5月学情综合自测卷2025—2026学年苏科版七年级数学下册

**基本信息** 融合代数几何、文化应用与创新探究，以《孙子算经》古题、商场销售等真实情境，考查运算能力、空间观念及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|幂运算、平移、不等式表示|第3题平移结合长度计算，考查几何直观| |填空题|8/24|旋转角、二元一次方程定义|第16题折叠问题，关联角的转化，体现空间观念| |解答题|9/72|方程组应用、旋转动态探究、新定义“好点”|24题商场销售构建不等式组，考查模型意识；25题“好点”定义，培养创新思维|

2025—2026学年苏科版七年级数学下册 5月学情综合自测卷 （第7—11章） （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 计算 的结果是（　　） A.   B.   C.   D. 2. 如果 是关于 的不等式 的一个解，那么 的取值范围是（　　） A.   B.   C.   D. 3.如图，△ABC中，BC＝3cm将△ABC沿射线BC向右平移4cm得到△DEF，则BF的长为（　　） A．4cm B．7cm C．8cm D．10cm 4. 已知 是二元一次方程 的解，则 的值为（　　） A.   B.   C.   D. 5. 不等式在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 6. 下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A.   B.   C.   D. 7. 某卫星的速度约为 m/s，它飞行 s 的路程约为（　　） A. m  B. m  C. m  D. m 8. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。问木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木剩余1尺。设木长 尺，绳长 尺，则可列方程组为（　　） A.   B.   C.   D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 计算：。 10. 不等式 的正整数解有 个。 11. 如图，将绕着点O按顺时针方向旋转得到（点C落在外）．若，，则最小的旋转角等于 ． 12. 若关于 ， 的方程 是二元一次方程，则 。 13. 已知关于 的不等式组 的整数解只有 个，则 的取值范围是 。 14. 已知 和 都是方程 的解，则 ，。 15. 定义一种新运算：，则不等式 的解集是 16. 将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，，为折痕，点，，的对应点分别为点，，，点在上，点在上，若，则的度数为 。 三、解答题（共72分） 17. （本题6分）计算： (1) ； (2) 。 18. （本题6分）解方程组： (1) ；  (2) 。 19. （本题6分）解不等式（组），并在数轴上表示解集： (1) ；  (2) 。 20. （本题6分）先化简，再求值：，其中 ，。 21. （本题8分）已知关于 ， 的方程组 的解满足 ，求 的取值范围。 22. （本题10分）小颖在解方程组 时，本应解出 ，由于看错了系数 ，得到的解为 。试求 、、 的值及原方程组的正确解。 23. （本题10分）将一副三角尺按如图所示的方式放置，固定三角尺，将三角尺绕顶点按顺时针方向旋转得到三角形，其示意图如图所示． (1)当为多少时，能使，请说明理由； (2)当时，求的大小． 24. （本题10分）某商场销售A、B两种商品，已知A商品每件进价20元，B商品每件进价30元。商场用1000元购进A、B两种商品共40件，其中A商品20件，B商品20件，全部售完后共获利560元，且A商品的售价比B商品售价高10元。 (1) 求A、B两种商品的售价； (2) 若商场准备用不超过190元购进A、B两种商品共8件，且要求A商品数量不少于B商品的一半。问有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？（假设售价不变，且全部售完） 25. （本题10分）定义：若点 的坐标满足 ，则称点 为“好点”。 (1) 判断点 、 是否为“好点”； (2) 若点 和点 都是“好点”，求 、 的值； (3) 已知关于 ， 的方程组 的解对应的点恰好是“好点”，且 ， 为正整数，方程组的解 ， 也是整数，求 ， 的值。 参考答案及详细解答 一、选择题 1. B 解析：。 1. A 解析：将 代入得 ，解得 。 1. B  1. D 解析：代入得 ，。 1. A  1. C 解析：，符合平方差公式。 1. B 解析： m。 1. A 解析：绳余4.5尺：；对折后绳长 ，木剩余1尺：。 二、填空题 1.  解析：，乘 得 ，除以 得 。 1. 3 解析：，正整数解为 ，共3个。 1.   1.  解析：由二元一次方程定义得 且 ，故 ； 得 ；。 1.  解析：不等式组解集为 ，整数解只有2个，即 ，所以 。 1. ， 解析：代入得 ，解得 ，。 1. 全体实数 解析：，不等式为 ，即 恒成立，所以解集为全体实数。 1. 48° 三、解答题 17. (1) 解：，，，   原式 。   (2) 解：。 18. (1) 解：   由①得 ，代入②：，   代入得 ，所以 。   (2) 解：   ①×6得 ，与②联立：，由②得 ，代入得 ，。所以 。879 19. (1) 解：去分母得 ，，，，。   解集在数轴上表示：在-1处画实心圆点，向右画折线。   (2) 解：   第一式：，即 。   第二式：，两边乘6：，，。   所以解集为 。数轴上在2.4处画实心圆点，向右画折线。 20. 解：原式 。   当 ， 时，原式 。 21. 解：解方程组 。   由①×2 + ②得 ，即 ，所以 。   代入①得 ，即 ，。   于是 。   由题意 ，得 ，即 ，，。   所以 的取值范围是 。 22. 解：将正确解 代入原方程组得 ，由第二式得 ，。   看错 得到的解 应满足第一个方程（ 没错）：。   联立 ，两式相加得 ，代入得 ，，。   所以 ，，。原方程组为 ，解之：由第二式得 ，代入第一式得 ，，，，，与正确解一致。 23. 解：（1）解：当或，，理由如下： 当旋转到如图①位置所示时， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 当旋转到如图②位置所示时， ∵， ∴， ∴， 即； 综上，当或时，； （2）解：当旋转到如图③位置所示时，此时点三点共线， ∴； 当旋转到如图④位置所示时， ∵， ∴， ∴； 综上，当或时，． 24. 解：(1) 设A商品售价 元，B商品售价 元。   由题意得 ，即 。   解得 ，。   答：A商品售价44元，B商品售价34元。   (2) 设购进A商品 件，则B商品 件。   由题意得：   进货总价：，即 ，，。   A数量不少于B的一半：，即 ，，，故 。   又 为整数，且 ，所以 ，即 。   对应方案：   方案一：A商品5件，B商品3件；   方案二：A商品6件，B商品2件；   方案三：A商品7件，B商品1件；   方案四：A商品8件，B商品0件。   计算每种方案的利润（A每件利润44-20=24元，B每件利润34-30=4元）：   方案一：元；   方案二：元；   方案三：元；   方案四：元。   比较可知，方案四利润最大，最大利润192元。   答：共有4种进货方案，其中购进A商品8件、B商品0件时获利最大，最大利润192元。 25. 解：(1) ：，是“好点”；：，是“好点”。   (2) ：，；：，。   (3) 由 得 ，代入 ：，。   因为 ， 为整数，且 为正整数，所以 必须整除 ，且 为整数。   枚举 ：， 正整，得 ；   ：，；   ：，；   ：，；   ：，；等等。   任选一组即可，例如 ，此时 ，，符合整数条件。   答：（答案不唯一，写出合理的一组即可）。 学科网（北京）股份有限公司 $