云南曲靖市宣威市第七中学2025-2026学年高二下学期第三次月测数学试题

**基本信息** 以《孙子算经》同余问题传承文化、电影特效评价统计应用数据、导数零点证明与椭圆综合探究思维，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，适配高二学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、复数、向量等基础|第6题结合《孙子算经》渗透文化传承| |多选题|3题|解三角形、不等式等中档|第9题多角度考查三角形性质，体现思维层次性| |填空题|3题|概率、圆方程、切线问题|第14题曲线切线综合，考查数学抽象| |解答题|5题|数列证明、立体几何、导数、统计、椭圆|第18题统计应用培养数据意识，第17题导数零点证明发展逻辑推理|

《宣威七中高二年级2026年春季学期第三次月测数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B B C C AB BD 题号 11 答案 BCD 1． 【解析】略 2．D 【分析】根据复数的除法对复数进行化简，确定其虚部即可. 【详解】. 所以复数的虚部为. 故选：D. 3．A 【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得 ，解得. 4．D 【分析】由求出，求出， 从而得到数列是周期数列且这个数列的一个周期，利用和依次求出，，，，…，求出 ，，代入数值得解 【详解】， 数列是周期数列且这个数列的一个周期， ，，，，，…， ， . 故选：D． 5．B 【分析】根据半角公式结合角的范围即可求解. 【详解】因为，则，, 由半角公式可得. 故选：B 6．B 【分析】依题意可得，展开计算得到，对比选项得到答案． 【详解】因为， 又，故， 又，，， ，结合选项可知只有B符合题意. 故选：B 7．C 【分析】首先设出一条过点垂直于渐近线的垂线方程，并分别与两条渐近线方程联立，利用，转化为坐标间的关系，得到关于的方程，求离心率. 【详解】不妨设，过作双曲线一条渐近线的垂线方程为， 与联立可得； 与联立可得， ∵，∴， 整理得，，即， ∵，∴． 故选：C． 8．C 【分析】根据已知条件得到和，然后化简所求表达式并求导，判断单调性，进而求出结果. 【详解】因为函数，且恒成立，函数与都是增函数， 所以两函数的零点重合，假设零点为，则由得：， 由得：，所以， 所以令，求导得， 令得，令，则， 所以是增函数，所以． 故选：C． 9．AB 【分析】由余弦定理得，得到是钝角三角形，可判定A正确；由余弦定理，列出方程，求得，可判定B正确；由余弦定理和基本不等式，求得，得到面积的最大值，可判定C错误；设边上的中线为，则，结合向量的运算法则，求得边上的中线长，可判定D错误. 【详解】对于A中，由余弦定理得，因为，所以为钝角， 所以是钝角三角形，故A正确； 对于B中，由，可得， 解得或（舍去），所以的周长为，所以B正确； 对于C中，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以面积的最大值为，所以C错误； 对于D中，设边上的中线为，则， 两边平方可得，解得，所以D错误. 故选：AB 10．BD 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 11．BCD 【分析】当与重合时，说明判断A；当为的中点时，证明平面判断B；结合三棱锥体积公式判断C；利用割补法求得经过四点的球的半径，即可求得球的表面积判断D. 【详解】对于A，当与重合时，连接， 由，得四边形为平行四边形， 所以，又，故，因此四点共面，A错误； 对于B，当为的中点时，， 而四边形为平行四边形，则，所以， 取中点E，连接， 则且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以平面，平面，所以平面，B正确； 对于C，由正方体结构性质可知点到面的距离为4，而， 则，C正确； 对于D，设分别为的中点，则为长宽高分别为4，4，2的长方体，则经过四点的球即为长方体的外接球， 因此该外接球的直径满足， 所以经过四点的球的表面积为，D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】由正态分布密度曲线和其对称性进行求解即可． 【详解】由随机变量，可得； 设， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 13．4 【分析】由题意得直线过圆心，即得，化简整理后利用基本不等式即可求解. 【详解】由，得，其圆心为， 因为该圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 所以， 由， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为. 故答案为： 14． 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处的斜率，求出切点，利用点斜式求出切线方程，设的切线的切点为，利用导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，由在处的切线也是曲线的切线，通过斜率相等得到，将代入得到，从而得到曲线的切线的切点坐标，又切点在切线上，代入得到. 【详解】将代入，得到，则切点为， 的导数，则， 则切线方程为，即. 的导数， 设的切线的切点为， 则， 因为在处的切线也是曲线的切线， 所以，所以，解得， 将代入得到， 则切点为，又切点在切线上，则有. 故答案为：． 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式； （2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式. 【详解】（1）在等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. （2）因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 16．(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1）    取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）    ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的余弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意， 设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 解得，即. 17．(1)极小值为，无极大值． (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得，令，求得，得到的单调性，进而求得函数的单调区间，结合极值的概念，即可求解. （2）（i）由题意得，令，求得，得到在单调递增，再令，得到在有2个零点，且，进而得到，求得函数，即可求解； （ii）根据题意，转化为证明，设，得到，令，求得，得到，进而转化为，令，利用导数求得单调性，结合，即可得证. 【详解】（1）解：当时，函数，可得， 令，则， 当时，；当，， 所以在单调递减，在单调递增， 因为时，，则，， 所以当时，；， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为，无极大值． （2）解：（i）由函数， 令，因为，所以在单调递增， 令，即在有2个零点，且， 因为，所以时，，在单调递增， 此时不存在2个零点，所以， 因为时，；时，，所以在单调递减， 在单调递增，因为时，；时，， 所以，所以． （ii）证明：由，可得，即证，即证， 不妨设，因为， 由（i）知，， 令，则且， 又因为，可得，即， 所以，可得，所以， 则， 所以等价于，即， 即为， 令，则， 所以在单调递增，所以， 即，可得，所以，即可得证. 18．(1)列联表见解析，认为年龄与对特效的评价有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据表格信息完成表格，运用公式求出的值，判断出年龄与对特效的评价是否有关联即可. （2）好评的人数为服从超几何分布，根据超几何分布求出分布列，并计算数学期望. 【详解】（1）依题意，列联表如下. 年龄段 评价 合计 好评 差评 青少年 120 30 150 中老年 90 60 150 合计 210 90 300 零假设年龄与对特效的评价无关联， 由列联表中的数据可得， 所以根据小概率值的独立性检验推断不成立，即认为年龄与对特效的评价有关联. （2）依题意，抽取的5名观众中，给出好评的人数为，给出差评的人数为， 所以的所有可能取值为2，3，则 所以的分布列为 2 3 故数学期望. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求解即可 （2）通过平移后，利用齐次化寻求的关系，进而得到直线恒过定点，再将定点反平移，从而求得点到直线的最大距离. 【详解】（1）由题可知，解得 所以椭圆C的标准方程为. （2） 点，左移1个单位，下移个单位，， ，， ，等式两边同时除以， ， ， ，， 恒过，右移1个单位，上移个单位，直线恒过， ∴P到直线l的距离的最大值为， 由于 ∴点P到直线l距离的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣威七中高二年级2026年春季学期第三次月测 数 学 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，复数的虚部为（   ） A． B．3i C．3 D． 3．已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 4．若数列满足，，则该数列的前2025项的乘积等于（   ） A．2023 B．2024 C． D． 5．已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 6．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记．若，且，则的值可以是（    ） A．2010 B．2021 C．2019 D．1997 7．设F是双曲线的一个焦点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于A，B两点．若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．5 8．设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，，，则的周长为 C．若，，则面积的最大值为 D．若，，，则边上的中线长为 10．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 11．如图，在棱长为4的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则（   ） A．不存在点，使得，，，四点共面 B．存在点，使得平面 C．三棱锥的体积为 D．经过，，，四点的球的表面积为． 三、填空题 12．若随机变量，则_____________． 13．若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为_____. 14．曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ________． 四、解答题-证明题 15．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 16．如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 五、解答题-应用题 18．某电影上映后，一所大学视觉传达设计专业的学生为了解观众对该部电影的特效的评价与年龄的关系，随机抽取了300名观众进行调查，得到如下列联表： 年龄段 评价 合计 好评 差评 青少年 120 150 中老年 60 150 合计 (1)请完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为年龄与对特效的评价有关联； (2)为了解青少年对电影特效的具体看法，视觉传达设计专业的学生设计了一个调查问卷进行调查，现从青少年中按评价情况用分层抽样的方法随机抽取5名观众，然后再利用随机抽样的方法抽取3人做进一步调研，记抽取的3人中给出好评的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 六、解答题-问答题 19．已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且（O为坐标原点）的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $