2026年中考数学三轮冲刺15：锐角三角函数（全国通用）

**基本信息** 聚焦锐角三角函数核心考点，构建“基础计算-实际应用-综合拓展”三阶方法体系，融合几何直观与运算能力，适配中考情境化命题趋势。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考情分析|全国考情+命题趋势|必考性与失分点总结|覆盖选择/填空/解答全题型，明确6-10分中档题定位| |核心题型|7类题型+例题|特殊角记忆与规范运算、同角公式应用、构造直角三角形、实际问题建模（仰角/坡度/方位角）、几何/函数综合转化|从特殊角三角函数值→同角关系→解直角三角形→实际应用→跨模块综合，形成概念生成-原理推导-应用拓展递进链条| |典例训练|10模拟+10真题|高频考点针对性突破|贴合2024-2026情境化、多模块综合命题趋势，强化建模与推理能力|

中考数学三轮冲刺15：锐角三角函数专项 》》》 中考全国考情分析 1、必考性与分值稳定 锐角三角函数是全国中考数学基础核心必考内容，覆盖选择、填空、解答全题型，分值6一10 分，以中档题为主，少量简单计算题。核心失分点集中在特殊角三角函数值记忆错误、解直 角三角形不构造直角、实际问题模型建立错误、坡度与坡角关系混淆、计算过程不规范。 2、考点聚焦 围绕特殊角三角函数值计算→同角三角函数关系→解直角三角形→仰角/俯角/坡度/ 方位角实际应用→三角函数与几何图形综合→三角函数与函数/圆综合六大核心环节，其 中特殊角计算、解直角三角形、实际应用为高频必考考点。 3、最新命题趋势(2024一2026) 命题全面情境化，贴合建筑测量、航海导航、山体坡度、河道宽度等真实场景；从单一计算 向“建模+计算+推理”转变，强调几何直观与运算能力结合；强化跨模块综合，常与 三角形、四边形、圆、一次函数结合考查；新增多图形组合、参数计算、结论判断类题型， 突出知识融合。 4、地域差异 一线城市（北京、上海、广州、深圳）侧重三角函数与几何/函数综合、复杂实际应用； 三四线城市侧重特殊角计算、基础解直角三角形、简单实际应用，全国均遵循“重基础、 重模型、重规范”命题原则。 》》》 题型一、特殊角三角函数值计算 具体解决方法： 牢记30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，不混淆； 计算遵循先代值、再乘除、后加减，有括号先算括号内； 试卷第1页，共3页 含二次根式时按规则化简，结果化为最简二次根式： 注意符号与分母有理化，保证计算准确。 例题 (2026吉林一模)计算：（N2+1)(√2-+2sin45°= 【答案】1+√2 【详解】解：（2+(5-+2si血45°=-1+2×5-2-1+2-1+5. 题型二、同角三角函数关系应用 具体解决方法： 掌握核心公式：sina+cos2a=l,tana=sina/cosa; 已知一个锐角的一种三角函数值，利用公式求另外两种； 锐角三角函数值均为正数，计算结果舍去负根； 结合直角三角形边角关系验证结果合理性。 例题 3 (2026上海黄浦.一模)已知oa是锐角，且tana ,那么(sina-cosa)的值为 【答案】 13 对边 对边 邻边 【详解】解：依题意，tana= ,sina cosa= 邻边 斜边 斜边’ 则tana=sina , cosa 3 :ana=2,且a为锐角， .设sina=3k,cosa=2k,其中k>0 .sin2a+cos2a =1, .(3k)2+(2k)2=1, 即9k2+4k2=1, .13k2=1, 13' 试卷第1页，共3页 解得k=8 1 3 2 因此sina= V3’cosa= 13' 2 .sina-cosa 3 113 13√13√13131 故答案为： 3 13 题型三、基础解直角三角形 具体解决方法： 明确对象：在直角三角形中求解，非直角三角形先构造直角： 确定已知条件：已知2个元素（至少1条边)方可求解； 选合适公式：对边比斜边用正弦，邻边比斜边用余弦，对边比邻边用正切： 用勾股定理验证边长，用两锐角互余验证角度。 例题 (2026江苏苏州一模)如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且 ∠ADF=30°，以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E,连接AE,交DF于点G, 连接CG,若AB=3,AG=2√2，则GC的长为 ·(结果保留根号) D B 【答案】3 【详解】解：过点G作GM⊥AB于点M,MG的延长线交CD于点N,如图所示： D .∠NMB=∠NMA=90°， M B F :四边形ABCD是矩形，且AB=3, CD=AB=3,∠BAD=∠B=∠BCD=∠CDA=90°， ,四边形AMND和四边形BCNM都是矩形， 试卷第1页，共3页 :DN=AM,CN=BM,MN∥AD∥BC,∠MND=∠MNC=90°， :以B为圆心，以AB长为半径画弧，交BC边于点E, :BE AB, :△ABE是等腰直角三角形， ·∠BAE=∠BEA=45°， :MN∥AD∥BC,∠ADF=30°， :∠MGA=∠BEA=45°，∠DGN=∠ADF=30°， ·∠MGA=∠BAE=45°， :△MAG是等腰直角三角形， :MA=MG, 由勾股定理得：AG=VMA2+MG2=√2MA, AG=2√2， MA 2 2x22=2, :DN AM=2,BM AB-AM=3-2=1, :CN BM =1, 在△DGN中，∠MND=90°， ∴.tan∠DGN= DN GN· ..GN = DN 2 =25, tan∠OGN tan30o 在△GNC中，∠MNC=90°， 由勾股定理得：CG=VCW2+GW2=V12+(2√3)2=V3, GC的长为V3. 故答案为：√3. 题型四、解直角三角形实际应用（仰角、俯角、坡度、坡角） 具体解决方法： 根据题意画出几何示意图，标注己知角度、边长； 构造直角三角形，将实际量转化为三角形边角； 坡度公式：i=h/1=tana(a为坡角，h为铅直高度，1为水平宽度)； 试卷第1页，共3页 设未知数，列三角函数方程求解，结果符合实际意义。 例题 (2026山西大同模拟预测)数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限 高杆MN的高度AB,如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角LAEG=30°，然后在距 离C处2米的D处测得点A的仰角LAFG=45°，已知测倾器的高度为1.6米，C、D、B在一 条直线上，则车辆限高杆AB的高度为米.（结果保留根号） MA N 45° 301E 【答案】2.6+√3 【详解】解：如图，延长EF,交AB于点H, MA N 45° 入、 3011E D 由题意得，BH=DF=CE=1.6米，CD=FE=2米， 设HF=x米， 则EH=HF+FE=（x+2)米， 在Rt△AHF中，∠AFH=45°， AH=HF=x米， 在R64HE中，m0=H5,解得x=5+1 EH x+23 .AB=AH+BH=V5+1+1.6=2.6+V5(米)， 故答案为：2.6+√3. 题型五、解直角三角形实际应用（方位角） 具体解决方法： 试卷第1页，共3页 确定观测点，画出东西南北十字线，标注方位角： 利用平行线性质、等腰三角形性质转化角度： 构造双直角三角形，通过公共边建立等量关系： 分步计算边长，最终求目标距离或高度。 例题 (2026内蒙古通辽一模)如图，监测点P到道路1的距离为80m,道路上的货车 A在监测点P的北偏西60°方向，道路上的汽车B在监测点P的东北方向，此时货车A和汽 车B相距 m(结果保留根号). 北 【答案】803+80) 【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D, I A D B 北 根据题意，得∠APD=60°，∠DPB=45°，PD=80m, 故an∠APD=AD =tan 60=3,tan ZDPB=BD=tan45=1, PD PD 解得AD=80V3,BD=80, AB=AD+BD=(803+80(m). 题型六、锐角三角函数与几何图形综合 具体解决方法： 在三角形、四边形、圆中寻找或构造直角三角形： 利用圆周角定理、相似/全等三角形、角平分线转化角度： 用三角函数表示线段长度，建立线段间数量关系； 结合几何性质完成证明、计算、最值判断。 试卷第1页，共3页 例题 (2026浙江杭州一模)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，连接 OD,将△AOD沿OD翻折，得到△EOD,OE交BC于F点，ED交AC于G点，交BC于H 点，且ED⊥AC. D B E (1)若0G=0F=1,则DG= (2)若OC=k,则四边形0FHG与AGHC的面积比为 (用含k的代数式表示). OF 【答案】 5 k2+2k-1 【详解】解：(1)由折叠可知△E0D≌aA0D, .∠0AD=∠OED,OA=0E, :四边形ABCD是矩形， :AD I BC, .∠OAD=∠ACB, .LOED=∠ACB, :ED⊥AC, .∠0GE=90°， ∠E0G=90°-L0ED, ZEOG ZCOF, .LC0F=90°-∠ACB, 在△OC℉中，∠0FC=180°-∠ACB-∠C0F=90°， .OF⊥BC, 设∠DAC=a,则∠ACB=a,∠E=a, 试卷第1页，共3页 OF 在直角△OC℉中，0C= sina OG 在直角aOGE中，OE= sina :0A=0E, ..OA= OG sina :0F=0G, .0A=0C 0为AC中点， 即O为矩形ABCD中心， .0A=0D=0E .∠AD0=a=L0DG, :ED⊥AC, :四边形ABCD是矩形， .∠DCG=90°-a .∠CDG=a, .∠AD0=∠ODG=∠CDG=a, :∠AD0+∠0DG+∠CDG=90°， .∠AD0=∠0DG=∠CDG=30°， DG=cot∠ODG=V5; (2)令0C=k, OF 在直角△0CF中，0C=0F sina OG 在直角aOGE中，OE= sina 0A=0E, ..OA=- OG sina ..OA=koC, AC=0A+0C=(k+1)0C=k+1 sina 在直角△ADC中，AD=ACisina=k+1cosa=k+1)cota, sina 试卷第1页，共3页 由折叠可知ED=AD=k+1)cota, 在直角aOGE中，EG=0Gcot(90°-a)=k cota, .DG=ED-EG=(k+1)cota-k cota cota, :AD∥BC ∴.△ADG∽△CHG, 0e把 4G-0A+0G-ksina+k,GC=OC-OG--1--k, sina ..4G=(1+sina) GC 1-ksina 在直角aGHC中，HG=GC an a, DG cota 1 HG GCtana GCtan'a k(1+sina) 1-ksina 1 -k tan2a sina 1 化简得sina=k+i】 1 ..GC= --k=k+1-k=1, sina ÷.Scmc=号GCHG=.IItan&= -tan a 2 .FC=OFcota cota, 1 :S.OCF =OFFC=cota=cota Somg =S.ocr-S.mne cota-tana Sonecota-tana) 1 cota -1=cot2a-1, 2 tang tano 1 cota= -1=(k+12-1=k2+2k, sina SoFHG=k2+2k-1. S.GHC 题型七、锐角三角函数与函数综合 具体解决方法： 试卷第1页，共3页 结合平面直角坐标系，用横、纵坐标表示直角边； 利用三角函数求点坐标、线段长度、函数参数： 联立三角函数与函数解析式，求解交点、参数范围： 数形结合验证结果，符合函数与几何双重约束。 例题 (2026广东东莞模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，己知点A(10,0), OA绕点O逆时针旋转60得到OB,连接AB,双曲线y=《(x>0)分别与AB,OB交于 点C,D(C,D不与点B重合).若CD⊥OB,则k的值为 【答案】9 【详解】解：如图，作DE⊥x轴于点E,作CF⊥x轴于点F 由题意知△OAB为等边三角形 .∠BOA=∠B=∠BAO=609 设OE=a,则DE=√5a,OD=2a .D(a,V3a),BD=10-2a ..BC=_ BD =2×(10-2a)=20-4a c0s60° .AC=10-(20-4a)=4a-10 试卷第1页，共3页 FA=4Cew60=(4a-10)=2a-5,CF=4Csin60=54a-10)=52a-5 2 ∴.OF=A0-FA=10-2a+5=15-2a C(15-2a,V3(2a-5)) :点D、C在反比例函数图象上 .axV3a=(152axV3(2a-5) 解得：a1=3,a2=5(不合题意，舍去) a=3,D(3,35) .k=xy=3x3V5=9√5 故答案为：9√5. 》》》 1.(2026河南周口·模拟预测)如图，线段AB,CD相交于点O,其顶点都在以边长为1 的小正方形组成的网格格点上，则∠AOC的正弦值等于() B 号 B.3 C.7 D.3 【答案】A 【详解】解：如图， B 由网格可知，AE∥CD, .∠AOC=∠EAB, 试卷第1页，共3页 AE=BE=V12+32=V0,AB=V22+42=2V5, :AE2+BE2=AB2, .∠AEB=90°， ,∠EAB=∠EBA=45°， .∠A0C=∠EAB=45°， :sin∠A0C=sin450= 2 ·∠A0C的正弦值等于 2· 2.(2026山东淄博二模)在RtaABC中，∠C=90°，若sinA= :,则c0sA=() 3 A号 B. 2W2 C.2√5 D.② 3 【答案】B 【详解】解：：1C=90°，si血A=3, 0=1 c3 ∴.C=3a, “b=c2-a=22a, “c0sA=b=22a22 c 3a 3 3.(2026云南一模)如图，己知AB是⊙0的直径，CD是O0的弦，AB⊥CD,垂足为E. 若AB=50,CD=48,则tanC0E=() D B 7 A.24 B. 4 25 c D. 25 【答案】C 【详解】解：：AB是OO的直径，AB⊥CD, 试卷第1页，共3页 :CE=}CD=×48=24, 1 2 2 AB=50, 0c-a=25. 在Rta0CE中，由勾股定理得：0E=VOC2-CE2=V252-242=7, ·ian∠CoE=CE_24 OE 7 4.(2026云南红河一模)据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们 用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第 13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形， 则cosa等于() A. 3 D. 5 5 【答案】B 【详解】解：如图所示，根据题意可得，BC=3,AC=4,AB=5, 32+42=52, :ABC是直角三角形， AC 4 ∴.cosa= AB5' 5.(2026山东济宁.一模)如图，⊙0是ABC的外接圆，AD是00的直径，若⊙0的直径 为5，AC=4,则cosB的值是() 试卷第1页，共3页 O D. 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接CD, O B :AD是⊙0的直径， .∠ACD=90°， :⊙0的直径为5，AC=4,即AD=5, CD=AD2-AC2=3, cos∠ADC=CD=3 AD=5' AC=AC' .∠B=∠ADC, cosB=cos∠ADC=3 6.(2026江苏无锡一模)如图，小明将两根长度相等的细木条的一端固定于点0，制成了 一个可活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径AB.己知0A=OB=20cm, ∠A0B=20°，则AB的长为() 试卷第1页，共3页 A.20sin20°cmB.40sinl0°cm C.20.tan20°cm D.40.tan10°cm 【答案】B 【详解】解：如图，作OC⊥AB于点C, B 0A=0B=20cm，∠A0B=20°， 4AB2AC,∠A0CA0B=10P AC=0Asin∠A0C=20×sin10°=20sinl0(cm, .AB=2AC=40 sin10(cm). 7.(2026广东汕尾一模)如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则si∠ACB的 值为() A.5 B.25 C.2 5 5 D. 【答案】B 【详解】解：如图所示，根据题意，得设AD=2a,CD=a, 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AC=VAD2+CD2=2a2+a2=V5a, sin∠ACB=AD2a_2W5 D 8.(2026安徽池州·二模)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C都在格点上， 试卷第1页，共3页 过A、B、C三点的圆与网格线交于点D,则sin∠ADC的值为() A. 2v3 B.33 D. 13 13 【答案】A 【详解】：∠ADC和∠ABC都对弧AC, .∠ADC=∠ABC,即sin∠ADC=sin∠ABC. 根据每个小正方形边长为1，则AC=2,BC=3, 由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+32=V13, “sin∠ABc=AC=2_2V3 AB 13 13' sin∠ADc=23 13 9.(2026浙江杭州一模)如图，在矩形ABCD中，点M,N分别在边BC,CD上， CM了，把sCMN沿MN折叠，点C恰好落在边AD上的点E处，延长NM交AB的延长 BM 1 线于点F,若BF=DN,则tan∠MNC的值为 E D M F 【答案】√2 【详解】解：过点M作MH⊥AD于H,如图所示： H E A D B F :四边形ABCD是矩形， 试卷第1页，共3页 ∠A=∠ABC=∠D=∠C=90,AD=BC,AB=CD, .∠FBM=∠AHM=∠EHM=90°=∠C=∠D, :四边形ABMH是矩形， :AB HM,AH BM, :∠BMF=∠CMN, .△BMF∽aCMN, 然0 BM=1,CM=3,BF=x,CN=3x, :AD=BC=4,DN=BF=x,AH =BM =1, :AB=CD=CN+DN=4x,DH AD-AH=3, 由折叠的性质可知：∠MEN=∠C=90°，EN=CN=3x,CM=EM=3, .∠DEN+LDNE=∠DEN+∠HEM=90°， 在RtADEN中，ED=VEN2-DN2=2V2x, ∴∠DNE=LHEM，HE=HD-ED=3-2√2x, ∴.△DNE∽aHEM, DN EN HE EM 3x ·3-22x3' 解得：=2 2 .CN= 3V2 2 tan∠Mwc=CM3 =√2 CN 32 2 10.(2026四川成都二模)己知桌面上平放着一个矩形木框ABCD,拖动顶点C,使其变 为平行四边形木框ABEF,其示意图如图所示，若矩形ABCD的面积是平行四边形ABEF的 面积的3倍，则cosE的值为 D B 试卷第1页，共3页 【答案】22 3 【详解】解：设矩形ABCD的边AB=a,AD=b,平行四边形ABEF边AB上的高为h, :矩形ABCD的面积是平行四边形ABEF的面积的3倍， ab=3ah,即b=3h, :木框边长不变 .AF AD =b 如图：过点F作FG1AB于点G,则FG=h, D 在RIA AFG中，AG=VAF2-FG2=V3n)2-2=V82=2V2h ·cos∠FAB=AG=2V2h2W2 AF 3h 3 :四边形ABEF是平行四边形， ∠E=∠FAB, cos∠E=cos∠FAB=22h-22 3h3 》》》 1.(2025山东滨州中考真题)如图，点A,B,C,D在00上，OC⊥AB,LA0C=60°， 则sin∠BDC的值为 【答案】 【详解】解：连接OB, 试卷第1页，共3页 OC⊥AB, C为AB的中点， :BC=AC, ∴.∠B0C=∠A0C=60°， 1 .∠BDC= 2 B0C=30°， :sin∠BDC=sin30=2 1 故答案为：2 1 2.(2025江苏无锡.中考真题)如图，AB与00相切于点B,连接BO,过点0作BO的垂 线0C,交o0于点C,连接AC,交线段OB于点D.若AB=3,OC=2,则tanA的值为 D A 【路幻子 【详解】解：：AB与⊙O相切于点B, OB⊥AB, .OC⊥OB, .OC∥AB, .△ODC∽△BDA, OD OC BD AB 0B=0C=2, :2-8D-2 BD3' 试卷第1页，共3页 :BD=6 6 =BD=5-2 AB 3 5 故答案为： 2 5 3.(2025江苏南通中考真题)如图，网格图中每个小正方形的面积都为1.经过网格点A的 一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则si∠MNB的值为 M A N 【答案】V6-V5 4 【详解】解：如图，在图中标注C,D, B W 设NC=x, :AD‖NB, .∠MAD=LANC, :∠MDA=∠ACN, .△ANC∽△MAD, AC=AD=1, MD-1, :△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都是1， :S.AMD+S.Nc =3-1=2, . MDAD+NCAC=2, 2 11 1 5×-x1+。x×1=2, :2x 2 试卷第1页，共3页 1 x+-=4, 解得，x=2+√5，x2=2-V5(舍去)， AN2=AC2+NC2 ·AW2=1+(2+5=8+43=(V2+V6), .AN=√2+V6, 1 √6-√2 ∴.sin∠MWB=sin∠ANC= V2+V6=4 故答案为：V6-V2 4.(2025江苏常州中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,则 sinB的值是() C A5 3 B c 【答案】C 【详解】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4, :.BC=AB2+AC2=5, sin B=AC 4 BC 5' 故选：C 5.(2025四川广元中考真题)如图，CD是00的弦，过圆心O作0A1CD于点H,交 OO于点A,OH:HA=3:2,点M是CBD上异于C,D的一点，连接CM,DM,则 sin∠CMD的值是() M 试卷第1页，共3页 C. D. 【答案】B 【详解】解：连接OD,如图， M :CD是O0的弦，OA⊥CD, .AC=AD, .∠C0A=∠DOA, 2c04=00. :∠COD和∠CMD所对的弧都为CD, ∠CMD=∠COD, ·LCMD=LC0A, 设0H=3x, OH:HA=3:2,0A=0C, 0C=5x,CH=V5x)2-3x2=4x, sin∠C0A= CH 4 0c5' '.sin∠CMD=sin∠COA= 5 故选：B. 6.(2025广东.中考真题)如图，在矩形ABCD中，E,F是BC边上的三等分点，连接 DE,AF相交于点G,连接CG.若AB=8,BC=I2,则tan∠GCF的值是() D G B E F A.10 C.3io 10 10 D. 2-3 试卷第1页，共3页 【答案】B 【详解】解：矩形ABCD,E,F是BC边上的三等分点，AB=8,BC=I2, .AD=BC=12,CD=BC=8,AD /BC,BE=EF =FC=4,EC=8, △AGD∽aFGE, :EG=F.4.1 DG AD 123' EG 1 ED4' 过点G作GH⊥BC,则GH∥CD, B ∴.△GHEn△DCE, EH GH EG 1 EC CD DE4' .EH-EC-4x8-2.GH-ICD-1x8=2. 4 4 .CH=CE-EH=8-2=6, ÷tan∠GcF=GH-21 -CH-6-3 故选：B. 7.(2025江苏南京中考真题)如图，点E,F在矩形ABCD内，Rt△ABE≌Rt△CDF,若 AB=25,AD=30,AE=15,则EF的长为 D E B 【答案】√⑧5 【详解】解：如图，延长AE,交DF于点G, 试卷第1页，共3页 0 E B 在RtABE中，BE=VAB-AE=20,sim∠ABE=4E-15-3 AB255' ·Cos∠ABE= BE20_4 AB255 :四边形ABCD是矩形， LBAD=LADC=90°， .∠BAE+∠DAE=90°，∠CDF+∠ADF=90°， :Rt△ABE≌Rt△CDF, LABE=∠CDF,∠ABE+∠BAE=90°，DF=BE=20, .∠ABE=∠DAE, ∠CDF=LD1E,sn∠D1E=sin∠ABE-},cos∠D1E=-cos∠ABE=号 .∠DAE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°， ∠AGD=90°， ·DG=Sin∠DAEAD=3, 30=18,4G=c0s∠DAEAD-5×30=24,∠EGF .FG=DF-DG=20-18=2,EG=AG-AE=24-15=9, EF=FG2+EG2=85. 8.(2025山东德州中考真题)如图，ABC中，∠ABC=30°，AB=3,BC=22,分别 以AB,BC为直角边，以B为直角顶点向ABC外作Rt△ABD和Rt△CBE,且∠DAB=∠E ,M,N分别是AD,CE的中点，连接MN.若AD=3V5,则MW的长度为 D B E 【路】分 【详解】连接BM,BN,过M作MH⊥BN交NB的延长线于H, 试卷第1页，共3页 D M 根据题意，BD=√AD2-AB2=3√2， ∠ABD=∠EBC=90°，∠DAB=∠E, △ABD∽△EBC, 228提 2=EC,解得EC=2V5, :Rt△ABD和Rt△CBE,M,N分别是AD,CE的中点， Bw-号40=4w-35aN-36C=EN=5, 2 ∴.∠MAB=∠ABM,∠NBE=∠E, ,∠DAB=∠E, :∠ABM=∠NBE, :∠EBC=∠EBN+∠NBC=90° :∠ABM+∠NBC=90°， 又：∠ABC=30°， .∠MBN=∠NBC+∠ABC+∠ABM=I20°， ∠MBH=180°-120°=60°， 3V3 ∴.BH=BM cos60°= 4 MH=BM sin60°= NH-BH+BN=7 4 9 2 ∴.MN=VMH2+NH 57 4+ 4 故答案为： V57 2 9.(2025山东淄博·中考真题)已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,P是边CD的中点，E 是边AD上的动点，线段EF分别与BC,AP相交于点F,Q.若∠FQP=45°，则EF的长 为 试卷第1页，共3页 D 45 【答案】2√5 【详解】解：过点A作AG∥EF交BC于点G,过点A作AK⊥AP交CB的延长线于点K, 过点G作GH⊥AK于点H, D 45 K B 则LKAP=LKHG=90°，∠GAP=∠PQF=45°， :ABCD是矩形， .AD∥BC,∠ABG=∠BAD=LADP=90°，CD=AB=4,AD=BC=6, .AGFE为平行四边形， .EF =AG, :点P是CD的中点， DP=2 ∠KAP=∠BAD=90°， .∠KAB=∠PAD, .∠AKB=∠APD, :an∠4KB=an∠APD,即4-GH-4D-3, BK HK DP k=手K= 3 4K-B+BK=410 3 又∠KAP=90°，∠GAP=45°， .∠HAG=45°， .AH=HG, :AK=AH+HK-4HG-40 3 3 :AH=HG=10, 试卷第1页，共3页 :EF=AG=AH2+HG2=25 故答案为：25. 10.(2025·江苏盐城·中考真题)一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC,D在 AB上，AD=O.6m,D、E、F三点共线，DF=3DE=3AE.当太阳光线与DF垂直时， 它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH=m· F 602 HO 图(1) 图(2) 【答案】5 【详解】解：由题意，作EM⊥AD于M,GN⊥FH于N, D ∠MED+∠MDE=90°. 60、 B G HC :∠EDG=90°， ∠MDE+∠BDG=90°. ·LMED=∠BDG. :DG∥FH, :∠DGB=∠FHG=60°. :∠MED=∠BDG=90°-∠DGB=30°. DF =3DE =3AE. :AE DE, DM-号4D=03m. :DE =2DM =0.6m. :DF =3DE =1.8m. ∠FDG=∠F=∠GNF=90°， 试卷第1页，共3页 :四边形DGNF是矩形. GN DF =1.8m. 在Rt△GNH中， :∠GHN=60°， ..GH= GN=1.8_65m sin60°√55 2 故答案为：合6。 试卷第1页，共3页三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺15:锐角三角函数专项 中考全国考情分析 1、 必考性与分值稳定 锐角三角函数是全国中考数学基础核心必考内容，覆盖选择、填空、解答全题型，分值6—10 分，以中档题为主，少量简单计算题。核心失分点集中在特殊角三角函数值记忆错误、解直角三角形不构造直角、实际问题模型建立错误、坡度与坡角关系混淆、计算过程不规范。 2、 考点聚焦 围绕特殊角三角函数值计算→同角三角函数关系→解直角三角形→仰角 / 俯角 / 坡度 / 方位角实际应用→三角函数与几何图形综合→三角函数与函数 / 圆综合六大核心环节，其中特殊角计算、解直角三角形、实际应用为高频必考考点。 3、 最新命题趋势（2024—2026） 命题全面情境化，贴合建筑测量、航海导航、山体坡度、河道宽度等真实场景；从单一计算向“建模 + 计算 + 推理”转变，强调几何直观与运算能力结合；强化跨模块综合，常与三角形、四边形、圆、一次函数结合考查；新增多图形组合、参数计算、结论判断类题型，突出知识融合。 4、 地域差异 一线城市（北京、上海、广州、深圳）侧重三角函数与几何 / 函数综合、复杂实际应用；三四线城市侧重特殊角计算、基础解直角三角形、简单实际应用，全国均遵循 “重基础、重模型、重规范” 命题原则。 核心题型及具体解决方法 题型一、特殊角三角函数值计算 具体解决方法： 牢记30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，不混淆； 计算遵循先代值、再乘除、后加减，有括号先算括号内； 含二次根式时按规则化简，结果化为最简二次根式； 注意符号与分母有理化，保证计算准确。 （2026·吉林·一模）计算：______．例题 题型二、同角三角函数关系应用 具体解决方法： 掌握核心公式：sin²α + cos²α = 1，tanα = sinα/cosα； 已知一个锐角的一种三角函数值，利用公式求另外两种； 锐角三角函数值均为正数，计算结果舍去负根； 结合直角三角形边角关系验证结果合理性。 （2026·上海黄浦·一模）已知是锐角，且，那么的值为________．例题 题型三、基础解直角三角形 具体解决方法： 明确对象：在直角三角形中求解，非直角三角形先构造直角； 确定已知条件：已知2 个元素（至少 1 条边）方可求解； 选合适公式：对边比斜边用正弦，邻边比斜边用余弦，对边比邻边用正切； 用勾股定理验证边长，用两锐角互余验证角度。 （2026·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，点在边上，且，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，交于点，连接．若则的长为__________．（结果保留根号）例题 题型四、解直角三角形实际应用（仰角、俯角、坡度、坡角） 具体解决方法： 根据题意画出几何示意图，标注已知角度、边长； 构造直角三角形，将实际量转化为三角形边角； 坡度公式：i = h/l = tanα（α 为坡角，h 为铅直高度，l 为水平宽度）； 设未知数，列三角函数方程求解，结果符合实际意义。 （2026·山西大同·模拟预测）数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测倾器在处测得点的仰角，然后在距离处米的处测得点的仰角，已知测倾器的高度为米，在一条直线上，则车辆限高杆的高度为_____米．（结果保留根号）例题 题型五、解直角三角形实际应用（方位角） 具体解决方法： 确定观测点，画出东西南北十字线，标注方位角； 利用平行线性质、等腰三角形性质转化角度； 构造双直角三角形，通过公共边建立等量关系； 分步计算边长，最终求目标距离或高度。 （2026·内蒙古通辽·一模）如图，监测点P到道路的距离为，道路上的货车A在监测点P的北偏西方向，道路上的汽车B在监测点P的东北方向，此时货车A和汽车B相距_________（结果保留根号）．例题 题型六、锐角三角函数与几何图形综合 具体解决方法： 在三角形、四边形、圆中寻找或构造直角三角形； 利用圆周角定理、相似 / 全等三角形、角平分线转化角度； 用三角函数表示线段长度，建立线段间数量关系； 结合几何性质完成证明、计算、最值判断。 （2026·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿翻折，得到交于点，交于点，交于点，且．例题 （1）若，则___________． （2）若，则四边形与的面积比为___________（用含的代数式表示）． 题型七、锐角三角函数与函数综合 具体解决方法： 结合平面直角坐标系，用横、纵坐标表示直角边； 利用三角函数求点坐标、线段长度、函数参数； 联立三角函数与函数解析式，求解交点、参数范围； 数形结合验证结果，符合函数与几何双重约束。 （2026·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），OA绕点O逆时针旋转60°得到OB，连接AB，双曲线y＝（x＞0）分别与AB，OB交于点C，D（C，D不与点B重合）．若CD⊥OB，则k的值为______________．例题 经典模拟题 1．（2026·河南周口·模拟预测）如图，线段，相交于点，其顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东淄博·二模）在中，，若 ，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南·一模）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 4．（2026·云南红河·一模）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东济宁·一模）如图，是的外接圆，是的直径，若的直径为5，，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，小明将两根长度相等的细木条的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径．已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广东汕尾·一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 8．（2026·安徽池州·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C都在格点上，过A、B、C三点的圆与网格线交于点D，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．若，则的值为______． 10．（2026·四川成都·二模）已知桌面上平放着一个矩形木框，拖动顶点C，使其变为平行四边形木框，其示意图如图所示，若矩形的面积是平行四边形的面积的3倍，则的值为______． 真题再现 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 3．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 4．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． 8．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为_______． 9．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 10．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $