1.2 二次根式的性质（第2课时 ）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

第2节 二次根式的性质 第二课时 第1章 《二次根式》 学 习 目 标 1 2 3 1.体会二次根式性质的严谨性与实用性，经历“性质回顾—应用探究—拓展延伸”的过程，感受“数形结合”“分类讨论”的数学思想，提升代数运算与逻辑推理素养。 2.掌握二次根式乘法性质（，，）、除法性质（，，）的灵活应用，能熟练进行二次根式的化简，准确判定最简二次根式。 3.理解二次根式性质的内在关联，明确性质应用的条件限制，能运用性质解决含字母、几何背景的简单问题 知识回顾 性质1： （）； 逆用：， 1.二次根式的定义： 形如（）的式子叫做二次根式， 注意：被开方数必须是非负数， 二次根式的结果也是非负数（双重非负性）。 性质2： ； 2. 二次根式的性质： . 填一填 导入新课 学校要制作一块长方形的宣传展板，长为米，宽为米；另外要制作一个正方形的标识牌，面积与长方形展板相等。这个正方形的边长是多少？ 米 米 面积=12×3 面积=12×3 边长 学校要制作一块长方形的宣传展板，长为米，宽为米，这个长方形的面积是多少？如何计算？ 面积=× × 结果相同 新知探究 探究点1 二次根式的积的算术平方根 填一填 1、计算各题： ， ， ， ， 2.比较左右两边的等式,你有什么发现? 友情提：≈2.236 可以用计算器进行近似计算 ， ≈4.472 ≈4.472 （，） 新知探究 探究点1 二次根式的积的算术平方根 议一议 1.你能用字母表示得出的规律吗？ （，） 两个非负数积的算术平方根，等于这两个非负数算术平方根的积 用途：二次根式的化简，将被开方数拆分为两个非负数的积，拆分时优先拆出“开得尽方的因数或因式” 注意：性质成立的条件是“，”，若、中有负数，性质不成立 不能拆， 因为无意义，不能用性质计算 示例 典例分析 探究点1 二次根式的积的算术平方根 例1：化简下列各式 （1）； （2）； （3）（，） 解：（1） ； 将12拆分为 易错提醒：化简时，需注意的取值范围，若题目未说明，需保留绝对值，即。 （3）∵ ， ∴ 是开得尽方的因式 （2） ； 新知探究 探究点2 二次根式的商的算术平方根 填一填 ， ， ， ， 1、计算各题： ， ， 友情提示： 可以用计算器进行近似计算 2.比较左右两边的等式,你有什么发现? 议一议 新知探究 探究点2 二次根式的商的算术平方根 类比二次根式乘法性质，结合分数与算术平方根的意义，能得出什么结论？ （，） 理由如下：因为当时， ， ∴ 两个非负数商的算术平方根，等于这两个非负数的算术平方根的商 用途：化简被开方数为分数的二次根式，消除分母中的根号 注意：性质成立的条件是“，”，不能为0（分母不能为0）， 若，性质不成立。 归一归 新知探究 探究点2 二次根式的商的算术平方根 （，） 典例分析 探究点2 二次根式的商的算术平方根 例2：化简下列各式 （1）； （2）； （3） （ ，） 解：（1）； （2）； （3） 注意： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来. 新知探究 探究点3 最简二次根式 议一议 1.下列二次根式有哪些共同特点？ 、 、 （，） 特点 被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式. 最简二次根式 最简二次根式满足以下两个条件： 条件1：被开方数中不含分母； 条件2：被开方数中不含开得尽方的因数或因式 2.最简二次根式 　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 比较下面三个二次根式，哪一个是最简形式? 最简形式 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 被开方数不含分母 新知探究 探究点3 最简二次根式 议一议 被开方数中不含分母； 分母含二次根式 二次根式化简的最终结果，必须是最简二次根式 典例分析 探究点3 最简二次根式 例3：判断下列二次根式是否为最简二次根式，若不是，将其化为最简二次根式 （1）；（2）；（3）（，） 解：（1）不是最简二次根式； （拆分出开得尽方的因数9）； （2）不是最简二次根式； （消除分母中的根号）； （3）不是最简二次根式； （，拆分出开得尽方的因式）。 典例分析 探究点3 最简二次根式 例2、化简下列二次根式，使其成为最简二次根式 （1）；（2）；（3）；（4）（） 解：（1） （2） （3）方法一：； 方法二： （4） 新知探究 探究点3 最简二次根式 议一议 将二次根式化成最简二次根式的方法： 先将被开方数分解成平方因数与其他因数相乘的形式； 再根据二次根的性质写成两个算术平方根相乘； 把平方因数开方，结果化为最简二次根式. 分子、分母同时乘以一个相同的数； 将分母变成平方形式. 带分数 假分数 小数 分数 典例分析 例1 化简 （1） （2） （3） （4） 解： （1）； （2） （3）； （4） （先分子分母同×7，使得分母能开方）。 简记为： 根号下 不含分母 不含小数 不含平方 典例分析 例2、化简： （1） （2） （3） 解（1）原式 = = = = = 被开方数尽量分解因式(或因数)，把平方数开出来，剩下的留在根号里。 （2） == 把小数0.0005化成分数方便找平方数，10000开方是100，根号5留在根号里 （3） = = 新知巩固 1、化简（1）；（2）；（3）； 解： （1）； （2）； （3） （教材p12页） 课内练习 新知巩固 2.化简 （1） （2） （3） 解：（1）直接开方：若分子、分母都是完全平方数，直接分别开方 （2）若分母不是完全平方数，分子分母同乘，消去分母根号 （3）先把分母凑成完全平方数，再开方 （教材p12页） 课内练习 新知巩固 （教材p12页） 课内练习 3 化简 （1） （2） 解：（1） 或 （2） 拓展提升 数学活动 化简下列两组式子 （1）你发现了什么规律?请用字母表示规律,并任意选几个数验证你所发现的规律 = ; = 。 = ; = 。 = ;= 。 = ;= 。 （2）用字母表示规律并证明 拓展提升 化简下列两组式子 = ; = 。 = ; = 。 = ;= 。 = ;= 。 拓展提升 化简下列两组式子 解 2 3. 4. 拓展提升 （1）发现规律 n代表大于或等于2的整数 验证示例：（代入n=6、n=7，看看规律是否成立） 当时： （符合规律） 当时： （符合规律） 拓展提升 （2）证明规律 n代表大于或等于2的整数 左边化简后和等式右边完全相等，所以这个规律是成立的 拓展提升 1、化简（浙江中考真题改编） 解：方法一：先化简分子，再运算 ； 方法二：拆分运算，再化简 。 真题感知 1．（2025·甘肃中考真题）：计算 解：原式 。 真题点评： 本题是中考基础题，侧重二次根式的化简，难度不大，关键是掌握最简二次根式的化简方法，避免化简不彻底或合并同类二次根式出错。 真题感知 2.（2025·河北石家庄·模拟预测）若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 3.（2025·河北石家庄·二模） 若是最简二次根式，则整数的最小值为 ． 3 解：∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是3． 真题感知 课堂小结 （1）忽略性质成立的条件（，或）； （2）化简含字母的二次根式时，未判断字母取值范围，直接去掉绝对值； （1）积的算术平方根性质：（，），（2）商的算术平方根性质：（，）， （3）关键概念：最简二次根式（两个条件：不含分母、不含开得尽方的因数/因式），化简最终结果必须是最简二次根式； 1.主要知识点： 化简二次根式 ——优先拆分开得尽方的因数/因式、消除分母； 代数式求值 ——先化简，再代入； 含符号判断的题目 ——先判断符号，再去绝对值 2.解题思路： 3.易错点： 课后练习 1. 化简下列各式 (1) (2) (3) 解： (1) (2) (3) （教材p13页） 作业题A组 课后练习 2. 化简下列各式 (1) (2) (3) 解： (1) (2) (3)   （教材p13页） 作业题A组 课后练习 3. 化简下列各式 (1) (2) 解：(1) （教材p13页） 作业题A组 (2) 课后练习 4. 已知等边三角形的边长为 4 cm，求它的高线长。 分析： 等边三角形的高线将三角形分成两个全等的直角三角形，其中斜边为等边三角形的边长（4 cm），一条直角边为边长的一半（2 cm），另一条直角边即为高线。 解：由勾股定理得 h= （教材p13页） 作业题A组 ∟ 课后练习 5. 化简下列各式 (1) (2) (3) (4) 解：（1） (2) (3) (4) （教材p13页） 作业题A组 课后练习 6.如图,在直角坐标系中,点A(5，2)，B(1，5)，C(1，2)是△ABC的个顶点，求AB的长。 解：由勾股定理： （教材p14页） 作业题B组 课后练习 7.在如图所示的4X4方格中，每个小方格的边长都为1。 (1)在图中画出长度为与的线段，要求线段的端点在格点上。 (2)在图中画出一个三条边长分别为3，2，的三角形,使它的顶点都在格点上。 解：（1）利用勾股定理（画法不唯一）： ：连接横向1格、纵向4格的格点； ：连接横向2格、纵向4格的格点。 （教材p14页） 作业题C组 课后练习 7.在如图所示的4X4方格中，每个小方格的边长都为1。 (1)在图中画出长度为与的线段，要求线段的端点在格点上。 (2)在图中画出一个三条边长分别为3，2，的三角形,使它的顶点都在格点上。 解:(2)如图所示 （教材p14页） 作业题C组 A B C 3 感谢聆听! $