精品解析：河南南阳市南召县2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2026年春期八年级期中巩固练习数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 若式子有意义，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 2. 嘉琪去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（ ） 30金额/元 5数量/千克 6单价（元/千克） A. 数量 B. 单价 C. 金额 D. 数量和金额 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列坐标在轴的正半轴上的是（ ） A. B. C. D. 5. 目前已知最小的细胞是支原体，直径只有，已知等于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若将分式与通分，则分式的分子应变为（ ） A. B. C. D. 7. 化简 的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 9. 正比例函数的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当_____时，分式的值为负数． 12. 某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是____． 13. 已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为______． 14. 反比例函数的图象如图，点M是该函数图象上一点，轴于N，若，则k的值为______ ． 15. 关于x的分式方程无解，则a的值是______． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算： ； （2）如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为, 与在同一条直线上，开始时点与点重合，让向右移动，最后点与点重合．试写出两图形重叠部分的面积与线段的长度之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 17. 解方程：． 18. 下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题． ＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 ＝…第五步 ＝…第六步 （1）填空: a．以上化简步骤中，第　 　步是进行分式的通分，通分的依据是　 　． b．第　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是①　 　，②　 　． （2）请直接写出该分式化简后的正确结果　 　． （3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 19. 如图，当温度在时，水的密度（单位：）随着温度t（单位：）的变化关系图象，看图象回答问题． （1）图中的自变量是什么？因变量是什么？ （2）当水温度时，水的密度为多少？ （3）图中A点表示的意义是什么？ （4）当温度在变化时，水的密度是如何变化的？ 20. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 21. 已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）画出函数的图象； （2）若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； （3）观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 22. 对于两个分式，如果，那么我们称分式与分式互为“相伴分式”．结合以上信息，完成下列各题． （1）下列互为“相伴分式”的是______；（填序号） ① 与 ；②与 ． （2）若 与 互为“相伴分式”，求x的值； （3）若 与 互为“相伴分式”，且为正整数，求整数的值． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围为______； （3）点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期八年级期中巩固练习数学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 若式子有意义，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件分母不为零计算即可 【详解】解：由题意可知： ∴ 故选：C 【点睛】本题考查分式有意义的条件，正确理解分式含义是关键． 2. 嘉琪去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（ ） 30金额/元 5数量/千克 6单价（元/千克） A. 数量 B. 单价 C. 金额 D. 数量和金额 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查变量与常量的概念，根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案．在购买橙子的过程中，单价是固定不变的，而购买的数量和对应的金额会发生变化，因此变量是数量和金额． 【详解】解：根据题意，电子秤显示的数据包括金额30元、数量5千克、单价6元/千克．单价是固定值（6元/千克），属于常量； 当购买橙子的数量变化时，金额会随之改变（金额=单价×数量）． 因此，变量是数量和金额， 故选：D． 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，关键是熟练应用定义判断；根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），逐一判断各选项的分子分母是否有公因式即可． 【详解】解：∵最简分式是分子与分母无公因式的分式 对于选项A：的分子分母有公因数2，可约分为，不是最简分式； 对于选项B：的分子1与分母无公因式，是最简分式； 对于选项C：∵ ， ∴ ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； 对于选项D：∵ ， ∴ ，分子分母有公因式，不是最简分式； 故选：B． 4. 下列坐标在轴的正半轴上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标特征．根据在轴的正半轴上的点横坐标大于0，纵坐标为0进行解答即可． 【详解】解：在轴的正半轴上， 故选：A 5. 目前已知最小的细胞是支原体，直径只有，已知等于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的概念与表示，结合单位换算和科学记数法的规则是解决本题的关键． 将转换为m，再由科学记数法的标准形式为（其中，为整数）表示即可． 【详解】解：因为， 所以， 又因为，可知， 所以数据用科学记数法表示为． 故选：D． 6. 若将分式与通分，则分式的分子应变为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 7. 化简 的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先统一分母，再合并分子后约分得到结果． 【详解】解：原式 ． 8. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意，将点代入得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 在范围内，y随x的增大而减小， 当时，， 即若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是米． 9. 正比例函数的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，根据正比例函数得图象经过第二，四象限，可得，求出k的取值范围，再结合关系式得出答案即可． 【详解】∵正比例函数得图象经过第二，四象限， ∴， 解得， ∴一次函数经过一，二，四象限． 故选：C． 10. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是选项， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当_____时，分式的值为负数． 【答案】 【解析】 【分析】先判断分式分母的取值范围，再根据分式值为负数的条件，得到分子的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数． 若分式的值为负数， 则分子小于， 即， 解得． 12. 某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是____． 【答案】80 【解析】 【分析】根据题意求出休息以后的总路程和总时间，利用速度等于路程除以时间进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，休息后的总路程为：， 休息后到达乙地所用的时间为：， ∴休息以后该车行驶的速度是． 13. 已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件可知，再把代入中，可求，进而可得一次函数解析式． 【详解】解：设一次函数的表达式为， 与直线平行， ， 把代入中，得， 一次函数解析式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两条直线平行的问题，解题的关键是知道两条直线平行的条件是相等． 14. 反比例函数的图象如图，点M是该函数图象上一点，轴于N，若，则k的值为______ ． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：=3，| k|=6，∵k＜0，∴k=－6. 故答案为－6. 点睛：本题关键利用反比例函数k的几何意义解题. 15. 关于x的分式方程无解，则a的值是______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，分整式方程无解和整式方程有解且为分式方程的增根两种情况求解即可． 【详解】解：方程两边都乘以（x-1），得：ax+1=4+x－1， 整理，得（a－1）x=2， 当a=1时，a－1=0，则（a－1）x=2无解，即原分式方程无解； 当a≠1时，a－1≠0，则x=， ∵x=1是分式方程的增根， ∴， ∴a=3， 综上，当a=1或3时，原分式方程无解， 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟知分式方程无解的等价条件是解答的关键． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算： ； （2）如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为, 与在同一条直线上，开始时点与点重合，让向右移动，最后点与点重合．试写出两图形重叠部分的面积与线段的长度之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【答案】（1） （2），自变量的取值范围为 【解析】 【分析】（1）依次计算乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值，再进行加减运算； （2）为等腰直角三角形，向右平移过程中，重叠部分始终为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形面积公式建立函数关系，确定自变量取值范围． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形， ， 重叠部分是等腰直角三角形， 已知 ，即等腰直角三角形的直角边长为 ， 根据等腰直角三角形面积公式：， 由题意，点从与重合移动到与重合，正方形边长为， 自变量的取值范围为， 综上，函数关系式为：． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，在方程两边同乘以化为整式方程，求解后再进行检验即可．掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：， 在方程两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 18. 下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题． ＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 ＝…第五步 ＝…第六步 （1）填空: a．以上化简步骤中，第　 　步是进行分式的通分，通分的依据是　 　． b．第　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是①　 　，②　 　． （2）请直接写出该分式化简后的正确结果　 　． （3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）a．三，分式的基本性质；b．四，①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二项没有变号，②去括号时，括号里面的第二项没有与括号前的系数相乘； （2） （3）在分式的混合运算，要注意运算顺序（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据分式的混合计算法则进行逐步判断即可； （2）根据分式的混合计算法则进行计算即可； （3）在进行分式的混合运算时，要注意运算顺序． 【小问1详解】 解：a．第三步是通分，把第二项分子分母都乘以2，分式的值不变，这是分式的基本性质； 故答案为:三，分式的基本性质； b．第四步开始出现错误，去括号出现错误和乘法分配律出现错误； 故答案为:四，①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二项没有变号，②去括号时，括号里面的第二项没有与括号前的系数相乘； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：在进行分式的混合运算时，要注意运算顺序．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 19. 如图，当温度在时，水的密度（单位：）随着温度t（单位：）的变化关系图象，看图象回答问题． （1）图中的自变量是什么？因变量是什么？ （2）当水温度时，水的密度为多少？ （3）图中A点表示的意义是什么？ （4）当温度在变化时，水的密度是如何变化的？ 【答案】（1）自变量是温度t，因变量是水的密度 （2）当水温度时，水的密度为 （3）图中A点表示当水温度时，水的密度为（答案不唯一，合理即可） （4）当温度在时，水的密度随温度的上升而逐渐增大，当温度在时，水的密度随温度的上升而逐渐减小（或先增大后减小）（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，正确的识图，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）横坐标为自变量，纵坐标为因变量，作答即可； （2）根据图象进行作答即可； （3）根据点的含义作答即可； （4）根据图象进行作答即可． 【小问1详解】 解：由图可知，自变量是温度t，因变量是水的密度． 【小问2详解】 解：由图可知，当时，此时水的密度． 【小问3详解】 解：由图可知，点A表示当温度时，水的密度为． 【小问4详解】 解：由图可知，当温度在时，水的密度逐渐增大，当温度在时，水的密度逐渐减小． 20. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 【答案】（1）甲礼品100元，乙礼品60元；（2）5． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意列不等式求解即可． 试题解析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得：，解得：x=60，经检验x=60是原方程的根，∴x+40=100． 答：甲礼品100元，乙礼品60元； （2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意得：100m+60（30﹣m）≤2000，解得：m≤5． 答：最多可购买5个甲礼品． 考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．最值问题． 21. 已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： （1）画出函数的图象； （2）若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； （3）观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当时，，理由见解析 （3）当时，，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，比较一次函数值的大小，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，再描点、连线，画出对应的函数图象即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）求出两个一次函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：列表如下： x … 0 1 … … 1 … 函数图象如下所示： 【小问2详解】 解：当时，，理由如下： ∵，， ∴随x的增大而增大， ∵点和在一次函数的图象上，且， ∴； 【小问3详解】 解：当时，，理由如下： 联立，解得， ∴一次函数和的交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，． 22. 对于两个分式，如果，那么我们称分式与分式互为“相伴分式”．结合以上信息，完成下列各题． （1）下列互为“相伴分式”的是______；（填序号） ① 与 ；②与 ． （2）若 与 互为“相伴分式”，求x的值； （3）若 与 互为“相伴分式”，且为正整数，求整数的值． 【答案】（1）② （2）或 （3）或或或． 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法、解一元一次方程、解分式方程，熟练掌握运算法则并理解题意是解此题的关键． （）根据“相伴分式”(两分式差的绝对值为)的定义，计算各选项中两个分式的差值，判断其绝对值是否等于，进而选出符合条件的选项； （）依据定义列出含的方程，合并同分母分式后去分母转化为整式方程，求解后验证分式有意义； （）根据“两分式差的绝对值为”分两种情况列方程，整理后结合为正整数、为整数的条件，分析方程中未知数的约数情况，求解并筛选出符合要求的值． 【小问1详解】 解：①  ∵； ∴①的两个分式不互为“相伴分式”． ②． ∵对于两个分式，如果，那么我们称分式互为“相伴分式”． ∴②的两个分式互为“相伴分式”． 故答案为：②； 【小问2详解】 解：∵与互为相伴分式， ∴或， 由，解得，经检验：是原方程的解， 由，解得，经检验：是原方程的解， ∴或 【小问3详解】 解：∵与互为相伴分式， ∴或， ①由，解得， 所以是的约数， ∵为正整数，为整数， ∴， ∴或1或7， 当时，，； 当时，，； 当时，，； ∴当或或时，或或； 经检验：或或是原方程的解； ②由，解得， ∵为正整数，为整数， ∴， ∴， ∴，； 经检验：是原方程的解． 综上所述，或或或． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围为______； （3）点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据图象，直接写出不等式解集即可； （3）设点坐标为，点，利用代入数据求出值，继而求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：（1）一次函数与反比例函数的图象相交于，两点， ， 反比例函数解析式为， ，两点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为． 【小问2详解】 由反比例函数对称轴性质可得点， 由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或． 故答案为：或． 【小问3详解】 ∵直线解析式为， 故直线与轴交点坐标为，与轴交点坐标为， ∴， ， ∴， 设点坐标为，点， ， 解得， ∴或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $