1.2 二次根式的性质（第2课时）（教学课件） 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次根式的积商性质及最简二次根式，通过长方形展板面积计算、正方形边长求解等情景问题导入，连接已学二次根式概念，引导学生对比不同计算方法，搭建从具体问题到抽象性质的学习支架。 其亮点在于以情景创设培养数学眼光，通过填空归纳、性质证明发展推理能力，结合例题与拓展应用强化符号表达。如从实际问题抽象数量关系，填空发现规律培养归纳思维，证明过程提升逻辑推理，帮助学生形成探究习惯，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

第2节 二次根式的性质 第二课时 第1章 《二次根式》 1.了解二次根式的积和商的性质，能够运用二次根式的性质将简单二次 根式化简. 2.经历二次根式性质的发现过程，体验归纳、类比的思想方法. 学习目标 2 提问引导: 1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？ 2.圆形标语牌的半径可以表示为​​，这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？ 情景创设 学校要制作一块长方形的宣传展板，长为米，宽为​米；另外要制作一个正方形的标识牌，面积与长方形展板相等。 1.计算长方形展板的面积，你能直接用计算吗？尝试先化简再计算，与直接计算结果是否一致？ 1.长方形面积:直接计算；先化简​，再计算，结果一致，发现根式相乘可先化简或先结合； 3 提问引导: 1.正方形展示区的边长应该如何表示？这个表示形式与我们学过的算术平方根有什么关系？ 2.圆形标语牌的半径可以表示为​​，这个式子有什么特点？它是否有意义？为什么？ 情景创设 学校要制作一块长方形的宣传展板，长为米，宽为​米；另外要制作一个正方形的标识牌，面积与长方形展板相等。 2.正方形标识牌的边长是多少？这个边长的根式表达是否简洁？怎样的根式形式才算 “最简”？ 2.正方形边长为，这个根式根号内无分母、无开得尽方的因数，形式简洁。 4 填空(可用计算器计算): =　　　　， ×=　　　　； =　　　　， ×=　　　　； =　　 　　， =　　 　　； =　　 　　， =　　 　　； 6 6 4.472… 议一议：比较左右两边的等式，你发现了什么?你能用字母表示发现的规 律吗? 4.472… 0.75 0.75 1.224… 1.224… 新知探究 5 一般地，二次根式有下面的性质: = (a≥0，b≥0) = (a≥0，b>0) 思考：你能证明二次根式积和商的性质吗？ 新知探究 6 探究新知 探究一：二次根式的乘除性质 下面我们继续探索二次根式的性质。 填空: ， ； ， ； ， ； ， ； 6 6 6 6 6 6 6 6 比较左右两边的等式，你发现了什么？请再举几个例子试一试。你能用字母表示发现的规律吗？ 左右两边的值相等，如：;; 7 根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 探究新知 总结归纳：二次根式的乘除性质 一般地，二次根式有下面的性质： 注意:使用性质时，必须注意条件约束！ 8 新知探究 探究点1 二次根式的积的算术平方根 填一填 1、计算各题： ， ， ， ， 2.比较左右两边的等式,你有什么发现? 友情提：≈2.236 可以用计算器进行近似计算 ， ≈4.472 ≈4.472 （，） 新知探究 探究点1 二次根式的积的算术平方根 议一议 1.你能用字母表示得出的规律吗？ （，） 两个非负数积的算术平方根，等于这两个非负数算术平方根的积 用途：二次根式的化简，将被开方数拆分为两个非负数的积，拆分时优先拆出“开得尽方的因数或因式” 注意：性质成立的条件是“，”，若、中有负数，性质不成立 不能拆， 因为无意义，不能用性质计算 示例 =(a≥0，b≥0) 证明：∵()2= ( )2 ()2 =ab, 又∵ 0，0， ∴是ab的算术平方根， 即=(a≥0，b≥0). =(a≥0，b>0) 证明：∵()2= =, 又∵ 0，0， ∴是的算术平方根， 即=(a≥0，b>0). 新知探究 11 解：（1）= × =11×15=165. （2）= × =4 . （3）= = . （4）= =. 例1 化简： （1）（2）. （3）. （4）. 例题精讲 探究新知 探究二：例题精讲 例3:化简:; ; ; . 解：; ; ; . 13 根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 探究新知 总结归纳：最简二次根式 像，，，,这样，在根号内不含分母，也不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式。二次根式化简的结果应为最简二次根式。 注意:满足最简二次根式的条件: ①被开方数不含分母； ②被开方数不含开得尽方的因数或因式. 14 典例分析 探究点1 二次根式的积的算术平方根 例1：化简下列各式 （1）； （2）； （3）（，） 解：（1） ； 将12拆分为 易错提醒：化简时，需注意的取值范围，若题目未说明，需保留绝对值，即。 （3）∵ ， ∴ 是开得尽方的因式 （2） ； 新知探究 探究点2 二次根式的商的算术平方根 填一填 ， ， ， ， 1、计算各题： ， ， 友情提示： 可以用计算器进行近似计算 2.比较左右两边的等式,你有什么发现? 像, 这样，在根号内不含分母，不含开得尽方的因 数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式. 二次根式化简的 结果应为最简二次根式. 化成最简二次根式的方法： 1.将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方. 2.化去根号下的分母：被开方数是带分数的，要先化成假分数；被开方数 是小数的，要先化成假分数. 3.被开方数是多项式时要先进行因式分解. 新知探究 解：（1） 例2 化简: （1）. （2） . （3）. = = = × =12. 例题精讲 探究新知 探究三：拓展应用 解:; ; . 例4:化简: ; ; . 强调:凡结果没有精确度要求的，结果可含二次根式，但应化为最简二次根式。 19 探究新知 探究三：拓展应用 探究活动: 化简下列两组式子: , ; , ; , ; , ; (1)你发现了什么规律？再写几个具有这种特征的式子，验证你发现的规律。 (2)用字母表示这一规律，并给出证明。 (请与你的同伴交流) 20 议一议 新知探究 探究点2 二次根式的商的算术平方根 类比二次根式乘法性质，结合分数与算术平方根的意义，能得出什么结论？ （，） 理由如下：因为当时， ， ∴ 两个非负数商的算术平方根，等于这两个非负数的算术平方根的商 用途：化简被开方数为分数的二次根式，消除分母中的根号 注意：性质成立的条件是“，”，不能为0（分母不能为0）， 若，性质不成立。 归一归 新知探究 探究点2 二次根式的商的算术平方根 （，） 解：（2） = = = . 例2 化简: （1）. （2） . （3）. 例题精讲 解：（3） = = . 例2 化简: （1）. （2） . （3）. 例题精讲 新知探究 探究点3 最简二次根式 议一议 1.下列二次根式有哪些共同特点？ 、 、 （，） 特点 被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式. 最简二次根式 最简二次根式满足以下两个条件： 条件1：被开方数中不含分母； 条件2：被开方数中不含开得尽方的因数或因式 2.最简二次根式 　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 探究新知 探究三：拓展应用 (1)你发现了什么规律？再写几个具有这种特征的式子，验证你发现的规律。 (2)用字母表示这一规律，并给出证明。 解:(1)每组式子中左右两边的式子的值相等；例如: (2)， 证明规律: . 26 比较下面三个二次根式，哪一个是最简形式? 最简形式 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 被开方数不含分母 新知探究 探究点3 最简二次根式 议一议 被开方数中不含分母； 分母含二次根式 二次根式化简的最终结果，必须是最简二次根式 课堂小结 知识点: 1.乘除性质： 乘法性质:,即积的算术平方根等于算术平方根的积； 除法性质:,即商的算术平方根等于算术平方根的商。 2.最简二次根式： 核心标准:根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式； 化简要求:最终结果必须化为最简二次根式，必要时需进行分母有理化。 3.应用关键： 先判断性质应用的条件是否满足，再选择合适的性质化简； 复杂根式需先转化(如负因数乘积化为正因数乘积,小数化为分数),再分步化简。 知识梳理 28 二次根式 的性质 1.将被开方数中能开得尽方的因数或因式 进行开方. 2.化去根号下的分母：被开方数是带分数 的，要先化成假分数；被开方数是小数的， 要先化成假分数. 3.被开方数是多项式时要先进行因式分解. 课堂小结 积和商的性质 化成最简 二次根式 的方法 积的性质： =(a≥0，b≥0) 商的性质： =(a≥0，b>0) $