精品解析：吉林东北师范大学附属中学2025-2026学年下学期高一年级期中考试数学试卷

2025－2026学年下学期 东北师大附中 数学科试卷 高一年级期中考试 注意事项： 1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（其中i为虚数单位）是实数，则实数a的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 0或 2. 化简（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象(　　) A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 4. 已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是奇函数，函数的最小正周期为，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知点C是单位圆劣弧上一点，，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 8. 函数f（x）＝的部分图象如图所示，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且△ABC是等腰直角三角形，且.已知函数，若存在实数，且，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. |z|＝ 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数的值域是 D. 函数的单调递减区间是 11. 下列有关平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 若平面向量满足，则的最小值是 B. 若平面向量满足，则的最大值是 C. 若平面向量，，则在上的投影向量是 D. 在中，若对任意，均有，则为锐角三角形 三、填空题：本题共3个小题，每小题4分，共12分. 12. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 13. 在中，，，，平分交于点，则的面积为______． 14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，，三点满足，且函数的最小值为，则实数的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量，，. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值. 16. 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为. （1）求的值； （2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象.若函数y＝g（x）－k在区间上存在零点，求实数k的取值范围. 17. 某环保监督组织为了监控和保护查干湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点进行测量，在点测得，在点测得，在点测得，并测得，（单位：千米）． （1）求的距离； （2）求的距离． 18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 19. 已知函数，其中，. （1）若，求函数的单调递增区间和最小值； （2）在中，、、分别是角、、的对边，且. （i）求的值； （ii）若是边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年下学期 东北师大附中 数学科试卷 高一年级期中考试 注意事项： 1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（其中i为虚数单位）是实数，则实数a的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 0或 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，所以 2. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算法则可得答案. 【详解】， 故选. 【点睛】本题考查向量的加减法运算法则的应用，属于简单题. 3. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象(　　) A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用函数的图像变换规律，可得结论 【详解】函数 要得到的图像，可以将的图像向右平移个单位长度 故选 【点睛】本题主要考查了函数的图像变换规律，熟练掌握三角函数图像左加右减的平移原则是解题的关键，属于基础题． 4. 已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】与非零向量方向相反的单位向量为，进而可求得结果. 【详解】，，，则， 因此，与向量方向相反的单位向量是. 故选：D. 【点睛】本题考查单位向量的求解，利用结论：与非零向量方向相反的单位向量为是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 5. 已知函数是奇函数，函数的最小正周期为，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由最小正周期求得，由奇函数及得出，再由列出方程求解即可． 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 又是奇函数，所以， 又，所以， 由． 6. 已知点C是单位圆劣弧上一点，，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示列式，再利用辅助角公式及正弦函数的性质求解. 【详解】依题意，，而， 由，得，则， 由，得，因此， 所以的取值范围是. 7. 在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦定理及余弦定理求出，从而得到，再根据数量积的定义得到，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】由， 则由正弦定理有，即 则由余弦定理有， 又在△ABC中，，则， 又，即， 所以△ABC的面积为． 8. 函数f（x）＝的部分图象如图所示，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且△ABC是等腰直角三角形，且.已知函数，若存在实数，且，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量关系与等腰直角三角形的几何特征，求出正弦函数的周期、相位，确定解析式；再分析分段函数的图像特征，结合三角函数的对称性，将目标式化简为关于函数值的二次函数，最后根据的取值范围，利用二次函数的单调性求出最大值. 【详解】设 ，，由 ，得：， ∵ 为等腰直角三角形， 为最高点（高为1）， ∴ 斜边 ，即：， 联立解得：， ∵ 为半个周期，∴ ，即 ，故：， 将 代入 ：， 得 ，故：， 已知：， 设 ，： 当 时：，即， 当 时：方程 有两个不同解； 对 ，令：， 解得对称轴为：， 在区间 内，唯一对称轴为 ，由对称性，两根关于 对称， 所以：，即， 所以 ， 求 的取值范围： 当 时，，， 要使方程有两个不同解，则：，即 ， 函数 开口向下，对称轴为 ， 在 上单调递减，故当 时， 取最大值： . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. |z|＝ 【答案】AB 【解析】 【详解】，所以z的虚部为，A正确； z在复平面内对应的点为，位于第四象限，B正确； ，C错误； ，D错误. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数的值域是 D. 函数的单调递减区间是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正切函数的性质，结合绝对值的特点，分别对函数的周期、值域、对称轴和单调区间进行分析. 【详解】选项A：因为函数，其周期与相同，为， 因为题中，则周期，故A错误； 选项B：因为 的对称轴为 ， 令 ，则对称轴为 ， 当 时，，符合条件，故B正确； 选项C：因为，当 时，， 故值域为 ，不是 ，故C错误； 选项D：因为 的单调递减区间为 ， 则令 ，解得：， 所以与选项D的区间一致，故D正确； 11. 下列有关平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 若平面向量满足，则的最小值是 B. 若平面向量满足，则的最大值是 C. 若平面向量，，则在上的投影向量是 D. 在中，若对任意，均有，则为锐角三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量的数量积定义和运算可求得，由此可得AB正确；利用投影向量的求法可知C正确；作，根据，令，可化简求得，由此可知为直角三角形，知D错误. 【详解】对于AB，由于， 设平面向量的夹角为，，因此， 则，因此，即 所以的最小值是，的最大值是，故AB正确； 对于C，若平面向量，， 则在上的投影向量是，故C错误； 对于D，如图所示，令，过点作，垂足为， ，令， 则 ， 由于，所以，所以， 即为直角三角形，故D错误. 三、填空题：本题共3个小题，每小题4分，共12分. 12. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 【答案】－2＋i 【解析】 【分析】由题设可得点B对应坐标，据此可得B对应复数. 【详解】由题设可得对应坐标为，则，从而对应复数为. 13. 在中，，，，平分交于点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式及角平分线即可求解. 【详解】由题意得， 则， 所以． 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，，三点满足，且函数的最小值为，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】化简得，再分情况讨论关于的复合二次函数的定义域与对称轴的位置关系，进而分析最值的情况即可. 【详解】由题意，， 因此，而且，则， 因此函数， 由于，所以， 当时，在上单调递增，此时函数在上没有最小值，不符合题意； 当时，当时，取最小值，令，解得； 当时，在上单调递减，此时函数在上没有最小值，不符合题意； 综上所述，实数的值为. 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量，，. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，，， 已知，代入可得， 所以，解得，所以. 【小问2详解】 ，， 因为，所以， 解得. 16. 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为. （1）求的值； （2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象.若函数y＝g（x）－k在区间上存在零点，求实数k的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为，可得周期，据此可得； （2）由图像变换知识可得，然后由余弦函数单调性可得值域，最后由方程在上有解可得答案. 【小问1详解】 因为函数图像上两条相邻对称轴之间的距离为， 所以函数的最小正周期，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）得，将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故， 因为在上单调递增，在上单调递减， 则；，故. 因为函数在区间上存在零点，所以方程有解，所以实数k的取值范围为. 17. 某环保监督组织为了监控和保护查干湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点进行测量，在点测得，在点测得，在点测得，并测得，（单位：千米）． （1）求的距离； （2）求的距离． 【答案】（1）千米 （2）3千米 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理即可求解； （2）由已知得出，在中，由余弦定理即可求解． 【小问1详解】 由已知，在中，，，， 则， 由正弦定理，有， 所以，， 所以的距离为千米． 【小问2详解】 由已知，在中，， 则，则， 在中，，，， 再由余弦定理，得，即， 所以的距离为3千米． 18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解. （2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 又因为，设，则有， 因为三点共线，所以，解得，即， 所以． 【小问2详解】 因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 19. 已知函数，其中，. （1）若，求函数的单调递增区间和最小值； （2）在中，、、分别是角、、的对边，且. （i）求的值； （ii）若是边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积. 【答案】（1）， （2）（i）2（ii） 【解析】 【分析】（1）通过向量的数量积和三角函数辅助角对方程进行化简，再根据正弦函数的单调性来求得单调区间和最小值； （2）（i）通过正弦定理进行边角转化，然后利用三角函数的和差化积公式进行计算； （ii）通过余弦定理进行化简，构建辅助函数，根据二次函数根的判别式进行求解，从而得到相应边的长度，最后求出三角形的面积. 【小问1详解】 ， 由解得， 因为，因此函数f（x）的单调递增区间为， 其最小值为. 【小问2详解】 （i），即，化简可得， 因为，所以， 解得，即， 由正弦定理可得. （ii）由题意可知，，，在与中，由余弦定理可得，， 因为， 所以，化简可得， 在中，由余弦定理可得， 代入可得，即， 设，即，代入可得， 化简可得， 因为，所以关于的方程有正根， 因此，即， 所以，即的最大值为， 代入方程，可得，解得， 所以， 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $