期末考前满分冲刺之基础常考和中等易错题-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

**基本信息** 聚焦期末基础与易错点，以题型分类构建代数几何递进逻辑，强化概念辨析与综合应用 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础常考|约40题|选择填空为主，侧重概念辨析与基础运算|从代数基础概念（分式意义、事件分类）到基本运算（因式分解、二次根式运算），形成概念-运算逻辑链| |中等易错|约40题|含解答题，侧重综合应用与易错突破|代数难点（分式方程增根）与几何综合（特殊四边形证明）结合，体现从单一到综合的递进，培养推理能力与几何直观|

期末考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、调查方式与事件分类(选、填) 1．下列调查中，最适合抽样调查的是（   ） A．调查某校足球队员的身高 B．调查旅客随身携带的违禁物品 C．调查某班学生完成眼保健操执行的情况 D．调查全国中小学生对我国《梦舟》载人飞船的关注度 【答案】D 【分析】根据调查范围大小、结果准确性要求选择调查方式， 一般来说，范围小、易调查、结果要求准确；事关安全的调查适合普查，调查范围广、工作量大的调查适合抽样调查，逐个分析选项． 【详解】解：∵ 选项A中某校足球队员人数少，适合全面调查， ∴A不符合题意； ∵ 选项B中检查旅客违禁物品事关公共安全，必须逐一检查，适合普查， ∴B不符合题意； ∵ 选项C中某班学生人数少，适合全面调查， ∴C不符合题意； ∵ 选项D中调查对象是全国中小学生，范围广、人数多，工作量大，适合抽样调查， ∴D符合题意． 2．下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．在一个仅装有白球的袋中，摸出一个黑球 B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为7 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．在一个标准大气压下，水加热至沸腾时温度为 【答案】C 【详解】解：A选项，仅装有白球的袋子中不可能摸出黑球，因此A是不可能事件； B选项，骰子的最大点数为6，不可能出现点数为7的情况，因此B是不可能事件； C选项，掷质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，正面朝上是可能发生也可能不发生的事件，因此C是随机事件； D选项，标准大气压下，水沸腾时的温度一定为，因此D是必然事件． 3．自然现象中，“太阳从东方升起”是______事件． 【答案】必然 【详解】解：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件，太阳从东方升起是确定一定会发生的自然现象，符合必然事件的定义，因此“太阳从东方升起”是必然事件． 4．神舟二十二号飞船于北京时间2025年11月25日12时11分在酒泉卫星发射中心发射，二十二号载人航天飞船在发射前，需调查其零部件的质量，则采用最合适的调查方式为______．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】普查 【分析】本题考查调查方式的选择，需根据调查的重要性与要求，结合普查和抽样调查的适用场景进行判断． 【详解】解：根据题意，飞船零部件质量直接关系发射安全，必须保证每个零部件都合格，因此需要对所有零部件进行检查，最合适的调查方式为普查． 类型二、分式(根式)有意义、值为0(选、填) 1．函数的自变量的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式函数自变量的取值范围，根据分式分母不为零的条件列不等式求解即可得到结果. 【详解】解：∵函数是分式，分式的分母不能为， ∴， 解得. 2．要使在实数范围内有意义，则x须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 3．若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得． 4．分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意得：且， ∴． 类型三、最简(同类)二次根式与公分母(选、填) 1．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简公分母的确定方法，先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义计算即可． 【详解】解： 分式与的最简公分母是． 2．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确最简二次根式的两个判定条件，分别是被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据条件逐一判断各选项即可得到答案． 最简二次根式需满足两个条件∶①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】∵选项A中的被开方数含有分母，不满足条件，∴不是最简二次根式； ∵选项B中的被开方数16是能开得尽方的整数，，不满足条件，∴不是最简二次根式； ∵选项C中，被开方数含有分母，不满足条件，∴不是最简二次根式； ∵选项D中满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式． 3．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值是___________． 【答案】2 【分析】几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，这几个就是同类二次根式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 4．、的最简公分母是____． 【答案】 【分析】根据最简公分母就是“各系数的最小公倍数，所有字母的最高次幂”，即可得出答案． 【详解】解：分式的分母，都是单项式， 分式与的最简公分母是． 类型四、总体、个体、样本(容量)(选、填) 1．为了解我市初中八年级6800名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是（　　） A．6800名学生是总体 B．1700名学生的体育成绩是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查 【答案】B 【分析】根据统计相关的基本概念，包括总体、个体、样本、普查与抽样调查的定义，判断各选项即可． 【详解】解：A．总体是我市初中八年级名学生的体育成绩，不是名学生，错误，故不符合题意； B．名学生的体育成绩是从总体中抽取的一部分个体，符合样本的定义，∴B正确； C．总体的一个个体是每名学生的体育成绩，不是每名学生，错误，故不符合题意； D．本次调查只抽取了部分学生，属于抽样调查，不是普查，错误，故不符合题意． 2．为了解全市名八年级学生对“苏超联赛”的关注情况，某市体育局从全市八年级学生中随机抽取名进行问卷调查，统计其平均每个月观看赛事的时长．下列说法正确的是（　　） A．被抽取的500名学生是样本 B．全市28000名八年级学生的全体是总体 C．样本容量是500 D．被抽取的每一名八年级学生是个体 【答案】C 【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量，根据总体、个体、样本、样本容量的概念判断即可． 【详解】选项A：被抽取的500名学生平均每个月观看赛事的时长是样本，不是学生本身，所以选项A不符合题意； 选项B：全市28000名八年级学生对“苏超联赛”的关注情况，不是学生本身，所以B选项不符合题意； 选项C：样本容量是抽取的个体的量，即500，故C选项正确，符合题意； 选项D：被抽取的个体是八年级每一个学生观看赛事的时长，而不是八年级每一名学生，所以D不符合题意． 3．为了解某市90000名初三学生的体重情况，抽查了其中2000名学生的体重进行统计分析，其中1900名学生体重数据达标，则样本容量为______． 【答案】 2000 【详解】解：∵本次调查中，抽查的样本是2000名学生的体重，样本容量为样本中个体的数目， ∴样本容量为2000． 4．某学校为了了解七年级同学的视力情况，从七年级的10个班共500名学生中，每班随机抽取了6名进行分析．在这个问题中样本是_________． 【答案】抽取的名同学的视力情况 【分析】本题考查了样本概念．样本是从总体中抽取的一部分个体观测值的集合，在这个问题中，样本是指从七年级学生中随机抽取的部分学生的视力情况，从而确定答案． 【详解】解：总体是七年级名学生的视力情况，从个班中每班随机抽取名学生，共抽取名学生，因此样本是所抽取的名学生的视力情况， 故答案为：抽取的名同学的视力情况． 类型五、分式的基本性质求值(选、填) 1．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质判断各选项等式是否成立即可． 【详解】解：选项A、分式的分子分母同时加同一个数，不符合分式基本性质，等式不成立，A错误； 选项B、分式的分子分母同时减同一个数，不符合分式基本性质，等式不成立，B错误； 选项C、，根据分式基本性质，分子分母同乘不为0的数，分式的值不变，即成立，C正确； 选项D、当时，等式右边分母，无意义，等式不成立，D错误． 2．选择题：将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．扩大为原来的9倍 D．缩小为原来的倍 【答案】A 【分析】设，根据分式的性质，解答即可． 【详解】解：设， 根据分式的性质，得， 扩大3倍． 3．若，则分式的值为________． 【答案】 【分析】首先得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 4．若，则分式的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、代数式求值等知识点，利用分式的性质对分式变形是解题的关键． 由已知条件可得，然后整体代入所求分式化简即可解答． 【详解】解：由 ，得，即． 所以分式为 ． 故答案为：． 类型六、可能性大小与二次根式比较大小(选、填) 1．下列短语所反映的事件中，发生可能性最小的是（   ） A．夕阳西下 B．旭日东升 C．守株待兔 D．水中捞月 【答案】D 【详解】解：A、夕阳西下是必然事件，发生可能性为1； B、旭日东升是必然事件，发生可能性为1； C、守株待兔是随机事件，发生可能性大于0且小于1； D、水中捞月是不可能事件，发生可能性为0； 则发生可能性最小的是水中捞月． 2．盒子里有仅颜色不同的100个球，其中绿球有5个，黄球有12个，黑球有3个，其余为红球，小辰从中任意摸出一个球，摸到球的可能性最大的是（   ） A．绿球 B．黄球 C．红球 D．黑球 【答案】C 【分析】本题根据可能性大小的判断方法解题，哪种颜色的球数量越多，摸到该颜色球的可能性越大，先计算出红球的数量，再比较四种颜色球的数量大小即可得到结论. 【详解】∵总球数为100个，绿球5个，黄球12个，黑球3个， ∴红球数量为 个， ∵ ，即红球数量最多， ∴摸到红球的可能性最大. 3．比大小：__________． 【答案】> 【分析】本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 4．比较大小：________；（填“<”，“=”或“>”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 先比较平方的大小，再比较两数大小即可． 【详解】解：计算，， 由于，且和均为正数， 因此． 故答案为：． 类型七、分解因式(选、填、解) 1．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的有（   ） A． B．； C．； D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，左边是单项式，等式不成立，且右边不是整式积的形式，不符合要求； 选项B中，变形是整式乘法，是将几个整式的积化为多项式，不是因式分解； 选项C中，右边是和的形式，不是几个整式的积，不符合要求； 选项D中，左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义． 2．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的结构，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、，可用平方差公式分解，不符合完全平方公式； B、，符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解； C、无法化为的形式，不能用完全平方公式分解； D、的常数项为负，无法化为的形式，不能用完全平方公式分解； 故选：B． 3．因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，公式法因式分解是解题关键，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 4．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式； （2）直接利用平方差公式分解因式，再化简括号内的整式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 类型八、二次根式的运算(选、填、解) 1．下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算法则，只有同类二次根式可以合并，二次根式乘法法则为． 【详解】解：∵ 与不是同类二次根式，不能合并； ∴ A选项错误． ∵ 与不是同类项，不能合并； ∴ B选项错误． ∵ 根据二次根式乘法法则，； ∴ C选项计算正确． ∵ 与不是同类二次根式，不能合并． ∴ D选项错误． 综上，答案选C． 2．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则和整式乘法公式，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，无法直接合并相加，∴，A错误． 选项B：∵根据二次根式乘法法则，，∴，B正确． 选项C：∵根据完全平方公式，，∴，C错误． 选项D：∵，，，∴，D错误． 3．计算：______． 【答案】 【详解】解：原式 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用完全平方公式展开平方项，再计算二次根式的除法，最后合并同类项． （2）先化简二次根式，再利用平方差公式计算乘法，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型九、解分式方程(选、填、解) 1．已知代数式比的值大1，则（    ） A．－5 B．－3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据题意列出分式方程，利用分式的符号性质变形化简，求解后检验得到x的值，即可选出正确选项． 【详解】解：根据题意列方程得：， ， 原方程可变形为：， 合并左边得：， 两边同乘（）得：， 移项：， 解得 ， 检验：当时， ，因此是原方程的解． 2．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴， ∴， 检验，当时，， ∴方程的解为． 3．方程的解为______． 【答案】 【分析】先将分式方程通过去分母转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，得到原分式方程的解． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母，得 去括号，得 合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）对于分式方程，解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解． （2）对于分式方程，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解的情况． 【详解】（1）解：， ， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 故原分式方程无解． 类型十、分式的化简求值(解) 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时， 原式． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将的分子、分母因式分解，再变分式除法为分式乘法，约分化简，最后将代入求值． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】；2026 【分析】先处理括号内的分式加法，再处理分式除法，因为除以一个分式等于乘以它的倒数，所以将除法运算转化为乘法运算．对分子分母中的多项式进行因式分解，再约分得到最简结果，最后代入给定的x的值计算最终结果． 【详解】原式， 当时，． 4．先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】先利用分式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【中等易错】 类型一、估算二次根式(选、填) 1．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】先根据二次根式的乘法法则化简原式，再估算化简后无理数的范围，即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴，即在和之间． 2．估计的运算结果最接近下列哪个整数（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，计算出式子的结果，再根据无理数的估算方法求出结果的取值范围即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的运算结果最接近4， 故选：B． 3．已知，，估计的值约为____．（结果精确到两位小数） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质及算术平方根的估算，解题的关键是利用二次根式的性质，其中，将待求的算术平方根转化为已知的算术平方根进行计算． 观察可知可分解为与的乘积，而是完全平方数，因此可利用二次根式的性质将转化为，再结合已知的和进行估算． 【详解】解：∵， ∴根据二次根式的性质，可得： ． ∵，， ∴． 故答案为：． 4．估计的值在______． 【答案】3和4之间 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，无理数的估算，熟练掌握以上知识点是关键．先根据二次根式的混合计算法则得出，再估算的范围即可得到答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 故答案为：3和4之间 类型二、二次根式的化简(选、填) 1．化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先判断m、n的符号，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次根式有意义的条件确定的取值范围，然后根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴要求被开方数非负，即，得， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 3．化简二次根式化简的结果为______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，化简计算即可． 本题考查了二次根式的性质，化简计算，熟练掌握性质和化简计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 故， 故答案为：． 4．实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简：_______． 【答案】a 【分析】本题考查了数轴的相关知识及二次根式的化简．掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据数轴上点的位置，确定a、b的正负，判断出，再化简给出的代数式，合并后得结果； 【详解】解：由数轴可知，且，则， ， 故答案为：a． 类型三、分式方程的增根与无解(选、填) 1．若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求分式方程的增根，分式方程的增根是使分式方程分母为零的未知数的值，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 故选：A． 2．关于的分式方程无解，则实数的取值是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解为增根（使分母为零）或化简后矛盾． 首先化简方程，解出x关于m的表达式，然后检查x的取值是否使分母为零． 【详解】解：方程两边乘得：， 解得， 由分式方程无解，得到， 解得． 故选：D． 3．已知是关于的方程，若方程有增根，方程的增根为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是使分式方程分母为零的根，据此解答即可求解，理解增根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程有增根， ∴或， 解得， ∴方程的增根为， 故答案为：． 4．若关于x的方程无解，则m的值为______． 【答案】2 【详解】解：， 去分母，得， 得， ∵方程无解， ∴方程有增根， ∴， 解得． 类型四、平行四边形的性质与证明(选、填、解) 1．如图，在中，平分平分，且相交于上的一点，若，则的面积为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先由平行四边形性质得到相关边与角度，再由角平分线定义及平行线性质确定是直角三角形、是等边三角形，从而得到长度，过点作于点，由含直角三角形性质及勾股定理求出长度，最后由平行四边形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，则，，，， 平分平分， ，， ， ，， 则， 是直角三角形、是等边三角形， ， 在中，，，则， 过点作于点，如图所示： 在中，，则， 由得，则由勾股定理可得， 的面积为． 2．如图，在中，对角线交于点，．若．则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】 利用平行四边形的性质以及勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴． 3．如图，在中，，相交于点，，，若，则的面积为________． 【答案】 70 【分析】根据平行四边形的性质可得，，利用平行线的性质求出的度数，再根据对角线互相平分求出的长，过点作边上的高，利用含度角的直角三角形的性质求出高，最后利用三角形面积公式及平行四边形面积与三角形面积的关系求解 . 【详解】解：∵四边形为平行四边形 ， ，， ， ， ， 过点作于点， 在中，，， ， ， 四边形是平行四边形， . 4．如图，中， 对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理并结合平行四边形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵中， 对角线，相交于点O， ∴，， ∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，且， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 类型五、菱形与矩形的性质与证明(选、填、解) 1．如图，在菱形中，与交于点O，若，，则该菱形的面积是（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】C 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可； 【详解】解：根据题意，得菱形中，与交于点O，且，， 则该菱形的面积是； 2．如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质和勾股定理求出的长，由作图方法可知，平分，则，证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由作图方法可知，平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在菱形中，对角线，则__________． 【答案】9 【分析】根据菱形的对角线互相平分即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∴． 4．如图，为矩形对角线的交点，，，和相交于点． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积和周长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)27， 【分析】（1）从菱形的定义入手证明，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到结论； （2）由矩形和菱形的性质可知，的周长等于，的面积等于的面积． 【详解】（1）四边形是菱形． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，平分、， 即， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴的周长， ， 设底边上的高为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 类型六、分式方程的应用(含列方程)(选、填、解) 1．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，解题关键是根据 “数量差为3副” 这一等量关系，用含的代数式表示出两种球拍的购买数量，进而列出方程． 【详解】解：设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则W品牌每副球拍的单价为元，由等量关系如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副，列出方程： ． 2．某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合数量总价单价的关系列出方程即可． 【详解】解：设购进的第一批柑橘的单价为元，则第二批单价为元， 根据题意得：． 3．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为_________件． 【答案】400 【分析】设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹，根据时间差关系列分式方程求解，最后检验方程的解即可. 【详解】解：设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹． 根据题意，得 去分母，得 合并同类项，得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 4．党的二十届三中全会提出“完善强农惠农富农支持制度”．为助力乡村振兴，支持强农惠农富农，某合作社代销当地出产的甲、乙两种猕猴桃．已知乙种猕猴桃每件售价是甲种猕猴桃每件售价的1．5倍，同样用180元购买甲种猕猴桃的件数比乙种猕猴桃的件数多3件． (1)求甲、乙两种猕猴桃每件售价分别为多少元？ (2)某水果店计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共20件，且购买乙种猕猴桃的件数不少于甲种猕猴桃件数的一半．问该水果店最少需花费多少元？ 【答案】(1)甲种猕猴桃每件售价20元，乙种猕猴桃每件售价30元 (2)该水果店最少需花费470元 【分析】（1）设甲的售价为未知数，根据“180元购买甲的件数比乙多3件”的等量关系列方程求解，检验后得到结果； （2）结合一元一次不等式和一次函数性质求解，先根据件数的不等关系得到自变量的取值范围，再列出总花费的函数解析式，利用一次函数的增减性求出最小花费． 【详解】（1）解：设甲种猕猴桃每件售价为元，则乙种猕猴桃每件售价为元． 根据题意得 解方程得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则 答：甲种猕猴桃每件售价20元，乙种猕猴桃每件售价30元． （2）设购买甲种猕猴桃件，总花费为元，则购买乙种猕猴桃件． 根据题意得 解得 因为为非负整数，所以的最大值为13． 总花费 因为，所以随的增大而减小． 当时，取得最小值，（元） 答：该水果店最少需花费470元． 类型七、正方形的性质与证明(选、填、解) 1．如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则．在中，由勾股定理得，，进而可得答案． 【详解】解：由旋转得， 四边形为矩形， 四边形为正方形， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，． 2．如图，正方形的边长是2，是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得到，，设，则，作交于G，证明，得到，，证明，得到，则，根据勾股定理求出x的值，即可求出的长度． 【详解】解：∵正方形的边长是2， ∴，， 设，则， 作交于G， ∵平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴． 3．如图，在正方形中，E，F分别是，边上的点，．设，，则的面积为______________．(结果用含a，b的代数式表示)    【答案】 【分析】延长至点，使，连接，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质证明，从而得出，设，，利用勾股定理和完全平方公式建立关于的方程组，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，   四边形是正方形， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 设，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， ， ， ． 4．如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)尝试 淇淇取的中点，借助所作的辅助线证明了，请你试着完成证明； (2)探究 如图2，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变，尝试中的结论是否依然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)应用 在边上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，请在图3中画出图形并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)结论依然成立，证明见解析 (3)存在，画图，证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质证明，即可得出，再由角平分线的定义进一步可得出，由同角的余角相等得出，证明，由全等三角形的性质得出． （2）在上截取，同（1）的方法证明即可． （3）过点作，交于点，交于点，连接、，，利用等角的余角相等得出，证明，由全等三角形的性质得出，再由（1）（2）可知，等量代换可知，进而可判定四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：如图，连接， 四边形是正方形． ，， 点、分别为、的中点， ，， ， ， ， 是正方形外角的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：探究依然成立 证明：如图，在上截取， 四边形为正方形， ，， ，， ， 为正方形的外角平分线， ． ， ， ， ， ， ， ； （3）解：存在点使得四边形是平行四边形， 证明：如图，过点作，交于点，交于点，连接、， ， ， ，， ， ，， ， ， 由（1）可知， ， 四边形是平行四边形． 类型八、尺规作图(选、填、解) 1．在数学实践课上，老师提出如下问题： 已知：，尺规作图：平行四边形． 甲同学的主要作法如下： ①如图，作，且点与点在的异侧； ②在射线上截取，连接． 关于上面内容，下列说法正确的是（    ）    A．甲同学的作法是错误的 B．甲同学作图的依据是“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” C．甲同学作图的依据是“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” D．以上说法均错误 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是读懂图象选项，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可判断； 【详解】解：“甲同学的作法是正确的．”甲同学这样作图的依据是：一组对边相等且平行的四边形是平行四边形． 故选：B 2．如图，在中，，，平分交于点D，按下列步骤作图：①分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线，分别交于点E，O，F；③连接．根据以上作图步骤，则下列结论错误的是（    ） A．与互相垂直且平分 B．图中等腰直角三角形有8个 C．四边形为正方形 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质、正方形的判定和性质等知识．由作图可知，是的垂直平分线，推出，，得到四边形是正方形，根据，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：∵平分，， ∴， 由作图可知，是的垂直平分线，即是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴与互相垂直且平分，选项A说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形，共8个，选项B说法正确，不符合题意； ∵，， ∴四边形是正方形，选项C说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，，， ∴，选项D说法不正确，符合题意； 故选：D． 3．如图，在平行四边形中，，，连接，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．则的周长为_____． 【答案】10 【分析】根据作图得到垂直平分，进而得到，推出的周长为，进行求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 4．如图，四边形是平行四边形，用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹），并解答问题： (1)作图：作对角线的垂直平分线，与、、分别交于点E、F、O，连接、； (2)判断（1）中所得四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，，从而得出，再根据平行四边形的性质得出，利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分， ∴，． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定是解答本题的关键． 类型九、中位线的性质性质与证明(含梯形)(选、填、解) 1．如图，在中，，D是中点，平分，，垂足为E，连接，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】延长交于点F，证明，再利用三角形中位线求解即可； 【详解】解：延长交于点F， ∵平分，， ∴， ， ∴， ∴，， ∵D是中点， ∴， ∴, ∵， ， 故 故； 2．如图，在四边形中，，，点E是对角线的中点，点F，G分别是，边的中点，连接，，．若，则线段的长度为（   ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】因为E、F、G分别是、、的中点，所以可利用三角形中位线定理，分别求出和的长度．因为，可利用勾股定理求出的长度． 【详解】∵是中点，是中点， ∴ ， 又∵是中点， ∴ ， ∵， ∴ ． 3．如图，在中，已知，，，D，E分别是的中点，F为上一点，且满足，则________． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点F为的中点时，在上取点F，使点F，B关于对称，连接交于点G，即可求解． 【详解】解：如图，当点F为的中点时， ∵D，E分别是的中点， ∴均为的中位线， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，符合题意， 此时； 如图，在上取点F，使点F，B关于对称，连接交于点G， ∴，， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∵D，E分别是的中点， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， 解得：； 综上所述，或． 4．【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 【答案】(1)；，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）先根据梯形面积求解得到的值，再由梯形中位线求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：连接并延长，交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （2）解：梯形的面积为，高为， ∴ ∴ 则梯形的中位线． 类型十、统计与概率(解) 1．某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查人数是________，请补全条形统计图； (2)扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_______，选项“偶尔”对应的圆心角是________； (3)若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】(1)200；见解析 (2)25；36 (3)700 【分析】（1）用“偶尔”的人数除以其人数占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出其占比，用乘以“偶尔”的人数占比可求出对应的圆心角； （3）用2000乘以样本中“一直”的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，本次抽查的人数为（人）， ∴“较多”的人数为（人）， 补全条形统计图，如图所示： （2）解：“较少”的百分比为， ∴， “偶尔”对应的圆心角的度数为； （3）解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有名． 2．为持续深耕“大阅读”项目，某校准备了解学生每天的读书情况．数学兴趣小组随机抽取了部分学生展开调查，了解他们每天读书时长情况，并按时长（单位：分钟）分为4个等级：A．，B．，C．，D．，将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有 人，扇形统计图中的值是 ； (2)请将条形统计图补充完整；扇形统计图中，“C”对应扇形的圆心角为 度； (3)如果该校有2000名学生，请你估计该校每天读书时长不少于20分钟的学生大约有多少人？ 【答案】(1)，20； (2)见解析，； (3)该校每天读书时长不少于20分钟的学生大约有人． 【分析】（1）用B等级的人数除以其人数占比即可得到这次被调查的学生人数；用D人数除以这次被调查的学生人数，得到D等级的人数占比，即可得到答案； （2）先求出C等级的人数，然后补全统计图，最后用C的人数除以总数乘以即可； （3）用乘以样本中C等级和D等级的人数占比之和即可得到答案． 【详解】（1）解：人， ∴这次被调查的学生共有人， ， ∴； （2）解：由（1）得C等级的人数为人， 补全统计图如下所示： “C”对应扇形的圆心角为； （3）解：人， ∴该校每天读书时长不少于20分钟的学生大约有人． 3．靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称，韩叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 800 1000 2000 成活数 47 90 183 362 724 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.905 0.902 0.901 (1)上表中，________，________； (2)根据上表的数据，请你估计该种苹果树苗成活的概率是多少？（精确到0.1） 【答案】(1)，1802 (2) 【分析】1）根据成活率成活数移植棵数，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9． 4．某工厂接到一批电池的订单量，在电池生产的过程中，质检员会在一段时间内先后对多个批次的电池进行抽检，目的是估计电池的合格率，及时调整生产的数量和进度，满足客户需求．下表是质检员对某一批电池抽检过程中的数据统计． 抽检电池的数量 1000 1500 2000 2500 3000 3500 合格电池的数量 982 1464 1956 2455 2940 3430 电池合格的频率 0.982 0.976 0.982 0.980 (1)__________，__________；（结果精确到0.001） (2)根据表格数据，估计该工厂生产电池合格的概率为多少？（结果精确到0.01） 【答案】(1)0.978，0.980 (2)0.98 【分析】（1）根据电池合格的频率为计算； （2）根据频率估计概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，， （2）解：根据表格中的数据可知：电池合格的频率稳定在0.98左右， 估计该工厂生产电池合格的概率为0.98． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、调查方式与事件分类(选、填) 1．下列调查中，最适合抽样调查的是（   ） A．调查某校足球队员的身高 B．调查旅客随身携带的违禁物品 C．调查某班学生完成眼保健操执行的情况 D．调查全国中小学生对我国《梦舟》载人飞船的关注度 2．下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．在一个仅装有白球的袋中，摸出一个黑球 B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为7 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．在一个标准大气压下，水加热至沸腾时温度为 3．自然现象中，“太阳从东方升起”是______事件． 4．神舟二十二号飞船于北京时间2025年11月25日12时11分在酒泉卫星发射中心发射，二十二号载人航天飞船在发射前，需调查其零部件的质量，则采用最合适的调查方式为______．（填“普查”或“抽样调查”） 类型二、分式(根式)有意义、值为0(选、填) 1．函数的自变量的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．要使在实数范围内有意义，则x须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．若二次根式有意义，则的取值范围是_____． 4．分式的值为0，则x的值为______． 类型三、最简(同类)二次根式与公分母(选、填) 1．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 3．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值是___________． 4．、的最简公分母是____． 类型四、总体、个体、样本(容量)(选、填) 1．为了解我市初中八年级6800名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是（　　） A．6800名学生是总体 B．1700名学生的体育成绩是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查 2．为了解全市名八年级学生对“苏超联赛”的关注情况，某市体育局从全市八年级学生中随机抽取名进行问卷调查，统计其平均每个月观看赛事的时长．下列说法正确的是（　　） A．被抽取的500名学生是样本 B．全市28000名八年级学生的全体是总体 C．样本容量是500 D．被抽取的每一名八年级学生是个体 3．为了解某市90000名初三学生的体重情况，抽查了其中2000名学生的体重进行统计分析，其中1900名学生体重数据达标，则样本容量为______． 4．某学校为了了解七年级同学的视力情况，从七年级的10个班共500名学生中，每班随机抽取了6名进行分析．在这个问题中样本是_________． 类型五、分式的基本性质求值(选、填) 1．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．选择题：将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．不变 C．扩大为原来的9倍 D．缩小为原来的倍 3．若，则分式的值为________． 4．若，则分式的值为_____． 类型六、可能性大小与二次根式比较大小(选、填) 1．下列短语所反映的事件中，发生可能性最小的是（   ） A．夕阳西下 B．旭日东升 C．守株待兔 D．水中捞月 2．盒子里有仅颜色不同的100个球，其中绿球有5个，黄球有12个，黑球有3个，其余为红球，小辰从中任意摸出一个球，摸到球的可能性最大的是（   ） A．绿球 B．黄球 C．红球 D．黑球 3．比大小：__________． 4．比较大小：________；（填“<”，“=”或“>”）． 类型七、分解因式(选、填、解) 1．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的有（   ） A． B．； C．； D． 2．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．因式分解：_____． 4．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 类型八、二次根式的运算(选、填、解) 1．下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算：______． 4．计算： (1) (2) 类型九、解分式方程(选、填、解) 1．已知代数式比的值大1，则（    ） A．－5 B．－3 C．4 D．6 2．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．方程的解为______． 4．解方程： (1)； (2)． 类型十、分式的化简求值(解) 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值：．其中． 【中等易错】 类型一、估算二次根式(选、填) 1．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．4和5之间 2．估计的运算结果最接近下列哪个整数（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知，，估计的值约为____．（结果精确到两位小数） 4．估计的值在______． 类型二、二次根式的化简(选、填) 1．化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．化简二次根式化简的结果为______． 4．实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简：_______． 类型三、分式方程的增根与无解(选、填) 1．若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 2．关于的分式方程无解，则实数的取值是（   ） A． B． C．0 D．2 3．已知是关于的方程，若方程有增根，方程的增根为______． 4．若关于x的方程无解，则m的值为______． 类型四、平行四边形的性质与证明(选、填、解) 1．如图，在中，平分平分，且相交于上的一点，若，则的面积为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．如图，在中，对角线交于点，．若．则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，，相交于点，，，若，则的面积为________． 4．如图，中， 对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，且，求线段的长． 类型五、菱形与矩形的性质与证明(选、填、解) 1．如图，在菱形中，与交于点O，若，，则该菱形的面积是（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 2．如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 3．如图，在菱形中，对角线，则__________． 4．如图，为矩形对角线的交点，，，和相交于点． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积和周长． 类型六、分式方程的应用(含列方程)(选、填、解) 1．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为_________件． 4．党的二十届三中全会提出“完善强农惠农富农支持制度”．为助力乡村振兴，支持强农惠农富农，某合作社代销当地出产的甲、乙两种猕猴桃．已知乙种猕猴桃每件售价是甲种猕猴桃每件售价的1．5倍，同样用180元购买甲种猕猴桃的件数比乙种猕猴桃的件数多3件． (1)求甲、乙两种猕猴桃每件售价分别为多少元？ (2)某水果店计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共20件，且购买乙种猕猴桃的件数不少于甲种猕猴桃件数的一半．问该水果店最少需花费多少元？ 类型七、正方形的性质与证明(选、填、解) 1．如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的长为（   ） A． B． C．4 D． 2．如图，正方形的边长是2，是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，E，F分别是，边上的点，．设，，则的面积为______________．(结果用含a，b的代数式表示)    4．如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)尝试 淇淇取的中点，借助所作的辅助线证明了，请你试着完成证明； (2)探究 如图2，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变，尝试中的结论是否依然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)应用 在边上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，请在图3中画出图形并证明；若不存在，请说明理由． 类型八、尺规作图(选、填、解) 1．在数学实践课上，老师提出如下问题： 已知：，尺规作图：平行四边形． 甲同学的主要作法如下： ①如图，作，且点与点在的异侧； ②在射线上截取，连接． 关于上面内容，下列说法正确的是（    ）    A．甲同学的作法是错误的 B．甲同学作图的依据是“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” C．甲同学作图的依据是“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” D．以上说法均错误 2．如图，在中，，，平分交于点D，按下列步骤作图：①分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线，分别交于点E，O，F；③连接．根据以上作图步骤，则下列结论错误的是（    ） A．与互相垂直且平分 B．图中等腰直角三角形有8个 C．四边形为正方形 D．若，，则 3．如图，在平行四边形中，，，连接，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．则的周长为_____． 4．如图，四边形是平行四边形，用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹），并解答问题： (1)作图：作对角线的垂直平分线，与、、分别交于点E、F、O，连接、； (2)判断（1）中所得四边形的形状，并说明理由． 类型九、中位线的性质性质与证明(含梯形)(选、填、解) 1．如图，在中，，D是中点，平分，，垂足为E，连接，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，在四边形中，，，点E是对角线的中点，点F，G分别是，边的中点，连接，，．若，则线段的长度为（   ） A．5 B． C． D．3 3．如图，在中，已知，，，D，E分别是的中点，F为上一点，且满足，则________． 4．【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 类型十、统计与概率(解) 1．某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查人数是________，请补全条形统计图； (2)扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_______，选项“偶尔”对应的圆心角是________； (3)若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 2．为持续深耕“大阅读”项目，某校准备了解学生每天的读书情况．数学兴趣小组随机抽取了部分学生展开调查，了解他们每天读书时长情况，并按时长（单位：分钟）分为4个等级：A．，B．，C．，D．，将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有 人，扇形统计图中的值是 ； (2)请将条形统计图补充完整；扇形统计图中，“C”对应扇形的圆心角为 度； (3)如果该校有2000名学生，请你估计该校每天读书时长不少于20分钟的学生大约有多少人？ 3．靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称，韩叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 800 1000 2000 成活数 47 90 183 362 724 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.905 0.902 0.901 (1)上表中，________，________； (2)根据上表的数据，请你估计该种苹果树苗成活的概率是多少？（精确到0.1） 4．某工厂接到一批电池的订单量，在电池生产的过程中，质检员会在一段时间内先后对多个批次的电池进行抽检，目的是估计电池的合格率，及时调整生产的数量和进度，满足客户需求．下表是质检员对某一批电池抽检过程中的数据统计． 抽检电池的数量 1000 1500 2000 2500 3000 3500 合格电池的数量 982 1464 1956 2455 2940 3430 电池合格的频率 0.982 0.976 0.982 0.980 (1)__________，__________；（结果精确到0.001） (2)根据表格数据，估计该工厂生产电池合格的概率为多少？（结果精确到0.01） 1 学科网（北京）股份有限公司 $