精品解析：湖北省武汉市洪山区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024－2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试卷 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，由题意得，据此即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：D． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、是最简二次根式，故选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的加法、乘除法运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能相加，故该选项计算错误，不符合题意； B、2和不能相加，故该选项计算错误，不符合题意； C、，故该选项计算错误，不符合题意； D、，故该选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 由下列线段a，b，c首尾相连组成三角形，其中能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：．，是直角三角形，故此选项符合题意； ．，不是直角三角形，故此选项不符合题意； ．，不是直角三角形，故此选项不符合题意； ．，不是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 5. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 如果两个实数相等，那么它们的立方相等 C. 对顶角相等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】分别写出各选项的逆命题，然后判断正误即可．本题考查了逆命题，平行线的判定，全等三角形的判定，对顶角相等，实数等知识．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：由题意知，A中逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，故不符合要求； B中逆命题为实数的立方相等，这两个实数相等，正确，故不符合要求； C中逆命题为相等的角是对顶角，错误，故符合要求； D中逆命题为两个全等三角形的三边分别相等，正确，故不符合要求； 故选：C． 6. 已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则菱形的周长为（ ） A. 20 B. 25 C. D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，由菱形的面积求出，再由菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的周长公式计算周长即可． 【详解】解：如下图菱形，假设对角线， 则， ∴， 由菱形的性质可知：，，，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A 7. 已知且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，整体思想的正确运用是解题的关键． 根据已知，求出，再求出，根据得出，求出的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8. 在平行四边形中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（ ） A. 8或12 B. 8 C. 10或14 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．分两种情况：当与在有交点平行四边形内部有交点时，当与在有交点平行四边形外部有交点时，分别证明，，即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当与在平行四边形内部有交点时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 如图2所示，当与在平行四边形外部有交点时， 则； 综上所述，的长为8或12， 故选：A． 9. 某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，．若，则的长是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正方形面积的计算，整式的运算等，利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， 即， ， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 将答案直接写在答题卡指定的位置上． 10. 写出一个能与合并的二次根式_____． 【答案】2 【解析】 【详解】试题解析：2是的同类二次根式． 故答案为：2． 11. 已知，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的混合计算，直接代值并根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′，如果点B′落在直角边AC的中点上，则CE的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设CE＝x，则BE＝8－x，根据折叠的性质，利用勾股定理即可得答案． 【详解】因为点是AC的中点， 所以＝AC＝3， 设CE＝x，则BE＝8－x， 由题意得＝BE＝8－x， 由勾股定理得， 解得x＝， 即CE的长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活使用勾股定理是解题的关键． 13. 在一场物理实验中，研究小球从高处自由下落到地面的情况，小球离地面高度为（单位：，落到地面所用时间为（单位：，已知与成正比例关系，当时，．现在小球离地面高度时，那么小球落地所用时间____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的应用，关键是利用待定系数法求解析式．根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量的值，可得函数值． 【详解】解：设， 由时，，得， 解得， 函数的解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 14. 为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有________款扫地机可以购买． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题． 【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，，即， ∴ ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于长， ∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为，，，共3款， 故答案为：3． 15. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，，垂足为H，连接并延长交于点F．下列结论中正确的是__________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①，证明即可；证明，则，即可判断③；由于不是等边三角形，则，故，即可判断②；取中点，连接，则由三角形中位线得到，，则为等腰直角三角形，，由角平分线得到，则，又，故，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴不是等边三角形， ∴， ∴，故②错误； 取中点，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵，， ∴， ∴， 又， 故，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可； （2）先将二次根式化为最简，然后进行乘除运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算．解题的关键在于正确的化简计算． 17. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F为上的两点且． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）当满足_______时，四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据对角线互相垂的平行四边形是菱形即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，四边形是菱形．理由如下： 由（1）知四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形是菱形． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）和； （2）． 【答案】（1），2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的加法和乘法法则计算即可； （2）先进行异分母的分式减法计算得到，再分别代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ． 19. 如图，在中，，，D为边上一点，，过D作于E，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）可得，先根据角直角三角形的性质求出，，再对运用勾股定理求解； （2）先由勾股定理求出，再由四边形的面积求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍负）； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴四边形的面积． 20. 在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） （1）在图1中先画出一个以为边的正方形，再画出一个以为边的菱形（菱形不是正方形），并直接写出__________． （2）如图2，点M在格点上，先过点A作交于点G，再在上画点H，使． 【答案】（1）如图，正方形，菱形即为所求； （2）如图，点，即为所求： 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，若连接，则由勾股定理逆定理可证明，则正方形即为所求；可得，故菱形即为所求； （2）取格点，连接并延长交即为点，可得，则，可得，再根据全等三角形对应角相等以及互余关系可证明； 取格点，连接并延长与交点即为点，可得平行四边形，则，得到，由为中点得到，而，则，故是的垂直平分线，则． 【小问1详解】 解：∵， ， ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及正方形和菱形的判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边中线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在于找准格点． 21. 如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形、正方形和正方形，过点C作的垂线，垂足为J，延长交于点K． （1）连接，，证明； （2）连，先直接写出与数量关系_____，再证明：． 【答案】（1） 证明：∵四边形， 四边形都是正方形， ， ， ； （2） ， 证明：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 同法可证：， ∴ ，， ∴. 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据证明三角形全等即可； （2）利用勾股定理得到，即，然后证明，得到，再推理得到，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 在中，，，点是直线上一动点，以为对角线作正方形． （1）如图1，点在线段上，求证：； （2）如图2，点在线段的延长线上，求证：； （3）若，过点作的垂线，垂足为，当最大时，_______． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 作于点，作交的延长线于点，作于点，设交于点，则四边形为矩形，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）正方形的性质，得到，证明，即可得证； （2）作于点，作交的延长线于点，作于点，设交于点，证明，得到，，进而得到四边形为正方形，得到，证明为等腰直角三角形，得到推出，进而得到，进而得到垂直平分，即可得出结论； （3）易得点在以为直径的圆上运动，取的中点，以为半径画圆，连接，，，得到当三点共线时，取得最大值，勾股定理求出的长，进而得到的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，作，等积法求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点B作的垂线，垂足为G，如图， 则：点在以为直径的圆上运动， 取的中点，以为半径画圆，连接，，， 则：， ∴当三点共线时，取得最大值，如图： ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 作于点， 则：，即：， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：． 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，求一点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，构造全等三角形和特殊图形，确定动点的轨迹，是解题的关键． 23. 如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上且在原点左侧，点在轴上且在原点右侧，点，并且实数满足，连接． （1）直接写出点坐标为_______； （2）如图1，过点作交于点，在上取一点，使 ①求的值；②证明：； （3）如图2，若点在线段上，且，为三等分点（靠近点），直接写出的最小值是_______． 【答案】（1） （2）①， ②证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 又∵， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，，求出，即得答案； （2）①由直角三角形的性质可得出答案； ②证出．证明．得出，则可得出结论； （3）过点M作，且，则四边形是平行四边形，求出，作点T关于的对称点，得出，过点作于点H，则，，由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 解：∵实数满足， ∴，， ∴， ∴ 则， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴， 即． ②略 【小问3详解】 解：过点作轴，过点M作，且，则四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 作点T关于的对称点， ∴， ∵T为三等分点（靠近点A）， ∴，， ∴， ∴， 过点作于点H， 则，， 当，M，T'三点共线时，有最小值，即为的长， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，二次根式的非负性，坐标与图形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试卷 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 由下列线段a，b，c首尾相连组成三角形，其中能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 如果两个实数相等，那么它们的立方相等 C. 对顶角相等 D. 三边分别相等的两个三角形全等 6. 已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则菱形的周长为（ ） A. 20 B. 25 C. D. 40 7. 已知且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 在平行四边形中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（ ） A. 8或12 B. 8 C. 10或14 D. 10 9. 某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，．若，则的长是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 将答案直接写在答题卡指定的位置上． 10. 写出一个能与合并的二次根式_____． 11. 已知，则的值为________． 12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′，如果点B′落在直角边AC的中点上，则CE的长为____________． 13. 在一场物理实验中，研究小球从高处自由下落到地面的情况，小球离地面高度为（单位：，落到地面所用时间为（单位：，已知与成正比例关系，当时，．现在小球离地面高度时，那么小球落地所用时间____． 14. 为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有________款扫地机可以购买． 15. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，，垂足为H，连接并延长交于点F．下列结论中正确的是__________（填序号）． ①；②；③；④． 三、解答题（共8小题，共72分） 在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F为上的两点且． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）当满足_______时，四边形是菱形． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）和； （2）． 19. 如图，在中，，，D为边上一点，，过D作于E，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 20. 在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） （1）在图1中先画出一个以为边的正方形，再画出一个以为边的菱形（菱形不是正方形），并直接写出__________． （2）如图2，点M在格点上，先过点A作交于点G，再在上画点H，使． 21. 如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形、正方形和正方形，过点C作的垂线，垂足为J，延长交于点K． （1）连接，，证明； （2）连，先直接写出与数量关系_____，再证明：． 22. 在中，，，点是直线上一动点，以为对角线作正方形． （1）如图1，点在线段上，求证：； （2）如图2，点在线段的延长线上，求证：； （3）若，过点作的垂线，垂足为，当最大时，_______． 23. 如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上且在原点左侧，点在轴上且在原点右侧，点，并且实数满足，连接． （1）直接写出点坐标为_______； （2）如图1，过点作交于点，在上取一点，使 ①求的值；②证明：； （3）如图2，若点在线段上，且，为三等分点（靠近点），直接写出的最小值是_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $