精品解析：吉林省吉林市实验中学2025-2026学年高一下学期5月期中测试数学试题

吉林市实验中学高一年级期中测试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集定义可直接得到结果. 【详解】由补集定义可知：. 故选：C. 2. “”是“直线：与：平行”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】两直线平行等价于,且,即或,根据充分非必要条件的定义可得答案. 【详解】当时,,与平行, 当与平行时, 且,解得或. 所以“”是“直线：与：平行”的充分非必要条件. 故选A. 【点睛】本题考查了两条直线平行的条件以及充分非必要条件,属于基础题. 3. 若函数存在反函数，则方程（ ）． A. 有且只有一个实数根 B. 至少有一个实数根 C. 至多有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】由已知函数存在反函数，根据函数的定义，可得函数的，之间是一一对应的关系，然后分析0与函数的值域的关系，即可得到答案. 【详解】若函数存在反函数，则函数是一个单射函数， 设为函数的值域， 当时，方程有一实根； 当时，方程无实根； 故方程至多有一个实根， 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是反函数，根的存在性及根的个数判断，其中根据函数的定义得到函数是一个单射函数是解答本题的关键. 4. 著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休”．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的定义域排除选项C，再根据排除选项A，D，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为， 由图知的定义域为，排除选项C， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项A， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项D. 故选：B. 5. 用一个平面截正方体，截面图形可能是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角梯形 C. 有两个内角相等的五边形 D. 正七边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的截面分析得到答案. 【详解】用一个平面截正方体，截面图形可能是三角形，四边形，五边形，六边形. 对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形. 如图所示的截面三角形. 设，所以，，. 所以由余弦定理得：所以为锐角. 同理可求：为锐角，为锐角. 所以为锐角三角形.故A错误； 对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形. 故B错误； 对于C：如图示的截面图为五边形，并且有两个角相等. 故C正确； 对于D：因为正方体有六个面，所以一个平面截正方体，边数最多为6.所以D错误. 故选：C 6. 已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别作出和的图象，根据图象观察，找到临界直线、和，联立直线和曲线方程，找到交点坐标，可得实数的取值范围． 【详解】，其图象是一个倒V形的两条射线，且互相垂直, 作出的图象如图， 直线的方程为：，联立 直线的方程为：，联立 直线线l的方程为：，把代入中， 得，， 令即 此时直线l和有且只有一个交点，直线l的方程 联立 恒过定点 显然实数的取值范围是时，和图象恰有两个交点，即恰有2个不同的实数根， 故选：D 【点睛】考查函数图象的综合应用，考查函数与方程思想，属于中档题． 7. 已知函数，以下说法正确的是 A. ，函数在定义域上单调递增 B. ，函数存在零点 C. ，函数有最大值 D. ，函数没有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数和一次函数性质分段判断函数的单调性及取值性质，再结合单调性定义判断A，零点定义判断B，结合最值定义判断CD. 【详解】当时，，函数在上单调递增， 当时，，当时，， 当时，，函数在上单调递增，， 当时，函数在定义域上不是单调递增的．当时在上单调递增．故答案A错误； 当时函数在上存在零点．故答案B错误； 无论为何值，函数均无最大值．故答案C错误； 当时，函数都有最小值，而时，函数无最小值．故答案D正确． 8. 若函数满足，且时，，函数，则函数在内的零点个数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可得是周期为2的周期函数，，即，再在同一坐标系中作时，与的图像，由图像可得解. 【详解】解：由题意可得，是周期为2的周期函数， 由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系可得，函数的零点个数 即为与，的图像的交点个数， 在同一坐标系中，与的图像如图所示， 故在区间上，与的图像有8个交点， 故函数在内的零点个数为8， 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域均为R，且，A是； 对于B，函数的定义域为，而的定义域为R，B不是； 对于C，函数的定义域均为，而，C是； 对于D，函数的定义域均为R，而当时，，当时，， 因此，D是. 故选：ACD 10. 若，则的可能取值是（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可得 【详解】显然且，，因此由得，且，所以．对比各选项，BCD均可． 故选：BCD． 11. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知等式可求得的范围，利用的范围和基本不等式依次判断各个选项可得到结果. 【详解】，，，，解得：，； 对于A：，即，解得：（当且仅当，时取最大值），正确； 对于B：（当且仅当，时取最大值），错误； 对于C：，错误； 对于D：（当且仅当，取最小值），正确． 故选：AD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 网上购鞋常常看到下面表格 脚长与鞋号对应表 脚长：（mm） 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 鞋码： 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 试用含有脚长：的式子表示鞋码：的计算公式为：______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，脚的长度与鞋号是一次函数关系，由此即可求解． 【详解】由题意，脚的长度与鞋号是一次函数关系， 满足an﹣220＝5（bn﹣34），解析式为bn＝0.2an﹣10， 故答案为bn＝0.2an﹣10． 【点睛】本题考查函数解析式的求解方法，考查计算能力，是基础题． 13. 函数的反函数是______________． 【答案】， 【解析】 【分析】先由题意求出原函数的值域，再由函数解析式得到，即可得出结果. 【详解】由对数函数的单调性可得：函数是增函数， 由得， 又由得，因此， 即，. 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查求反函数的解析式，属于基础题型. 14. 若函数的值域为，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知函数的值域包含，然后分和两种情况讨论，分析函数的单调性，可得出的不等式，解出即可. 【详解】令，由于函数的值域为， 则函数的值域包含. ①当时，由双勾函数的单调性可知，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和， 函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在和上均为增函数， 当时，，当时，. 此时，函数的值域为，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查复合函数的值域，对数函数的定义域、值域，属于中档题． 四、解答题（共77分） 15. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）化负指数为正指数，由有理指数幂的运算性质得答案； （2）化根式为分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值． 【小问1详解】 解：原式=； 【小问2详解】 解：原式； 16. 设为定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在R上的解析式； （2）在直角坐标系中画出函数的图象； （3）若方程－k＝0有四个解，求实数k的取值范围． 【答案】（1）（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）第一步求函数解析式，由已知当时，，只需求出时的解析式即可，可借助偶函数的定义联系与的关系得以解决；（2）在直角坐标系上，按着解析式的要求画出两抛物线相应的部分；（3）根据化归思想，把方程的实根个数问题转化为曲线与直线的交点个数问题，借助数形结合把问题解决. 试题解析：（1）由已知当时，．只需求出时的解析式即可. 由于为定义在R上的偶函数，则，则； 若，则， 则； 图象如图所示 （3）由于方程的解就是函数的图象与直线的交点的横坐标，观察函数图象与直线的交点情况可知，当时，函数图象与直线有四个交点，即方程有四个解. 考点：1.函数的奇偶性；2.利用函数奇偶性求函数的解析式；3.数形结合研究函数图象的交点个数； 17. 已知集合，． （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，再根据集合的运算即可求出答案； （2）等价于，解方程得或，分为，和三种情况分别求解，即可求出答案. 【小问1详解】 不等式可化为， 即，解得， 所以， 不等式，则， 令，则，解得， 即，所以， 所以，所以或， 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 令，解得或， 当时，，符合； 当时，， 若，则，解得； 当时，， 若，则，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 18. 定义在上的函数满足：①对任意且，都有成立； ②在上是奇函数，且． （1）求证：在上是单调递增函数； （2）解关于不等式； （3）若对所有的及恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间任取且，利用寒素为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得，所以函数是上是单调递增函数； （2）根据（1）中单调性，可得，即可解得答案； （3）根据函数对所有的及恒成立，说明的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作的函数，为参数系数，解不等式组，即可求出实数的取值范围． 试题解析：（1）任取，且，则 是定义域内的奇函数 在上是单调递增函数 由题意可知： 不等式的解集为： ，在上是单调递增函数 ，即对恒成立 设 可知 综上所述： 考点：函数的性质 19. 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为万元和万元，它们与投入资金x万元的关系是，．今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少？ 【答案】对甲、乙两种商品的资金投入应分别为万元和万元． 【解析】 【分析】 设甲、乙两种商品的资金投入分别为万元，万元时，利润函数，用换元法：令，则可表示为的二次函数，从而求得的最大值，即获最大利润，进而得出甲、乙两种商品的资金投入． 【详解】解：设甲、乙两种商品的资金投入分别为万元，万元， 则利润为：， 令，则， ； ， 所以，当时，即时，有最大值，此时，此时获最大利润， 所以，甲、乙两种商品的资金投入应分别为万元和万元． 【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，利用换元法把含有根号的函数转化为二次函数时，要注意自变量取值范围的变化，属于基础题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市实验中学高一年级期中测试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线：与：平行”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 3. 若函数存在反函数，则方程（ ）． A. 有且只有一个实数根 B. 至少有一个实数根 C. 至多有一个实数根 D. 没有实数根 4. 著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休”．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．下面的图象对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 用一个平面截正方体，截面图形可能是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角梯形 C. 有两个内角相等的五边形 D. 正七边形 6. 已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，以下说法正确的是 A. ，函数在定义域上单调递增 B. ，函数存在零点 C. ，函数有最大值 D. ，函数没有最小值 8. 若函数满足，且时，，函数，则函数在内的零点个数为 A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则的可能取值是（　　） A. B. C. D. 11. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 网上购鞋常常看到下面表格 脚长与鞋号对应表 脚长：（mm） 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 鞋码： 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 试用含有脚长：的式子表示鞋码：的计算公式为：______． 13. 函数的反函数是______________． 14. 若函数的值域为，则实数的取值范围为________. 四、解答题（共77分） 15. 化简： （1）； （2）． 16. 设为定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在R上的解析式； （2）在直角坐标系中画出函数的图象； （3）若方程－k＝0有四个解，求实数k的取值范围． 17. 已知集合，． （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 18. 定义在上的函数满足：①对任意且，都有成立； ②在上是奇函数，且． （1）求证：在上是单调递增函数； （2）解关于不等式； （3）若对所有的及恒成立，求实数的取值范围． 19. 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为万元和万元，它们与投入资金x万元的关系是，．今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $