2026年中考数学三轮冲刺13：利用函数解决实际问题（全国通用）

**基本信息** 聚焦函数实际应用，构建“考情-题型-方法”三维体系，以建模流程为主线，覆盖一次、反比例、二次函数及综合应用，强化数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数应用|含分段计费等题型|四步建模法（定变量-列解析式-确范围-用性质）|从基础建模到分段函数，衔接行程/方案问题| |反比例函数应用|工程/物理情境题|定值识别法（找乘积关系-求k值-验实际意义）|基于反比例定义解决乘积类实际问题| |二次函数应用|利润/面积/抛物线型|三类模型（利润公式转化/几何面积表达/坐标建系）|从代数最值到几何建模，突出顶点与实际范围| |函数与不等式方案优选|租车/采购决策题|整数解筛选法（建函数-列不等式-算最优值）|多函数综合应用，强化模型意识与决策能力|

三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺13:利用函数解决实际问题专项 中考全国考情分析 1、 必考性与分值稳定 利用函数解决实际问题是全国中考代数核心必考解答题，99% 以上地区固定在第 19—22 题，分值 8—10 分，属于中档必得分题，平均失分率约 35%。核心失分点集中在函数模型建立错误、自变量取值范围遗漏、最值判断不符合实际、计算过程不规范、方案选择逻辑混乱。 2、 考点聚焦 围绕一次函数实际应用（行程、计费、方案、销售）→反比例函数实际应用（工程、物理、面积、效率）→二次函数实际应用（利润最值、图形面积、抛物线型实物）→函数与不等式结合方案优选→分段函数综合应用五大核心模块，其中二次函数利润 / 面积问题、一次函数方案决策为最高频考点，反比例函数侧重基础应用考查。 3、 最新命题趋势（2024—2026） 命题全面情境化，贴合真实生活场景（电商销售、民生计费、体育竞技、环保工程、农业生产）；从单一函数建模向分段函数、多函数综合转变，文字、表格、图像多形式呈现条件；强化数学建模素养，侧重考查 “从实际问题抽象函数关系” 的能力；新增最优方案选择、最值限制、整数解筛选等设问，突出实际意义约束。 4、 地域差异 一线城市（北京、上海、广州、深圳）侧重分段函数 + 多函数综合 + 方案决策复杂题型；三四线城市侧重单一一次 / 二次函数基础建模 + 计算，全国均遵循 “重建模、重实际、重步骤” 的命题原则。 核心题型及具体解决方法 一、一次函数实际应用类 题型一、基础一次函数建模应用 具体解决方法： 审题提取关键量，确定自变量 x（时间、数量、单价等）与因变量 y（总价、路程、费用等）； 找等量关系，列出y=kx+b（k≠0）解析式； 结合实际意义确定自变量 x 的取值范围（非负、整数、区间限制）； 利用函数增减性求解最值、取值或比较方案优劣。 （2026·湖南娄底·二模）当前，我国正迈入人工智能时代，以机器人科技为引领的智能产业蓬勃兴起，成为现代科技创新的重要标志．某大型物流中心为了提高工作效率，欲购买两种型号的智能机器人，对货物进行分拣、搬运．具体相关信息如下：例题    A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用（单位：万元）    2 5 3 4 (1)求A，B两种型号智能机器人的单价． (2)现该物流中心准备用不超过万元购买A，B两种型号智能机器人共台，则该物流中心选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元 (2)选择购买A型智能机器人6台、B型智能机器人4台，能使每天分拣快递的件数最多 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． 依题意得 解得 答：A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． （2）解：设购买A型智能机器人台，则购买B型智能机器人台． 依题意，得， ． 每天分拣快递的件数， ∵， ∴由一次函数的性质知，当时，每天分拣快递的件数最多，为（万件）． 则（台）， ∴选择购买A型智能机器人6台、B型智能机器人4台，能使每天分拣快递的件数最多． 题型二、分段一次函数应用（计费、行程） 具体解决方法： 按实际情境划分不同区间，确定各区间自变量范围； 分区间列出对应一次函数解析式，标注定义域； 结合图像交点、区间边界值，分段计算或比较结果； 统一作答，明确不同区间的函数关系与实际结论。 （2026·天津西青·一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示．例题 (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【详解】（1）解：∵快车到达乙地后停留小时， ∴， 由函数图象可知，甲乙两地相距， ∵快车个小时从甲地到达乙地， ∴快车的速度为 ， ∵快车沿原路以原速返回甲地， ∴出发 快车返回甲地； （2）解：当时，； 当时，； 当时， ； 综上，； （3）解：由题意可得， 当时，可知快车从乙地返回甲地与慢车相遇， ∴ ， 解得， ∴当时，的取值范围为． 二、反比例函数实际应用类 具体解决方法： 识别乘积为定值的实际关系（工作量 = 效率 × 时间、压力 = 压强 × 受力面积、矩形面积 = 长 × 宽）；设函数解析式为y=k/x（k≠0），代入已知条件求 k 值； 确定自变量取值范围（实际问题中 x、y 均为正实数）； 代入数值求解未知量，结合实际意义检验结果合理性。 （2026·湖北宜昌·一模）某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警．例题 温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和． (1)求，的值，并写出关于的函数解析式； (2)求关于的函数解析式； (3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴． （2）解：由题意得：可变电阻电压， ∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴， 将，，代入化简得： ． （3）解：∵中，， ∴随的增大而增大，即当取最大值3时，有最大值， ∴最大为， ∵，符合的取值范围， ∴该装置可监测的最高环境温度为． 三、二次函数实际应用类 题型一、销售利润最值问题 具体解决方法： 梳理单价、销量、成本的关系，列等量关系：总利润 = 单件利润 × 销售量； 设自变量（定价 / 销量），推导二次函数解析式y=ax²+bx+c（a≠0）； 将解析式化为顶点式，确定对称轴与顶点最值； 结合自变量实际范围（正整数、区间限制），判断顶点或端点处的最值。 （2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：例题 门票单价（元） 游客人数（人） 景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． (1)求游客人数与门票单价的函数表达式； (2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ (3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值． 【答案】(1) (2)​；单价为元时利润最大，最大利润为元 (3)；的值为 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，将表格中、代入，得， 解得， ∴游客人数与门票单价的函数表达式为； （2）解：设环保费与的二次函数关系式为，代入、，得 ， 解得 ∴， ∴ ​， ∵， ∴二次函数开口向下，函数有最大值， ∵对称轴，满足， ∴当时，， 即单价为元时利润最大，最大利润为元； （3）解：运营成本每人降低元后， ​， ∵， ∴二次函数开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴， ∴， ∵，即，， ∴当时，， 当时，， 解得， ∴当利润最大值为元时的值为． 题型二、几何图形面积最值问题 具体解决方法： 设图形边长 / 线段长为自变量，用 x 表示相关线段； 根据面积公式列二次函数解析式； 配方求顶点最值，结合图形边长约束确定自变量范围； 验证最值是否符合几何图形实际存在条件。 （2026·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动；点同时从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，，同时停止运动．设运动时间为秒（）．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，与相交于点，连接，．解答下列问题：例题 (1)当时，求的值； (2)设四边形的面积为，求关于的函数表达式；并求出四边形面积的最小值； (3)是否存在某一时刻，使得线段经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，当时，四边形的面积最小，最小值为 (3)存在， 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴当时， ∴ ∴ 即 解得 ； （2）∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即， ∴， ∴ ， ， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为． （3）解：假设存在合题意的，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，延长交于点 ∵，， ∴ ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴ 即， 解得，(舍) ∴当时，线段经过点． 题型三、抛物线型实物问题（拱桥、抛射、隧道） 具体解决方法： 建立平面直角坐标系，以对称轴 / 顶点 / 关键点为原点； 设二次函数顶点式，代入已知点求解析式； 结合实际高度、长度要求，代入 x 或 y 求解对应值； 注意坐标与实际长度的单位统一。 （2026·陕西安康·一模）如图，工人师傅建造一座外轮廓为抛物线型的拱门，按照设计要求：门框横梁部分，拱门底部宽度，且满足，．以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．例题 (1)求出拱门所在抛物线的表达式． (2)工人师傅为了固定门框横梁，需要安装两个支架，支架，均与轴垂直，随着施工的进行，工人师傅还需增加支架，以此来维持拱门的稳定性，为了减少不必要的工作量，工人师傅将支架水平放置安装，且满足，轴，与此同时，还要使支架与拱门底部距离超过．结合题目已知，分析工人师傅的操作是否可行． 【答案】(1) (2)工人师傅的操作可行，分析见解析 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过 ∴设抛物线的表达式为． ，，． 根据抛物线的对称性可知点与点关于抛物线对称轴对称， ∴ ， ∴， 即点的坐标为， 将点的坐标代入所设抛物线表达式得， 解得， ； （2）解：根据题意可知，且抛物线对称轴为直线， 点的横坐标为 将其代入到抛物线中， 得． ， 到拱门底部的距离超过，故工人师傅的操作可行． 题型四、函数与不等式结合方案优选类 具体解决方法： 先建立目标函数（费用、利润、路程等）； 根据实际限制条件列不等式组，求出自变量的整数解； 将整数解代入目标函数，计算对应函数值； 比较函数值大小，确定最优方案（费用最低 / 利润最高 / 效率最高）。 （2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．例题 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 经典模拟题 1．（2026·河南商丘·一模）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价便宜300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材的购买数量，则购买多少台甲型健身器材时费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元 (2)购买10台甲型健身器材时费用最低，最低费用为53000元 【详解】（1）解：设甲型健身器材的单价为元，则乙型健身器材的单价为元． 由题意，可得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 此时． 答：甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元． （2）解：设购买台甲型健身器材，则购买台乙型健身器材． 由题意，可得， 解得． 设采购费用为元． 由题意，可得． ， 随的增大而减小． 当时，取得最小值，最小值为（元）． 此时． 答：购买10台甲型健身器材时费用最低，最低费用为53000元． 2．（2026·江苏泰州·一模）为增强民众生活幸福感，市政府推进老旧小区改造工程．某小区计划在的绿化带上种植甲、乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元）与种植面积（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元． (1)当时，求与的函数关系式； (2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？ 【答案】(1)当时，； (2)甲种面积为，乙种面积为，种植的总费用最少，最少元． 【详解】（1）解：当时，设， 把，代入， 得， 解得， ∴当时，． （2）解：设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，总费用为元． ∵甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍， ∴， 解得． 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，最小为（元）， 当时，， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，且， ∴时，取最小值，最小为（元）， ∵， ∴当时，取最小值，最小为元， 此时，． 答：甲种面积为，乙种面积为，种植的总费用最少，最少元． 3．（2026·四川成都·二模）位于成都未来科技城的商业航天产业园“未来星谷”部分地块主体已完工，预计2026年底逐步投运，聚焦卫星整星制造、地面设备制造等商业航天产业链关键环节．某航天科技公司为该产业园配套生产A，B两种型号的卫星零部件，已知每个B型零部件的成本是每个A型零部件成本的，用4200元生产B型零部件的数量比用3150元生产A型零部件的数量多12个． (1)分别求每个A型和B型零部件的成本； (2)该公司计划用不超过6万元的总费用生产A，B两种型号的零部件共400个．生产过程中，每个A型零部件可获利25元，每个B型零部件可获利20元，试问：A，B两种型号的零部件分别生产多少个时，公司所获得的总利润最大？并求出最大总利润． 【答案】(1)每个A型零部件的成本为175元，每个B型零部件的成本为140元 (2)生产A型零部件114个，B型零部件286个时总利润最大，最大总利润为8570元 【详解】（1）解：设每个A型零部件的成本为元，每个B型零部件的成本为元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， ∴每个A型零部件的成本为175元，每个B型零部件的成本为140元； （2）解：设生产A型零部件个，则B型零部件个，总利润为元， ∵不超过6万元的总费用生产A，B两种型号的零部件共400个， ∴， 化简得， 解得 ∵为非负整数， ∴取最大值为， 则 ∵ ∴随增大而增大， 因此时最大， 此时型数量为（个）， 最大总利润：元， ∴生产A型零部件114个，B型零部件286个时总利润最大，最大总利润为8570元． 4．（2026·山西晋城·一模）综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小刚发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小刚的初次投篮起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，把篮球当成一个点，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：初次投篮出手点高度米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；当篮球到达与篮筐中心点A相同的水平距离时，篮球的高度（n米）满足时，篮球就可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小刚在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题： (1)①求小刚初次投篮时抛物线的函数表达式． ②小刚初次投篮时______命中篮筐（填写：“能”或“不能”）． (2)该班数学兴趣小组同学对小刚的初次投篮数据进行研究后，让小刚同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，投篮出手点高度和初次投篮一样，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值． (3)在比赛过程中，小刚在离篮筐中心的水平距离5米处，调整投篮出手点高度，起跳投篮，如果此时在小刚前方0.5米处有一位防守球员，防守球员的防守高度至少要达到多少米，就可以保证小刚不能命中篮筐．（直接写出答案） 【答案】(1)①；②不能 (2) (3)2.65 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点， 设小刚初次投篮时抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 小刚初次投篮时抛物线的函数表达式为， 当时，， 篮球的高度（n米）满足时，篮球可命中篮筐， 小刚初次投篮时不能命中篮筐； （2）解：向前走了t米后抛物线的解析式为， 正好投进一个“空心球”， 抛物线经过点， ， 解得：，（舍）， 即t的值为． （3）解：设小刚投篮出手点高度调整米， 则抛物线解析式为， 篮球的高度（n米）满足时，篮球就可命中篮筐， ， 解得：， 若，则 当时，， 若，则 当时，， 防守球员的防守高度至少要达到米，就可以保证小刚不能命中篮筐． 5．（2026·江苏南京·一模）某工厂要生产A，B两种零件，已知生产1个A零件和2个B零件的成本为750元，3个A零件和5个B零件的成本为1950元． (1)求分别生产1个A零件、1个B零件的成本； (2)若要生产A，B两种零件共150个，且要求B零件个数不少于A零件个数的2倍，那么生产A种零件多少个时，可使生产成本最低？最低生产成本是多少？ 【答案】(1) 生产1个A零件的成本为150元，生产1个B零件的成本为300元 (2) 生产A种零件50个时，生产成本最低，最低生产成本为37500元 【详解】（1）解：设生产1个A零件的成本为元，生产1个B零件的成本为元， 根据题意得 ， 解得 ， 答：生产1个A零件的成本为150元，生产1个B零件的成本为300元； （2）解：设生产A零件个，生产成本为元，则生产B零件个， 根据题意得， 解得，其中且为整数， 总成本 ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 把代入得（元） 答：生产A种零件50个时，生产成本最低，最低生产成本为37500元. 6．（2026·贵州遵义·二模）【项目背景】跳台滑雪是冬奥会竞技项目，运动员从跳台助滑后腾空，飞行轨迹近似为抛物线．以水平地面所在直线为轴，过跳台起飞点的竖直直线为轴，建立平面直角坐标系．训练场着陆坡轮廓近似为抛物线，解析式为；跳台起飞点坐标为． 素材一：安全飞行规则：飞行轨迹与着陆坡在同一水平位置上竖直距离为，计算方式．当时，为标准安全飞行区间，若飞行过程中超出该区间，本次比赛成绩无效； 素材二：成绩计算规则：运动员着陆点为飞行轨迹与着陆坡的交点，着陆点对应的水平距离为最终比赛成绩，且全程飞行需处于安全区间内，成绩才有效． 【解决问题】 某运动员从点飞出后的飞行轨迹为抛物线，实测部分飞行数据如下表． 水平距离x（米） 0 4 8 飞行高度y（米） 8 8 (1)求飞行轨迹抛物线的解析式； (2)试判断水平飞行距离时，是否还在安全飞行区间，并说明理由； (3)通过计算判断该运动员的成绩是否有效．若有效，求出符合安全规则的最远飞行水平距离；若无效，说明理由． 【答案】(1)或 (2)当时，在安全飞行区间，理由见解析． (3)该运动员的成绩有效，最远飞行距离为米． 【详解】（1）依题意设的解析式为． 因为的图象经过点，可得 ． 解得 ． 所以的解析式为：或． （2）当时，在安全飞行区间． 理由如下： 依题意，得 ． 所以，是关于的二次函数，开口向下，对称轴为． 所以，当时，取得最大值，最大值． 所以，当时，在安全飞行区间． （3）当时，可得． 解得，（舍去）． 令， 解得，（舍去）． 因为， 所以，该运动员的成绩有效，最远飞行距离为20米． 7．（2026·浙江·模拟预测）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量（）的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求的值； (2)问一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】(1) (2)不能兑换智能扫地机器人 【详解】（1）解：∵纸张超过后，奖励积分为， ∴， ∴； （2）解：对于塑料：当时，设与的函数关系式为， ∵当时，，当时，， ∴， 解得：， ∴与的函数关系式为， 当时，，即投放塑料的奖励积分为分， 同理，对于纸张：当时，， 当时，，即投放纸张的奖励积分为分， ∴积分和：， ∴不能兑换智能扫地机器人． 8．（2026·贵州·模拟预测）如图①，位于贵州省安顺市的花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径约为1400m，它的中点是点Q，，且；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆）．现以O为原点，桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据解决以下问题： (1)求缆索所在抛物线的解析式； (2)花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”．大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客． ①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离100m处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？ ②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)①更换工作需要准备灯管长约为46米；②缆索与该光线的最大竖直距离为米 【详解】（1）由题意可知，抛物线顶点 P 的坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入抛物线得：，解得， ∴ 抛物线解析式为； （2）①当时，， ∴ 更换工作需要准备灯带长为（米）； ②设直线的解析式为， 把，代入解析式得： ， ∴解得， ∴ 直线的解析式为， ∴ 缆索与该光线的竖直距离： ∵，∴ 当时，d 有最大值，最大值为． ∴ 缆索与该光线的最大竖直距离为米． 9．（2026·湖北襄阳·一模）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划同时新购进A，B两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表： 类别 A类 B类 进货价（元/本） 25 16 销售价（元/本） 35 24 (1)第一次，该书店用1960元购进了A，B两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？ (2)第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两类图书180本（图书的进货价不变），但A类的进货数量不超过B类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ (3)在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B类图书每本都拿出元设立读书基金，全部售出后所获总利润不低于1350元，求a的最大值． 【答案】(1)书店购进A种图书40本，B种图书60本 (2)当书店购进A种图书45本，B种图书135本时，获得的利润最大，最大利润为1530元 (3)a的最大值为5 【详解】（1）解：设书店购进A种图书m本，则购进B种图书n本， 根据题意得 解得， ∴书店购进A种图书40本，B种图书60本； （2）解：设书店购进A种图书x本，获得的利润为w元， 根据题意得 解得， ， ； ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 此时B种图书有：（本）， 答：当书店购进A种图书45本，B种图书135本时，获得的利润最大，最大利润为1530元； （3）解：由题意得，， 解得， ∴a的最大值为5． 10．（2026·河南周口·模拟预测）某书店老板购进一批进价为20元/本的儿童绘本，试销阶段发现这种儿童绘本的日销售量（本）与销售单价（元）的函数图象如下，请解决如下问题： (1)求该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)如果该书店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该书店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该儿童绘本的销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)该儿童绘本的销售单价应定为30元 【详解】（1）解：设该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 由题意得解得 该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式为； （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 为了尽快减少库存， ， 答：该儿童绘本的销售单价应定为30元． 真题再现 1．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 2．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 3．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 4．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 5．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 7．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 10．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【答案】(1) (2)，的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个； 预测我国2025年发明专利申请授权数万个 【详解】（1）解： ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为； （2）解：将，代入得， ， 解得， ∴； 其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个； 当时，， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个． 1 学科网（北京）股份有限公司 $三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺13:利用函数解决实际问题专项 中考全国考情分析 1、 必考性与分值稳定 利用函数解决实际问题是全国中考代数核心必考解答题，99% 以上地区固定在第 19—22 题，分值 8—10 分，属于中档必得分题，平均失分率约 35%。核心失分点集中在函数模型建立错误、自变量取值范围遗漏、最值判断不符合实际、计算过程不规范、方案选择逻辑混乱。 2、 考点聚焦 围绕一次函数实际应用（行程、计费、方案、销售）→反比例函数实际应用（工程、物理、面积、效率）→二次函数实际应用（利润最值、图形面积、抛物线型实物）→函数与不等式结合方案优选→分段函数综合应用五大核心模块，其中二次函数利润 / 面积问题、一次函数方案决策为最高频考点，反比例函数侧重基础应用考查。 3、 最新命题趋势（2024—2026） 命题全面情境化，贴合真实生活场景（电商销售、民生计费、体育竞技、环保工程、农业生产）；从单一函数建模向分段函数、多函数综合转变，文字、表格、图像多形式呈现条件；强化数学建模素养，侧重考查 “从实际问题抽象函数关系” 的能力；新增最优方案选择、最值限制、整数解筛选等设问，突出实际意义约束。 4、 地域差异 一线城市（北京、上海、广州、深圳）侧重分段函数 + 多函数综合 + 方案决策复杂题型；三四线城市侧重单一一次 / 二次函数基础建模 + 计算，全国均遵循 “重建模、重实际、重步骤” 的命题原则。 核心题型及具体解决方法 一、一次函数实际应用类 题型一、基础一次函数建模应用 具体解决方法： 审题提取关键量，确定自变量 x（时间、数量、单价等）与因变量 y（总价、路程、费用等）； 找等量关系，列出y=kx+b（k≠0）解析式； 结合实际意义确定自变量 x 的取值范围（非负、整数、区间限制）； 利用函数增减性求解最值、取值或比较方案优劣。 （2026·湖南娄底·二模）当前，我国正迈入人工智能时代，以机器人科技为引领的智能产业蓬勃兴起，成为现代科技创新的重要标志．某大型物流中心为了提高工作效率，欲购买两种型号的智能机器人，对货物进行分拣、搬运．具体相关信息如下：例题    A型智能机器人台数 B型智能机器人台数 总费用（单位：万元）    2 5 3 4 (1)求A，B两种型号智能机器人的单价． (2)现该物流中心准备用不超过万元购买A，B两种型号智能机器人共台，则该物流中心选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 题型二、分段一次函数应用（计费、行程） 具体解决方法： 按实际情境划分不同区间，确定各区间自变量范围； 分区间列出对应一次函数解析式，标注定义域； 结合图像交点、区间边界值，分段计算或比较结果； 统一作答，明确不同区间的函数关系与实际结论。 （2026·天津西青·一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示．例题 (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 二、反比例函数实际应用类 具体解决方法： 识别乘积为定值的实际关系（工作量 = 效率 × 时间、压力 = 压强 × 受力面积、矩形面积 = 长 × 宽）；设函数解析式为y=k/x（k≠0），代入已知条件求 k 值； 确定自变量取值范围（实际问题中 x、y 均为正实数）； 代入数值求解未知量，结合实际意义检验结果合理性。 （2026·湖北宜昌·一模）某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警．例题 温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和． (1)求，的值，并写出关于的函数解析式； (2)求关于的函数解析式； (3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度． 三、二次函数实际应用类 题型一、销售利润最值问题 具体解决方法： 梳理单价、销量、成本的关系，列等量关系：总利润 = 单件利润 × 销售量； 设自变量（定价 / 销量），推导二次函数解析式y=ax²+bx+c（a≠0）； 将解析式化为顶点式，确定对称轴与顶点最值； 结合自变量实际范围（正整数、区间限制），判断顶点或端点处的最值。 （2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：例题 门票单价（元） 游客人数（人） 景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． (1)求游客人数与门票单价的函数表达式； (2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ (3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值． 题型二、几何图形面积最值问题 具体解决方法： 设图形边长 / 线段长为自变量，用 x 表示相关线段； 根据面积公式列二次函数解析式； 配方求顶点最值，结合图形边长约束确定自变量范围； 验证最值是否符合几何图形实际存在条件。 （2026·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动；点同时从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，，同时停止运动．设运动时间为秒（）．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，与相交于点，连接，．解答下列问题：例题 (1)当时，求的值； (2)设四边形的面积为，求关于的函数表达式；并求出四边形面积的最小值； (3)是否存在某一时刻，使得线段经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型三、抛物线型实物问题（拱桥、抛射、隧道） 具体解决方法： 建立平面直角坐标系，以对称轴 / 顶点 / 关键点为原点； 设二次函数顶点式，代入已知点求解析式； 结合实际高度、长度要求，代入 x 或 y 求解对应值； 注意坐标与实际长度的单位统一。 （2026·陕西安康·一模）如图，工人师傅建造一座外轮廓为抛物线型的拱门，按照设计要求：门框横梁部分，拱门底部宽度，且满足，．以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．例题 (1)求出拱门所在抛物线的表达式． (2)工人师傅为了固定门框横梁，需要安装两个支架，支架，均与轴垂直，随着施工的进行，工人师傅还需增加支架，以此来维持拱门的稳定性，为了减少不必要的工作量，工人师傅将支架水平放置安装，且满足，轴，与此同时，还要使支架与拱门底部距离超过．结合题目已知，分析工人师傅的操作是否可行． 题型四、函数与不等式结合方案优选类 具体解决方法： 先建立目标函数（费用、利润、路程等）； 根据实际限制条件列不等式组，求出自变量的整数解； 将整数解代入目标函数，计算对应函数值； 比较函数值大小，确定最优方案（费用最低 / 利润最高 / 效率最高）。 （2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．例题 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 经典模拟题 1．（2026·河南商丘·一模）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价便宜300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材的购买数量，则购买多少台甲型健身器材时费用最低？最低费用是多少元？ 2．（2026·江苏泰州·一模）为增强民众生活幸福感，市政府推进老旧小区改造工程．某小区计划在的绿化带上种植甲、乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元）与种植面积（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元． (1)当时，求与的函数关系式； (2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？ 3．（2026·四川成都·二模）位于成都未来科技城的商业航天产业园“未来星谷”部分地块主体已完工，预计2026年底逐步投运，聚焦卫星整星制造、地面设备制造等商业航天产业链关键环节．某航天科技公司为该产业园配套生产A，B两种型号的卫星零部件，已知每个B型零部件的成本是每个A型零部件成本的，用4200元生产B型零部件的数量比用3150元生产A型零部件的数量多12个． (1)分别求每个A型和B型零部件的成本； (2)该公司计划用不超过6万元的总费用生产A，B两种型号的零部件共400个．生产过程中，每个A型零部件可获利25元，每个B型零部件可获利20元，试问：A，B两种型号的零部件分别生产多少个时，公司所获得的总利润最大？并求出最大总利润． 4．（2026·山西晋城·一模）综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小刚发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小刚的初次投篮起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，把篮球当成一个点，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：初次投篮出手点高度米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；当篮球到达与篮筐中心点A相同的水平距离时，篮球的高度（n米）满足时，篮球就可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小刚在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题： (1)①求小刚初次投篮时抛物线的函数表达式． ②小刚初次投篮时______命中篮筐（填写：“能”或“不能”）． (2)该班数学兴趣小组同学对小刚的初次投篮数据进行研究后，让小刚同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，投篮出手点高度和初次投篮一样，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值． (3)在比赛过程中，小刚在离篮筐中心的水平距离5米处，调整投篮出手点高度，起跳投篮，如果此时在小刚前方0.5米处有一位防守球员，防守球员的防守高度至少要达到多少米，就可以保证小刚不能命中篮筐．（直接写出答案） 5．（2026·江苏南京·一模）某工厂要生产A，B两种零件，已知生产1个A零件和2个B零件的成本为750元，3个A零件和5个B零件的成本为1950元． (1)求分别生产1个A零件、1个B零件的成本； (2)若要生产A，B两种零件共150个，且要求B零件个数不少于A零件个数的2倍，那么生产A种零件多少个时，可使生产成本最低？最低生产成本是多少？ 6．（2026·贵州遵义·二模）【项目背景】跳台滑雪是冬奥会竞技项目，运动员从跳台助滑后腾空，飞行轨迹近似为抛物线．以水平地面所在直线为轴，过跳台起飞点的竖直直线为轴，建立平面直角坐标系．训练场着陆坡轮廓近似为抛物线，解析式为；跳台起飞点坐标为． 素材一：安全飞行规则：飞行轨迹与着陆坡在同一水平位置上竖直距离为，计算方式．当时，为标准安全飞行区间，若飞行过程中超出该区间，本次比赛成绩无效； 素材二：成绩计算规则：运动员着陆点为飞行轨迹与着陆坡的交点，着陆点对应的水平距离为最终比赛成绩，且全程飞行需处于安全区间内，成绩才有效． 【解决问题】 某运动员从点飞出后的飞行轨迹为抛物线，实测部分飞行数据如下表． 水平距离x（米） 0 4 8 飞行高度y（米） 8 8 (1)求飞行轨迹抛物线的解析式； (2)试判断水平飞行距离时，是否还在安全飞行区间，并说明理由； (3)通过计算判断该运动员的成绩是否有效．若有效，求出符合安全规则的最远飞行水平距离；若无效，说明理由． 7．（2026·浙江·模拟预测）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量（）的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求的值； (2)问一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 8．（2026·贵州·模拟预测）如图①，位于贵州省安顺市的花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径约为1400m，它的中点是点Q，，且；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆）．现以O为原点，桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据解决以下问题： (1)求缆索所在抛物线的解析式； (2)花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”．大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客． ①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离100m处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？ ②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离． 9．（2026·湖北襄阳·一模）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划同时新购进A，B两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表： 类别 A类 B类 进货价（元/本） 25 16 销售价（元/本） 35 24 (1)第一次，该书店用1960元购进了A，B两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？ (2)第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两类图书180本（图书的进货价不变），但A类的进货数量不超过B类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ (3)在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B类图书每本都拿出元设立读书基金，全部售出后所获总利润不低于1350元，求a的最大值． 10．（2026·河南周口·模拟预测）某书店老板购进一批进价为20元/本的儿童绘本，试销阶段发现这种儿童绘本的日销售量（本）与销售单价（元）的函数图象如下，请解决如下问题： (1)求该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)如果该书店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该书店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该儿童绘本的销售单价应定为多少元？ 真题再现 1．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 2．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 3．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 4．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 5．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 7．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 10．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $