2026年中考数学三轮冲刺12：函数选填压轴题（全国通用）

**基本信息** 聚焦中考函数选填压轴题（单题3-6分），覆盖一次、反比例、二次函数及综合题型，适配三轮冲刺专项突破，直击图像信息提取、参数范围等核心失分点，强化数形结合与分类讨论能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |一次函数|3题型/示例题3道|图像性质、几何结合、参数范围|结合k/b符号与平移规律，强调临界边界点分析，体现几何直观| |反比例函数|3题型/示例题3道|k几何意义、交点综合、几何图形综合|突出面积与k值关系，运用相似转化线段比例，培养推理能力| |二次函数|4题型/示例题4道|系数关系、最值、图像变换、几何综合|注重a/b/c符号判断，分类讨论顶点与自变量范围，强化模型意识| |多函数综合|1题型/示例题1道|一次/反比例/二次函数性质综合|联立解析式求交点，结合图像判断参数范围，提升综合思维| |新定义/创新|1题型/示例题1道|对换函数等新定义|转化陌生定义为函数性质，培养创新意识与数学表达能力|

三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺12:函数选填压轴题专项 中考全国考情分析 1、 必考性与分值稳定 函数选填压轴是全国中考数学选择最后 1—2 题、填空最后1题的核心考点，单题分值 3—6 分，属于拉分关键题，整体难度中偏难，平均失分率超 60%。核心失分点集中在图像信息提取错误、参数范围漏解 / 错解、动点最值无思路、函数性质混淆、分类讨论不全面。 2、 考点聚焦 围绕一次函数性质与几何结合→反比例函数 k 的几何意义与交点→二次函数系数关系、最值、图像变换→多函数综合→函数与几何动点 / 面积 / 存在性结合五大核心模块，其中二次函数综合为最高频压轴考点，反比例函数 k 的几何意义、一次函数参数范围为中档压轴常考点。 3、 最新命题趋势（2024—2026） 从单一函数性质考查向函数 + 几何动态综合转变，动点、折叠、旋转、平移与函数结合题型占比大幅提升；强化图像信息素养，读图、析图、用图类题目成为主流；创新设问形式，双空填空、多项选择、新定义函数、参数取值范围、存在性判断题型逐年增多；突出数形结合，纯代数计算减少，几何直观与函数结合成为命题核心。 4、 地域差异 一线城市（北京、上海、广州、深圳）侧重二次函数 + 几何动点 / 新定义综合压轴；三四线城市侧重反比例函数、一次函数综合及基础性质类压轴，全国均遵循 “重图像、重方法、重分类讨论” 的命题原则。 核心题型及具体解决方法 一次函数选填压轴 题型一、一次函数图像与性质综合 具体解决方法： 由k 的符号确定函数增减性与图像倾斜方向，由b 的符号确定与 y 轴交点位置； 掌握平移规律：左加右减（自变量），上加下减（常数项）； 联立解析式求函数交点坐标，结合坐标计算线段长度、图形面积。 （2026·陕西咸阳·一模）已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ）例题 A．0 B． C． D．2 题型二、一次函数与几何图形结合 具体解决方法： 数形结合，锁定图形关键点坐标，将几何条件（平行、垂直、线段相等、角度）转化为 k、b 的数量关系；两直线平行则k 值相等，两直线垂直则k 值乘积为 - 1； 分类讨论图形位置关系，避免漏解。 （2026·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点上，顶点在轴正半轴上，直线的解析式为，则该菱形的周长为_____．例题 题型三、一次函数参数取值范围问题 具体解决方法： 画出函数图像，找到临界边界点； 联立方程求解临界参数值，结合图像走势确定取值范围； 验证端点值是否可取，排除无意义情况。 （2026·福建漳州·一模）已知是抛物线上不同的三个点．若对于，都有，则的取值范围是（   ）例题 A． B． C． D． 二、反比例函数选填压轴 题型一、反比例函数 k 的几何意义 具体解决方法： 牢记核心结论：过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，围成的矩形面积为 |k|，三角形面积为； 结合图形面积反求 k 值，注意根据图像所在象限确定 k 的符号； 利用 k 的几何意义快速求解坐标、面积、线段比值。 （2026·福建莆田·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ）例题 A．1 B． C． D． 题型二、反比例函数与一次函数交点综合 具体解决方法： 联立两类函数解析式，求解交点坐标； 结合函数图像分布、对称性，判断参数符号与取值； 利用交点坐标计算图形面积、线段长度。 （2026·江苏徐州·一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，则下列结论：①k的值可以为；②；③若点，则的解集是或；④．其中结论正确的是（    ）例题 A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 题型三、反比例函数与几何图形综合 具体解决方法： 过双曲线上动点作坐标轴垂线，构造直角三角形； 利用相似三角形、全等三角形转化线段比例关系； 数形结合确定动点坐标、图形面积最值。 （2026·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数的图像经过点，将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图像上时，平移的距离为（    ）例题 A． B． C． D． 三、二次函数选填压轴 题型一、二次函数图像与系数 a、b、c 的关系 具体解决方法： 开口方向定a的符号，对称轴位置结合 a 定b的符号（左同右异），与 y 轴交点定c的符号； 判别式 Δ 判断与 x 轴交点个数；代入特殊点（x=1、x=-1、x=2、x=-2）判断代数式符号； 结合对称轴、顶点、交点综合分析系数关系。 （2026·安徽宣城·二模）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，则下列结论错误的是（   ）例题 A． B． C．方程有两个不相等的实数根 D． 题型二、二次函数最值与自变量范围问题 具体解决方法： 先确定对称轴，判断顶点是否在自变量取值范围内； 顶点在范围内，开口向上取顶点最小值，开口向下取顶点最大值； 顶点不在范围内，最值在自变量端点处取得，分类讨论开口方向。 （2026·安徽阜阳·二模）如图，已知抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴的交点坐标是且．则下列结论错误的是（   ）例题 A． B． C． D．关于的方程可能无实数根 题型三、二次函数图像变换（平移、旋转、对称） 具体解决方法： 先将解析式化为顶点式，以顶点为核心进行变换； 平移：顶点按 “左加右减、上加下减” 变化； 旋转 / 对称：确定新顶点坐标与开口方向，直接写新解析式。 （2026·广西·一模）将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，平移后所得图象的解析式是（    ）例题 A． B． C． D． 题型四、二次函数与几何综合（动点、面积、存在性） 具体解决方法： 设动点坐标，用函数式表示横、纵坐标； 用割补法计算图形面积，列函数式求最值； 结合等腰三角形、直角三角形、平行四边形判定条件列方程； 数形结合检验解的合理性，排除无效解。 （2026·北京大兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线上，四边形是矩形，连接，设A的横坐标为m，给出下面三个结论：例题 ①当矩形为正方形时，； ②抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于； ③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 四、多函数综合选填压轴 具体解决方法： 分别分析一次、反比例、二次函数的基本性质； 联立解析式求解公共交点，确定关键坐标；结合图像位置关系，判断参数符号、取值范围； 抓住临界状态，分类讨论所有可能情况。 （2026·江苏无锡·一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论：例题 ①一次函数是“2型闭函数”； ②若一次函数是“1型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则； ④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是． 其中正确的是（   ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 五、函数新定义 / 创新题型 具体解决方法： 准确理解新定义规则，将陌生定义转化为已学函数性质； 根据定义列出函数关系式或等量关系； 结合函数图像与性质求解，严格遵循定义约束条件。 （2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论：例题 ①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 经典模拟题 1．（2026·山东聊城·二模）如图所示，在平面直角坐标系中放置一块含角的直角三角板，其中点的坐标为，点在函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 2．（2026·江苏泰州·一模）一次函数（k、b为常数，k≠0）的图象与二次函数（a为常数，）的图象有两个交点．设两个交点的横坐标分别为、，下列结论不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，的取值范围是或，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2026·四川成都·二模）已知二次函数的图像及其对称轴如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏南京·一模）函数，的图象如图所示，下列关于函数的结论：①该函数的图象关于原点成中心对称；②该函数图象与轴没有交点；③当时，随的增大而增大；④当时，．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2026·安徽安庆·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与直线交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是(       ) A． B． C． D． 7．（2026·河南周口·模拟预测）如图，中，点为边上一动点，连接，点沿路径行进，设线段的长为，线段的长为，关于的函数图象如图所示，则图象最低点的纵坐标为（） A． B． C． D． 8．（2026·河南南阳·一模）如图（1），在矩形中，点P以每秒个单位长度的速度从点B沿着折线运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B沿着折线运动，当点P到达点D时，点Q随之停止运动，连接．的面积y与点P的运动时间x（秒）之间的函数关系图象如图（2）所示，则m的值为（   ） A．5 B． C．6 D．7 9．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕着点旋转得到抛物线．已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，则的取值范围是______． 10．（2026·江苏南通·一模）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，过原点的直线交双曲线于，两点，交AB于点，顺次连接A，D，B，C，若的面积是的面积的3倍，则的值为_____，点的横坐标为_____． 真题再现 1．（2025·四川雅安·中考真题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 6．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 10．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是_____（填写序号） 1 学科网（北京）股份有限公司 $三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺12:函数选填压轴题专项 中考全国考情分析 1、 必考性与分值稳定 函数选填压轴是全国中考数学选择最后 1—2 题、填空最后1题的核心考点，单题分值 3—6 分，属于拉分关键题，整体难度中偏难，平均失分率超 60%。核心失分点集中在图像信息提取错误、参数范围漏解 / 错解、动点最值无思路、函数性质混淆、分类讨论不全面。 2、 考点聚焦 围绕一次函数性质与几何结合→反比例函数 k 的几何意义与交点→二次函数系数关系、最值、图像变换→多函数综合→函数与几何动点 / 面积 / 存在性结合五大核心模块，其中二次函数综合为最高频压轴考点，反比例函数 k 的几何意义、一次函数参数范围为中档压轴常考点。 3、 最新命题趋势（2024—2026） 从单一函数性质考查向函数 + 几何动态综合转变，动点、折叠、旋转、平移与函数结合题型占比大幅提升；强化图像信息素养，读图、析图、用图类题目成为主流；创新设问形式，双空填空、多项选择、新定义函数、参数取值范围、存在性判断题型逐年增多；突出数形结合，纯代数计算减少，几何直观与函数结合成为命题核心。 4、 地域差异 一线城市（北京、上海、广州、深圳）侧重二次函数 + 几何动点 / 新定义综合压轴；三四线城市侧重反比例函数、一次函数综合及基础性质类压轴，全国均遵循 “重图像、重方法、重分类讨论” 的命题原则。 核心题型及具体解决方法 一次函数选填压轴 题型一、一次函数图像与性质综合 具体解决方法： 由k 的符号确定函数增减性与图像倾斜方向，由b 的符号确定与 y 轴交点位置； 掌握平移规律：左加右减（自变量），上加下减（常数项）； 联立解析式求函数交点坐标，结合坐标计算线段长度、图形面积。 （2026·陕西咸阳·一模）已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ）例题 A．0 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵点纵坐标为，点纵坐标为， ∴， 又∵ ，可知增大时减小， ∴ 直线中，随的增大而减小， 根据一次函数的性质，一次项系数小于0时，随增大而减小， ∴ ， 解得 ， ∵ 选项中只有符合条件． 题型二、一次函数与几何图形结合 具体解决方法： 数形结合，锁定图形关键点坐标，将几何条件（平行、垂直、线段相等、角度）转化为 k、b 的数量关系；两直线平行则k 值相等，两直线垂直则k 值乘积为 - 1； 分类讨论图形位置关系，避免漏解。 （2026·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点上，顶点在轴正半轴上，直线的解析式为，则该菱形的周长为_____．例题 【答案】20 【详解】解：令得，解得， 故， 故， 故该菱形的周长为； 题型三、一次函数参数取值范围问题 具体解决方法： 画出函数图像，找到临界边界点； 联立方程求解临界参数值，结合图像走势确定取值范围； 验证端点值是否可取，排除无意义情况。 （2026·福建漳州·一模）已知是抛物线上不同的三个点．若对于，都有，则的取值范围是（   ）例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于，对称轴为直线， ∵，如图： ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ∵，如图： ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 综上：． 二、反比例函数选填压轴 题型一、反比例函数 k 的几何意义 具体解决方法： 牢记核心结论：过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，围成的矩形面积为 |k|，三角形面积为； 结合图形面积反求 k 值，注意根据图像所在象限确定 k 的符号； 利用 k 的几何意义快速求解坐标、面积、线段比值。 （2026·福建莆田·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ）例题 A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行 轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 题型二、反比例函数与一次函数交点综合 具体解决方法： 联立两类函数解析式，求解交点坐标； 结合函数图像分布、对称性，判断参数符号与取值； 利用交点坐标计算图形面积、线段长度。 （2026·江苏徐州·一模）已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，则下列结论：①k的值可以为；②；③若点，则的解集是或；④．其中结论正确的是（    ）例题 A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：结论①：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，，反比例函数图象在第一、三象限， ∴正比例函数的图象经过第一、三象限， ，故不可能为．①错误； 结论②：∵正比例函数与反比例函数图象的交点，关于原点对称，．②正确； 结论③：，点与点关于原点中心对称， 点， 当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方， 此时，或．③正确； 结论④：，两点关于原点对称， ，， 把代入反比例函数解析式得：，．④正确． 题型三、反比例函数与几何图形综合 具体解决方法： 过双曲线上动点作坐标轴垂线，构造直角三角形； 利用相似三角形、全等三角形转化线段比例关系； 数形结合确定动点坐标、图形面积最值。 （2026·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数的图像经过点，将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图像上时，平移的距离为（    ）例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】反比例函数过点，代入得， ∴反比例函数为． ∵矩形对角线互相平分， ∴E是的中点，，的坐标分别为，． ∴点E的横坐标为：，纵坐标为：． 矩形向左平移时，点的纵坐标不变，仍为． 将代入反比例函数， ∴平移后的横坐标． 平移距离． 三、二次函数选填压轴 题型一、二次函数图像与系数 a、b、c 的关系 具体解决方法： 开口方向定a的符号，对称轴位置结合 a 定b的符号（左同右异），与 y 轴交点定c的符号； 判别式 Δ 判断与 x 轴交点个数；代入特殊点（x=1、x=-1、x=2、x=-2）判断代数式符号； 结合对称轴、顶点、交点综合分析系数关系。 （2026·安徽宣城·二模）如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，则下列结论错误的是（   ）例题 A． B． C．方程有两个不相等的实数根 D． 【答案】D 【详解】解：A.由抛物线的对称轴为直线，得，选项正确； B.由抛物线的开口向下，与轴相交于正半轴，得，，又，故，选项正确； C.方程从函数角度可以看作是抛物线与直线的交点的个数，从图象可以知道，抛物线的顶点为，则抛物线与直线有两个交点，选项正确； D.由抛物线的顶点为，设抛物线的表达式为，由图象知：当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上，的取值范围为，选项错误． 题型二、二次函数最值与自变量范围问题 具体解决方法： 先确定对称轴，判断顶点是否在自变量取值范围内； 顶点在范围内，开口向上取顶点最小值，开口向下取顶点最大值； 顶点不在范围内，最值在自变量端点处取得，分类讨论开口方向。 （2026·安徽阜阳·二模）如图，已知抛物线（，，为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴的交点坐标是且．则下列结论错误的是（   ）例题 A． B． C． D．关于的方程可能无实数根 【答案】D 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， 即， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， ∴当时，， 即，故B选项正确，不符合题意； ∵与轴的交点坐标是， ∴， ∵，抛物线与轴的一个交点坐标是， ∴，即， ∴， ∴原函数解析式为， 当时，函数取得最小值，为， ∵， ∴，即，故C选项正确，不符合题意； 对于方程， ， 即关于的方程有实数根，故D选项错误，符合题意． 题型三、二次函数图像变换（平移、旋转、对称） 具体解决方法： 先将解析式化为顶点式，以顶点为核心进行变换； 平移：顶点按 “左加右减、上加下减” 变化； 旋转 / 对称：确定新顶点坐标与开口方向，直接写新解析式。 （2026·广西·一模）将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，平移后所得图象的解析式是（    ）例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵原二次函数解析式为 ， 将图象先向上平移3个单位长度，根据“上加”的规律，得 ， 再将得到的图象向右平移2个单位长度，根据“右减”的规律对自变量x变换，得 ， ∴平移后所得图象的解析式为 ． 题型四、二次函数与几何综合（动点、面积、存在性） 具体解决方法： 设动点坐标，用函数式表示横、纵坐标； 用割补法计算图形面积，列函数式求最值； 结合等腰三角形、直角三角形、平行四边形判定条件列方程； 数形结合检验解的合理性，排除无效解。 （2026·北京大兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线上，四边形是矩形，连接，设A的横坐标为m，给出下面三个结论：例题 ①当矩形为正方形时，； ②抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于； ③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：由题意，， ∵轴， ∴关于轴对称， ∴， ∴， 当时，即时，矩形为正方形， 解得（舍去）或；故①正确； 连接，则， 观察可知O，B两点之间的部分与线段围成的图形在的内部， 故抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于；故②正确； 连接，由对称性可知两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积相等，，， ∵等于两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积以及的面积之和，等于两点之间的部分与线段组成的图形面积与的面积之和， ∴． 四、多函数综合选填压轴 具体解决方法： 分别分析一次、反比例、二次函数的基本性质； 联立解析式求解公共交点，确定关键坐标；结合图像位置关系，判断参数符号、取值范围； 抓住临界状态，分类讨论所有可能情况。 （2026·江苏无锡·一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论：例题 ①一次函数是“2型闭函数”； ②若一次函数是“1型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则； ④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是． 其中正确的是（   ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：①对于一次函数 ，随增大而增大 时，；时，，即，， 又，满足 ①正确； ②对于一次函数，是“1型闭函数”，则 当时，随增大而增大，，得 当时，随增大而减小，，得 故或 ②错误； ③对于反比例函数 ，随增大而减小， ， ∴ 函数是“k型闭函数”， ，约去得 ， ③正确； ④二次函数，开口向下，对称轴为，，由定义得，即 当时，函数在上，随着的增大而减小， ∴， 解得 当时，最大值在取得，最小值在取得， ∴， ∵，， ∴在上的值随着的增大而减小， ∴ ∴； 当时，最大值在取得，最小值在取得， ∴， ∵， ∴在上，的值随着的增大而增大， ∴ ∴； 当时，函数在上，随着的增大而增大， ∴， 解得 综上，， ④正确． 综上，正确结论为①③④． 五、函数新定义 / 创新题型 具体解决方法： 准确理解新定义规则，将陌生定义转化为已学函数性质； 根据定义列出函数关系式或等量关系； 结合函数图像与性质求解，严格遵循定义约束条件。 （2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论：例题 ①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【详解】解：根据定义，若函数为对换函数，则存在不重合的两点，都在函数图象上， ①对于反比例函数： 在函数上， ∴ 将代入函数，右边左边，满足等式 且若重合，则，得，无实数解，因此所有点对都不重合，存在对换点，故①正确； ②对于一次函数： 在函数上， 将代入函数，得右边左边，等式恒成立， 仅当，即得时，两点重合，其余无数个点对都不重合，因此有无数对对换点，故②正确； ③对于一次函数： ，都在函数上， ∴ 将第一个式子代入第二个式子整理得： 若，则，，得，此时，两点重合，不符合要求； 若，等式对任意成立，，且仅当，即，即时两点重合，其余点对都不重合， 故存在无数对不重合的对换点，符合要求，因此，故③正确； 综上，①②③都正确． 经典模拟题 1．（2026·山东聊城·二模）如图所示，在平面直角坐标系中放置一块含角的直角三角板，其中点的坐标为，点在函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在函数的图象上， ∴． 2．（2026·江苏泰州·一模）一次函数（k、b为常数，k≠0）的图象与二次函数（a为常数，）的图象有两个交点．设两个交点的横坐标分别为、，下列结论不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】解：联立两个函数解析式得， ∴， ∴ ∴， ∴， A、当，时，，则，原结论正确，不符合题意； B、当，时，，则，原结论正确，不符合题意； C、当，时，，则，原结论正确，不符合题意； D、当，时，例如取，则此时，原结论错误，符合题意； 3．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，的取值范围是或，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：把点代入二次函数得：， ∵时，的取值范围是或， ∴抛物线的开口向上，即，当时，即方程有两个不相等的实数根，这两个根分别为，， 令， 根据一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴方程可为，， ∵，且， ∴， ∴， ∴m的值可能是5． 4．（2026·四川成都·二模）已知二次函数的图像及其对称轴如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 抛物线开口向下， ∴， ∵ 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， ∴， ∴，故 A 错误； ∵ 抛物线与 x 轴有两个交点， ∴，故 C 错误； 由图像可知，对称轴在直线 的左侧， ，即 ， ∵, ∴， ∴，故选项B正确； 由图像可知，当 时，图像在 x 轴上方， ∴，故 D 错误． 5．（2026·江苏南京·一模）函数，的图象如图所示，下列关于函数的结论：①该函数的图象关于原点成中心对称；②该函数图象与轴没有交点；③当时，随的增大而增大；④当时，．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①由于反比例函数和一次函数的图象均关于原点中心对称，则关于原点中心对称，故①正确； ②令，即，则，解得，则函数图象与轴有交点，故②错误； ③当时，随的增大而增大，随的增大而减小，则随的增大而增大，故③正确； ④由②可知，当时，，故，则④正确． 6．（2026·安徽安庆·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与直线交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是(       ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴ ∵直线过点， ∴，解得，即． ∴ ∵当时，，， ∴当时，，即过点． 又∵与x轴只有一个交点， ∴该交点为，其对称轴为直线． 由对称轴公式得：，，，． 7．（2026·河南周口·模拟预测）如图，中，点为边上一动点，连接，点沿路径行进，设线段的长为，线段的长为，关于的函数图象如图所示，则图象最低点的纵坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察图可得，当时，，此时点运动到了点，所以，，作于， ∵函数图象上的最低点横坐标为， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴的值为． 8．（2026·河南南阳·一模）如图（1），在矩形中，点P以每秒个单位长度的速度从点B沿着折线运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B沿着折线运动，当点P到达点D时，点Q随之停止运动，连接．的面积y与点P的运动时间x（秒）之间的函数关系图象如图（2）所示，则m的值为（   ） A．5 B． C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：设，，则， 根据题意可得：当点Q运动到点C时，的面积最大， 即， ∴， 根据图象可得：当点P到达点D时，所用时间为秒， ∴， 即， ∴， 解得，（舍去）， ， ． 9．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕着点旋转得到抛物线．已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，则的取值范围是______． 【答案】或 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点为， ∵抛物线绕着点旋转得到抛物线， ∴抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点对称， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为：， ∵和是抛物线上的两点，若对于，，都有， ∴当时，， 解得：， ∵， ∴解得：或； 解得：， 综上：或. 10．（2026·江苏南通·一模）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，过原点的直线交双曲线于，两点，交AB于点，顺次连接A，D，B，C，若的面积是的面积的3倍，则的值为_____，点的横坐标为_____． 【答案】 4 【详解】解：分别过、作、，垂足分别为、，则， ∴， ∵的面积是的面积的3倍， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵过原点的直线交双曲线于，两点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的横坐标为4. 真题再现 1．（2025·四川雅安·中考真题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：设，． 令，得，即，解得或． 当或时，， ∴； 时，随着的增大而增大，当时，， ∴； ，随着的增大而减小，当时，， ∴． ∴当或时，的最大值为． 当时，， ∴； 上，随着的增大而增大， ∴当时，， ∴， 综上所述，的最大值为． 故选：C． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 5．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 8．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【答案】12 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为，，， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 【答案】 【详解】解：当时，，解得， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴，∴点A坐标为， ∴，解得， 故答案为： 10．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是_____（填写序号） 【答案】①②④⑤ 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵，∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵，∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 1 学科网（北京）股份有限公司 $