1.3 二次根式的运算（第4课时 ）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

第3节《二次根式的运算》 第四课时 第1章《二次根式》 学 习 目 标 1 2 3 体会二次根式在解决直角三角形边长计算等实际问题中的工具作用，感受数学与生活的紧密联系。 掌握利用二次根式运算解决实际问题的基本步骤，能将实际问题转化为二次根式的计算问题。 理解坡比、等腰直角三角形等几何模型的数学本质，能运用勾股定理和二次根式运算求解相关线段长度。 基 本 性 质 知识回顾 1. 平方与开方互逆 （） 2. 去根号与绝对值 （ 为任意实数） 3. 积的算术平方根 4. 商的算术平方根 (a≥0，b≥0) (a≥0, b>0) 四 则 运 算 知识回顾 二次根式的加减即为对同类二次根式的合并 3.二次根式的加减 1.二次根式的乘法法则 (a≥0，b≥0) 2.二次根式的除法法则 (a≥0，b>0) 先化为最简二次根式 把同类二次根式合并（合并系数） 二 次 根 式 化 简 知识回顾 （２）被开方数不含分母． （１）被开方数各因式的指数都为1． 1.二次根式化简结果满足 最简二次根式 形如 的式子，分子、分母同乘以 ，可以使分母不含根号. 形如 的式子，分子、分母同乘或构成平方差公式，可以使分母不含根号. 2.分母含二次根式的化简 梯形的上底是 ，下底 ，高是 ，面积是多少？ 实数的运算法则、运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用. 练一练 知识回顾 导入新课 a h ∟ h ∟ b a c 等边三角形边长为a，高是多少？ 梯形上底a，下底b，面积为s，能求出腰长c吗？ 图中梯子到墙有多远？ 在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到需要计算斜坡长度、物体高度、图形边长等问题。这些问题往往可以转化为直角三角形的边长计算，而二次根式及其运算正是解决这类问题的有力工具。今天，我们就来学习如何运用二次根式解决这些实际问题。 新知探究 探究点1 利用二次根式解决坡比问题 议一议 如图，在山坡上植树，坡角是30度，你知道坡度是多少吗？ G ∟ h 坡比（坡度）：是指斜坡的垂直高度与水平宽度的比值 即 解：如图，在山坡上植树，坡角是30度 由题意得：坡面长l=2h， 由勾股定理得:a= 典例分析 探究点1 利用二次根式解决坡比问题 例1.已知斜坡的坡比为 ，水平宽度为 ，求斜坡的长度。 分析： 根据坡比定义，垂直高度 ； 解答： 坡比 i，水平宽度 ， 垂直高度 ； 由勾股定理：， 。 提示：坡比问题本质上是直角三角形中已知两直角边的比，求斜边长度的问题。 新知探究 探究点2 利用二次根式解决等腰直角三角形问题 由面积公式得： ∵ ∴a= 代入得： 议一议 在等腰直角三角形中，直角边与斜边有怎样的数量关系？斜边上的高与斜边有怎样的关系？ 结论： 在等腰直角三角形中，斜边长度是直角边长度的 倍 已知：等腰直角三角形中 ，直角边为， 为斜边 由勾股定理易得： 斜边上的高等于斜边的一半 典例分析 探究点2 利用二次根式解决等腰直角三角形问题 例2.已知等腰直角三角形的直角边长为 ，求斜边上的高。 解答： 直角边长 ， 由勾股定理：， 斜边 ； 斜边上的高 ， 。 典例分析 例 3，如图，扶梯 的坡比为 ，滑梯 的坡比为 ，，。求男孩从 到 再滑到 经过的总路程。 解答：，坡比 ， ； ； ，坡比 ， ； ； ，； 总路程 。 典例分析 例4 如图，等腰直角三角形彩纸 ，将斜边上的高线 四等分，裁出三张宽度相等的长方形纸条。 （1）三张纸条的长度； （2）用这些纸条为正方形美术作品镶边，求作品面积。 解：（1）， ； ； 每段高 ； 最上面纸条长 ； 中间纸条长 ； 最下面纸条长 。 （2）总长度 ； ， ； 。 新知巩固 （教材p21页） 1.如图，一道斜坡 的坡比为 ，，求斜坡 的长。 解答： 坡比 ，， ； 24 课内练习 如图，架在消防车上的云梯 长为 ，，云梯底部离地面的距离 为。求云梯的顶端离地面的距离 。 解答：设 ，则。 在 中，由勾股定理： ， ， 因为 ， 所以 14.86（米）。 答：云梯的顶端离地面的距离 约是14.86 米。 2.解答本节节前语中的问题（精确到 ） 拓展提升 1.一个矩形的长和宽分别为 和 ，求这个矩形的对角线长和面积。 解：设这个矩形的对角线为d,由勾股定理得： ； ， ； 。 这个矩形的面积：S=（ ）•（ ）＝4 拓展提升 2.如图，正方形ABCD的边长为，E为BC边上一点，且BE=，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CD延长线于点F，求DF的长度和△AEF的面积。 解：由正方形性质，AB=AD， ∠B=∠ADF=90°，∠BAE+∠EAD=90° ∵ AF⊥AE，∴ ∠FAD+∠EAD=90°， ∴ ∠BAE=∠FAD ∴ △ABE≌△ADF（ASA）， ∴ DF=BE= ∴ ∵ △ABE≌△ADF，∴ AE=AF= △AEF为等腰直角三角形， 面积 D A B C E ∟ F 真题感知 1.（2025年浙江中考）如图，在 中，，，。求 的长。 分析： 利用含 角的直角三角形性质（ 角对的直角边是斜边的一半）直接求解。 解答：，， ； 。 2.（2025年北京名校期末） 已知一个正方形的对角线长为 ，求这个正方形的边长和面积。 解答：， ； 。 课堂小结 核心方法： 将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理和二次根式运算求解。 关键步骤： 分析问题，建立几何模型（如坡比、等腰直角三角形）。利用勾股定理列出二次根式表达式。化简二次根式并计算结果。 注意事项： 结果要根据实际意义进行取舍，注意单位和精度要求；数学公式书写要规范，二次根式化简要彻底。   课后练习 （教材p21页） 1.在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，记AB=c，BC=a，AC=b。若 a:c = ，求 b:c。 解：∵ a:c = ∴ 设 a = k，c = 2k（k > 0） 由勾股定理 得 k² + b² = 4k² b² = 4k² - k² （边长为正数，舍去负根） ∴ b:c = 作业题A组 课后练习 2.求边长为 的等边三角形的周长和面积。 解：∵等边三角形三边相等， ∴周长 由题意得：边长的一半，即 ，斜边为 根据勾股定理： h² + 5 = 20 （高为正数，舍去负根） ∴ （教材p21页） 作业题A组 a= h ∟ 课后练习 3.如图，大坝横截面ABCD是梯形，迎水坡AD的坡比为4:3，背水坡BC的坡比为1:2，大坝高DE=50 m，坝顶宽CD=30 m。求大坝横截面的面积和周长（周长精确到0.01 m）。 （教材p21页） 作业题A组 解：∵DE:AE = 4:3，DE = 50 m∴ m ∵CF:BF = 1:2，CF = DE = 50 m∴ BF = 2×50 = 100 m ∴AB = AE + EF + FB， ∵EF = CD = 30 m ∴ AB = 37.5 + 30 + 100 = 167.5 m 由勾股定理， m m ∴ m² 周长 = AB + BC + CD + DA ∴ m   课后练习 4.如图，一艘巡逻艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时回到O港。已知巡逻艇的速度是60 km/h，求A、B之间的距离（精确到0.1 km）。 （教材p22页） 作业题B组 解：由题意得： 巡逻艇总路程= km 设OA = OB = x km，∵ △AOB是等腰直角三角形 ∴ 由勾股定理， ∴ , ， ∴ ， km 课后练习 （教材p22页） 作业题C组 5.从一张等腰直角三角形纸板中剪一个尽可能大的正方形，可怎样剪？画图说明你的剪法。如果这张纸板的斜边长为30 cm，能剪出最大正方形的面积是多少平方厘米？ 解：剪法说明 剪法一：以等腰直角三角形的直角顶点为正方形的一个顶点，另外两个顶点分别在两条直角边上，第四个顶点在斜边上（此剪法剪出的正方形面积更大）。 设最大正方形的边长为a cm： 剪去正方形后，剩余两个小三角形也为等腰直角三角形且直角边长为 cm 由图形关系可知：直角边长 = 正方形边长， 即 ∴ cm cm² 课后练习 剪法二：以等腰直角三角形的斜边为正方形的一条边，另外两个顶点在两条直角边上（面积小于剪法一）。 （教材p22页） 作业题C组 5.从一张等腰直角三角形纸板中剪一个尽可能大的正方形，可怎样剪？画图说明你的剪法。如果这张纸板的斜边长为30 cm，能剪出最大正方形的面积是多少平方厘米？ 感谢聆听! $