率． 17. “不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，，，满足 （1）求； （2）若的面积为，且，求的周长 18. 2025年吉林市马拉松赛将于5月18日正式开赛.为积极参与马拉松比赛，吉林市某中学决定从3000名学生随机抽取100名学生进行体能检测，这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是. （1）求图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的平均数； （3）根据频率分布直方图，估计这100名学生比赛成绩的第80百分位数； （4）根据样本频率分布直方图，估计该校3000名学生中约有多少名学生能在80分钟内完成15公里马拉松比赛？ 19. 在中，角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $