精品解析：湖北省武汉市洪山区2025-2026年八年级下学期中数学试题

八年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 下列说法中不正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 有三个直角的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 6. 如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；④连接 ，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，中，，E为中点，D为延长线上一点，，，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 9. 如图，平行四边形中，与交于点，，，和的角平分线交于点，则的长为（ ）． A. B. C. D. 10. 我国魏晋时期数学家刘徽用“青朱出入图”的剪拼方法直观证明了勾股定理．这种“以盈补虚”的思路被称为出入相补法（“出”即为剪出，“入”即为补入），是中国古代数学的瑰宝．某学习小组受到启发，将如图放置的两个边长不等正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．（例：青出①为剪出部分，补入到青入①）若，正方形纸片边长为4，则（ ） A. B. 3 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 计算：______． 12. 斜边为5的直角三角形，若一条直角边为3，则另一条直角边为______． 13. 若，则m的值为______． 14. 如图，四边形的面积为26，，，，，则______． 15. 如图，在四边形中，，，，．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以3个单位/秒的速度向点B运动，当时运动停止，此时______． 16. 如图，在矩形中，，E为边上一动点（不含端点），F为边上一点，，交于点G，下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当，时，．其中正确的是______（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）______；______； （2）． 19. 如图，平行四边形中，点E、F分别为和边上的点，且满足． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当四边形的对角线与满足条件____________时，四边形为矩形． 20. 如图1，为水平线，于点E，于点A，于点D．若，，． （1）求的长度； （2）如图2，点G为延长线上一点，，将沿着方向平移到，此时，判断平移后的点会与点G重合吗？请说明理由． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，作出以为边的菱形； （2）在图1中，在边上作点E，使； （3）在图1中，点G为边上一点，且点G为非格点，在边上作点H，使； （4）在图2中，点M、N都是网格线上的点，与网格线交于点P，在上作点Q，使． 22. 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现：将平行四边形纸片按图1所示折叠成完美矩形（折痕分别为），若平行四边形的面积为30，，则______，______； （2）类比探究：将纸片按图2所示折叠成完美矩形（折痕分别为），若，，，求的面积； （3）拓展延伸：将平行四边形纸片按图3所示折叠成完美矩形（折痕分别为），若，，求完美矩形的面积． 23. 菱形中，为对角线，点为菱形外一点，． （1）如图1，若点为线段上一点，，交的延长线于点． ①直接写出与数量关系____________； ②如图2，过点G作交的延长线于点H，且，求证：；（提示：若思考有困难，可尝试求大小） （2）如图3，若点E为所在直线上一点，，，直接写出菱形周长最小值______． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在轴和轴上，点B的坐标为． （1）实数a，b满足，直接写出点B坐标____________； （2）如图1，当时，连接，是边上一点，为的中点．将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接、交于点H， ①求证：； ②如图2，连接，若且，直接写出点坐标____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故选：A． 2. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含有分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将各二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式，逐一判断计算是否正确． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，C正确． 对选项D：，D错误． 4. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式， 利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和可得： ， 解得：， ∴该多边形的边数为5， 故选：B． 5. 下列说法中不正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 有三个直角的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定定理，逐一判断各选项即可得到答案. 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确； B、有三个直角的四边形是矩形，正确； C、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意. 6. 如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图，得到，得到四边形为菱形，再根据菱形的性质，进行求解即可. 【详解】解：由作图可知：， ∴四边形为菱形，， ∴ ， ∴ . 7. 已知，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴. 8. 如图，中，，E为中点，D为延长线上一点，，，则的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到 ，等边对等角，三角形的外角的性质，推出，进而得到即可得出结果. 【详解】解：∵中，，E为中点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴. 9. 如图，平行四边形中，与交于点，，，和的角平分线交于点，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形性质，得到；根据平行四边形的数量关系，取的中点，证明共线，，， ，因此，在中，即可求得的长． 【详解】解：取的中点，连接，如图所示， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， 和的角平分线交于点， ， ， ， 在与中，有 ， 则， ， 三点共线，且， 又， 四边形是平行四边形， ， 在和，有 ， ， 在和中，有 ， ， ， ， 是直角三角形， 又， 为中点， 根据直角三角形性质，则． 【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、直角三角形的判定，解题关键是根据题意发现边长数量关系，作相应辅助线从而得到所求长度． 10. 我国魏晋时期数学家刘徽用“青朱出入图”的剪拼方法直观证明了勾股定理．这种“以盈补虚”的思路被称为出入相补法（“出”即为剪出，“入”即为补入），是中国古代数学的瑰宝．某学习小组受到启发，将如图放置的两个边长不等正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．（例：青出①为剪出部分，补入到青入①）若，正方形纸片边长为4，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，可得，设，结合，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵正方形边长为4，正方形，正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，即， ∴. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 12. 斜边为5的直角三角形，若一条直角边为3，则另一条直角边为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：根据勾股定理，另一条直角边长为 ． 13. 若，则m的值为______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，对等式两边同时平方，将原式转化为一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，四边形的面积为26，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】在中利用勾股定理求出的长，并计算的面积，根据四边形面积求出的面积，结合三角形面积公式及边长关系判定为直角三角形，最后利用勾股定理求解.  【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，设边上的高为， 则， 即，解得； ∵， ∴， 根据垂线段最短可知，当且仅当时，为边上的高， ∴， 在中，由勾股定理得. 15. 如图，在四边形中，，，，．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以3个单位/秒的速度向点B运动，当时运动停止，此时______． 【答案】260 【解析】 【分析】如图，过作于，过作于，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，，证明，设，，设运动时间为，求解，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：如图，过作于，过作于，连接，， ∵，， ∴， ∴四边形，四边形是矩形， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴设，， ∴ ， 设运动时间为， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴，，，， ∴， ∴ . 16. 如图，在矩形中，，E为边上一动点（不含端点），F为边上一点，，交于点G，下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当，时，．其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】如图，连接交于，证明为等边三角形，可得①符合题意；证明，进一步可得②符合题意；令，，结合②可得：，证明，可得③不符合题意；如图，过作交的延长线于，证明四边形是平行四边形，令，则，，再进一步可得④符合题意． 【详解】解：如图，连接交于， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故①符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 令，， 结合②可得：， ∴， ∴， ∴， 此时，不成立，故③不符合题意； 如图，过作交的延长线于， 同理可得：，而，， ∴， ∴，， ∴， ∴，而， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④符合题意． 三、解答题（共8小题，共72分） 在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接合并同类二次根式即可得到结果； （2）根据二次根式的乘除运算法则逐步计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）______；______； （2）． 【答案】（1）6；3 （2）33 【解析】 【分析】关于二次根式的计算，（1）利用平方差公式计算；（2）利用完全平方公式整理为，将（1）中的结果代入计算． 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，平行四边形中，点E、F分别为和边上的点，且满足． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当四边形的对角线与满足条件____________时，四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再证明，即可证明结论； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形可得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当四边形的对角线与满足条件时，四边形为矩形． 20. 如图1，为水平线，于点E，于点A，于点D．若，，． （1）求的长度； （2）如图2，点G为延长线上一点，，将沿着方向平移到，此时，判断平移后的点会与点G重合吗？请说明理由． 【答案】（1）13.6 （2）不会，见解析 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，则，然后对运用勾股定理求解即可； （2）先在求出，则，再比较即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 解：不会，理由如下： 当时，在中， ∴ ∴ ∴平移后的点不会与点G重合． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，作出以为边的菱形； （2）在图1中，在边上作点E，使； （3）在图1中，点G为边上一点，且点G为非格点，在边上作点H，使； （4）在图2中，点M、N都是网格线上的点，与网格线交于点P，在上作点Q，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的定义作图即可； （2）先在网格上取格点J，构造直角边为3和4的直角，由此可得，再由角的关系得，则可得为等腰直角三角形，由此可得； （3）连接，与相交于点L，连接并延长交于点H，证明与，则点H即为所求； （4）找到的中线，连接交于点S，连接并延长交于点，即可得． 【小问1详解】 解：根据勾股定理可得， 则菱形的边长为5， 则以为边的菱形如图所示： 【小问2详解】 解：在网格上取格点J，构造直角边为3和4的直角， 由此可得，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， 记与的交点为点E，则，如图所示： 【小问3详解】 解：连接，与相交于点L， 连接并延长交于点H， 在菱形中，，， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 则点H如图所示： 【小问4详解】 解：取与网格竖线的交点为点T，连接， 则为的中线， 连接交于点S，连接并延长交于点， 则有，如图． 22. 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现：将平行四边形纸片按图1所示折叠成完美矩形（折痕分别为），若平行四边形的面积为30，，则______，______； （2）类比探究：将纸片按图2所示折叠成完美矩形（折痕分别为），若，，，求的面积； （3）拓展延伸：将平行四边形纸片按图3所示折叠成完美矩形（折痕分别为），若，，求完美矩形的面积． 【答案】（1）3，5 （2）40 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，，根据平行四边形的性质，求出的长即可； （2）根据折叠的性质，以及三角形的中线平分面积进行求解即可； （3）连接，易得四边形是平行四边形，得到，设，，勾股定理求出，再根据矩形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵折叠， ∴， ∵矩形， ∴， ∵平行四边形的面积为30，， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵折叠， ∴， 设，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴ ， ∴ ， ， ∵， ∴， ， ∴ ； 【小问3详解】 解：连接， 由折叠可知：为的中点，为的中点， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴四边形的面积为． 23. 菱形中，为对角线，点为菱形外一点，． （1）如图1，若点为线段上一点，，交的延长线于点． ①直接写出与数量关系____________； ②如图2，过点G作交的延长线于点H，且，求证：；（提示：若思考有困难，可尝试求大小） （2）如图3，若点E为所在直线上一点，，，直接写出菱形周长最小值______． 【答案】（1）①；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据四边形内角和求解即可； ②连接，记交于点O，证 ，可得到为等腰直角三角形，进而知 ，即可得证； （2）过G作和的垂线，垂足分别为P、Q，易得 ，，则可证 ，得 ，则 ，则求出最小值即可． 【小问1详解】 解：① ，即， ， 在四边形中， . ②证明：如图，连接，记交于点， ， ， 在等腰直角中，，， 在四边形中， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 即 ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 在中， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过作和的垂线段，垂足分别为、， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 为顶角为的等腰三角形， ， 菱形周长 ， 当取最小值时，则菱形也有最小值， 当 时最小， 此时在 中， ，， ，此时菱形周长为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在轴和轴上，点B的坐标为． （1）实数a，b满足，直接写出点B坐标____________； （2）如图1，当时，连接，是边上一点，为的中点．将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接、交于点H， ①求证：； ②如图2，连接，若且，直接写出点坐标____________． 【答案】（1） （2）①见详解；② 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的非负性质可得a的值，由此可解b，即可得点B坐标； （2）①添加辅助线，证明与全等，由此可得， ，再由旋转的性质可得 ，，再证明与全等，由此可得 ，再根据角的关系求解，即可证明垂直； ②先证明和 全等，由此可得 ，，设，结合勾股定理可得 ，再由边的关系以及勾股定理求解x的值，进而可得点坐标． 【小问1详解】 解：实数a，b满足， 则有，即有， ， 则 ， ； 【小问2详解】 ①证明：延长至点G，使得，连接，如图， 点F为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在矩形中， ， 轴，轴， ， ， 由绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； ②解：连接，设、交于点，如图， 由①得，， 矩形是正方形， ， ， ， 即 ， 在和 中， ， ， ，， ， ， ， ，， 为的中点， ， 设， ， ， ， ， ， 在 中， ， 在中，， 在 中，， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $