河南省高一数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版必修第二册第十章

**基本信息** 立足人教A版必修二第十章，以花卉种子发芽、本福特定律、石头剪刀布游戏等情境为载体，分层考查概率核心知识，适配高一单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|随机事件概率、独立性、互斥事件|原创题结合生活情境，如第1题种子发芽概率| |多选|3/18|分层抽样、频率分布直方图|第9题考查分层抽样计算，体现数据观念| |填空|3/15|概率加法公式、独立事件判定|第13题用面积表示样本点，发展几何直观| |解答|5/77|概率综合应用、统计图表分析|第15题停车场收费问题，融合分类讨论与实际决策；第16题转盘游戏设计，培养数学建模与逻辑推理能力|

河南省高一数学下学期阶段测试（人教A版必修二第十章） 参考答案 1．B 【详解】这两粒种子至少有1粒发芽的概率为1-（1-0.8）3=0.992 2．C 【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 3．C 【详解】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确的有2个． 4．D 【详解】由，结合公式，可得，即事件互斥。 事件相互独立的定义为. 充分性：若相互独立，无法推出，即无法推出. 必要性：若，即互斥，无法推出相互独立. 综上，“事件相互独立”是“”的既不充分也不必要条件. 5．C 【详解】记随机取出两枚棋子，均为黑色棋子为事件，一枚黑色棋子、一枚白色棋子为事件，均为白色棋子为事件. 对于A：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“至多有一枚黑色棋子” 包含事件、事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.A不满足. 对于B：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.B不满足. 对于C：“恰好有一枚白色棋子”为事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件），是互斥而不对立事件.C满足. 对于D：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是白色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集是全集，是对立事件.D不满足. 6．A 【详解】一个数的首位数字是的概率为， 一个数的首位数字是3的概率为， 首位数字是5的概率为 ， 一个数的首位数字是3的概率与首位数字是5的概率之差约为 ， 故选项A正确. 7．B 【详解】由题意可知，在张卡片中抽取张，所有可能情况有种， 当时，即，由于是在不同卡片上取出的数字，所以的情况不存在，即的情况不存在， 当时，则是相邻的两个数字，那么的可能情况有，共种情况， 当时，则相差，那么的可能情况有，共种情况， 所以的可能情况数有种， 根据古典概型概率公式得， 已知，即，由于，直接化简得，即，解得， 又因为为整数且，所以，因此的最大值是，故B正确. 8．B 【详解】对于图，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 这显然不符合二部图的定义，图也是如此，所以图与图不是二部图. 除了这两个图，其他四个图都是二部图. 例如，对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中； 对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中. 从这六个图中任选两个，所有的选择为 ， ， ，共15种. 这两个图都是二部图的选择共有种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有种， 这两个图不都是二部图的选择共有种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有种， 故这两个图都是二部图的概率为，故A错误； 这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确； 这两个图不都是二部图的概率为，故C错误； 这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误. 故选：B. 9．AB 【详解】A选项，根据分层抽样，，解得，正确； B选项，从高一年级中抽取的学生人数为，正确； C选项，从高二年级中抽取的学生人数为，错误； D选项，从全校中任选一人，此人是高三学生的概率，错误． 10．ABC 【详解】对于A，估计这1000名志愿者年龄的众数为，故A正确； 对于B，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 所以这1000名志愿者中年龄在的有人，故B正确； 对于C，前2组的频率为， 前3组的频率为， 所以估计中位数在第3组，设中位数为， 则，解得， 因此，估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为，故C正确； 对于D，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选1人，其年龄均在的概率为0.2， 因此，从该公益组织所有志愿者中任选2人， 其年龄均在的概率为，故D错误. 11．ABD 【详解】对于A，若，，则每个人出的手势都有种可能， 所以个人出手势的总情况数为种，只有一人获胜的情况有种情况， 因为三个人都有可能获胜，所以只有一人获胜的概率为，故A正确； 对于B，若，，个人出手势的总情况数为种， 计算平局的情况： 所有人出相同手势的情况有种（都出石头、都出剪刀、都出布）. 三种手势都出现的情况：用间接法，先计算不满足三种手势都出现的情况， 即只有一种手势的3种情况和只有两种手势的情况. 计算只有两种手势的情况：从3种手势中选2种，有种选法， 设选的两种手势为A和B，把5个人分配到这两种手势中， 排除5个人都出A和5个人都出B的情况， 有种情况，所以只有两种手势的情况有种. 那么三种手势都出现的情况有种. 综上平局的情况共有种，所以平局的概率，故选项B正确； 对于C，当时，两人每次出手势都有3种情况，所以每局的情况数为种， 恰经过5局比赛结束，说明前3局没有一人连续两局获胜，第4局和第5局是同一人获胜， 设两人为甲和乙，若恰经过5局比赛甲获胜，则 ①第二局甲输，第四五局甲胜，第三局平局，第一局甲胜或者平局， 其概率为； ②第二局平局，第四五局甲胜，第三局平局或甲输，第一局均可， 其概率为； ③第二局甲胜，第四五局甲胜，第三局平局或甲输，第一局甲输或平局， 其概率为； 所以恰经过5局比赛甲获胜的概率为； 同理，恰经过5局比赛乙获胜的概率也为； 所以恰经过5局比赛结束的概率，故选项C错误； 对于D，若，每局比赛打平，则3个人出的手势一样，有3种情况，或者各不相同， 有种情况，所以三人打平的概率为； 若3人中两个人出的手势一样，与另外一个不一样，则一次淘汰两人的概率为， ①三局是平局，一局淘汰一人，一局淘汰两人， 概率为； ②前四局是平局，第五局淘汰两人， 概率为； 所以恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率，故选项D正确. 故选：ABD. 12． 【详解】由题可知事件是互斥的，记事件为“个球中既有红球又有白球”， 所以， 代入已知​，，​ 得. 13．②③ 【详解】对于①，由题图知，为的子集，所以，而为的真子集，则， 所以，故，①不正确； 对于②，由图得，则，，则有，所以图中事件相互独立，②正确； 对于③，设图中的小的长方形的面积为，由，，， 所以，则题图中事件相互独立，③正确. 14． 【详解】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. 15．【详解】　(1)设甲“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.由已知得P(B)=，P(C∪D)=. ……4分 又事件A，B，C，D两两互斥，所以P(A)=1--=. ……6分 (2) 甲、乙两人停车共有16种情况， ……8分 停车费之和为28元的有甲停不超过1小时，乙停2到3小时，甲、乙分别停1到2小时，甲停2到3小时，乙停不超过1小时，3种情况， ……11分 所求概率为. ……13分 16．【详解】 (1)方案A中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5；方案B中，“是4的整数倍数”的概率为0.2，“不是4的整数倍数”的概率为0.8；方案C中，“是大于4的数”的概率为0.6，“不是大于4的数”的概率为0.4.故选择方案B，猜“不是4的整数倍数”获胜的概率最大. ……5分 (2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的. ……10分 (3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性(答案不唯一). ……15分 17．【详解】（1）这个试验的样本空间 ，共包含10个样本点． ……3分 设事件“抽取的2个分数中恰有1个大于80”，则 ，共包含6个样本点， ……6分 所以． ……7分 （2）小组A的平均数， 小组B的平均数为， ……9分 小组A的方差为， 小组B的方差为， ……13分 因为，且专业人士打分通常更稳定， 所以小组A更像是由专业人士组成的小组. ……15分 18．【详解】（1）由，得， ……2分 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， ……4分 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； ……6分 （2）平均数. ……8分 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； ……11分 （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则 ……13分 方法1：，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. ……17分 方法2：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 19．【详解】（1）设答对文化测试的第题， 则甲恰好答对两道文化测试题的概率为： ， ……3分 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时最大值为； ……6分 （2）当时， ①甲通过文化测试的概率为， 则， ……8分 甲乙两人通过体育测试的概率均为， 则， ……9分 当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个， 故甲总分为1的概率为： ； ……11分 ②乙通过文化测试的概率为，则同理可得， 设甲总分为分，，设乙总分为分，， ，， ， ， ……15分 故甲总分高于乙总分的概率为 ． ……17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省高一数学下学期阶段测试 （人教A版必修二第十章） （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（原创）一同学在花盆中种下3粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（   ） A．0.24 B．0.992 C．0.64 D．0.96 2．甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 3．下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 4．“事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（    ）． A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 6．“本福特定律”又称“首位数字定律”，是一条关于自然界和人类社会中大量数据的首位数字分布概率的统计规律：一个数的首位数字是的概率为，据此可知，一个数的首位数字是3的概率与首位数字是5的概率之差约为（参考数据：）（    ） A．0.046 B．0.023 C．0.262 D．0.131 7．已知黑箱中共有（，）张完全相同的卡片，分别标有数字，每张卡片只标有一个数字，且数字都不相同，从中随机取出张，记录卡片上的数字为，，设，若，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 8．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（原创）某高级中学为了解学生周末在家使用手机的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（    ） A． B．从高一年级中抽取的学生人数为30 C．从高二年级中抽取的学生人数为27 D．从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是 10．某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则（   ） A．估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B．这1000名志愿者中年龄在的有175人 C．估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为 D．以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在的概率为0.2 11．“石头，剪刀，布”游戏起源于中国汉朝，称为“手势令”．游戏规则为：（1）参加游戏的人随机出一种手势，且石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；（2）两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时，都出相同的手势或三种手势都出现为平局．现有个人共举行了局游戏，且各局游戏互不影响，则下列说法正确的有（    ） A．若，，则只有一人获胜的概率为 B．若，，则平局的概率为 C．若，且规定其中一人连续两局获胜，比赛结束，则恰经过5局比赛结束的概率为 D．若，且规定每局比赛输者淘汰，则恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。 12．盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取个球.设事件表示“个球中有个红球、个白球”，事件表示“个球中有个红球、个白球”.已知，.则“个球中既有红球又有白球”的概率是__________. 13．为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是______. 14．小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时. (1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率； (2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率. 16.(15分)有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字(指针指到分界线上时重转).游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种： 方案A：猜“是奇数”或“是偶数”； 方案B：猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”； 方案C：猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”. 请回答下列问题： (1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？ (2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？ (3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性. 17．(15分)在一个文艺比赛中，名观众代表和名专业人士各组成一个评委小组，给参赛选手打分．两组评委对同一名选手的打分如表所示． 小组A 75 83 80 78 84 小组B 70 75 80 85 90 (1)从小组A的5个分数中随机抽取2个分数，求抽取的2个分数中恰有1个大于80的概率； (2)分别求小组A与小组B评委打分的方差，并据此判断小组A与小组B中哪一个更像是由专业人士组成的小组. 18．(17分)学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 19．(17分)甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率；②求甲的总分高于乙的总分的概率. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号 题型 分值 难度系数 核心考点 1 单选题 5分 0.9 独立事件的乘法公式；利用对立事件的概率公式求概率 2 单选题 5分 0.8 独立事件的乘法公式；互斥事件的概率加法公式；利用对立事件的概率公式求概率 3 单选题 5分 0.85 判断所给事件是否是互斥关系；确定性事件与随机事件的概率；辨析概率与频率的关系；用频率估计概率 4 单选题 5分 0.75 独立事件的判断；互斥事件的概率加法公式 5 单选题 5分 0.75 判断所给事件是否是互斥关系；互斥事件与对立事件关系的辨析；确定所给事件的对立关系 6 单选题 5分 0.75 计算古典概型问题的概率；对数的运算性质的应用 7 单选题 5分 0.65 解不含参数的一元二次不等式；计算古典概型问题的概率 8 单选题 5分 0.5 计算古典概型问题的概率 9 多选题 6分 0.8 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；计算古典概型问题的概率 10 多选题 6分 0.65 由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；由频率分布直方图估计中位数；根据频率分布直方图计算众数；用频率估计概率 11 多选题 6分 0.4 独立事件的乘法公式；分类加法计数原理；计算古典概型问题的概率；分步乘法计数原理及简单应用 12 填空题 5分 0.85 计算古典概型问题的概率；互斥事件的概率加法公式 13 填空题 5分 0.65 独立事件的判断 14 填空题 5分 0.55 独立事件的乘法公式；独立重复试验的概率问题 15 解答题 13分 0.85 互斥事件的考查 16 解答题 15分 0.85 概率的实际问题 17 解答题 15分 0.8 计算古典概型问题的概率；计算几个数据的极差、方差、标准差；用方差、标准差说明数据的波动程度 18 解答题 17分 0.70 由频率分布直方图估计平均数；补全频率分布直方图；由频率分布直方图估计中位数；利用对立事件的概率公式求概率 19 解答题 17分 0.5 独立事件的乘法公式；独立重复试验的概率问题；利用对立事件的概率公式求概率 学科网（北京）股份有限公司 $