第七章 复数 章末复习卷 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学复数章末复习卷，融合数学文化与创新情境，覆盖复数概念、运算及几何意义，适配单元复习巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|线性相关、复平面坐标|第1题新定义线性相关，考查抽象能力| |多选|3/18|复数模、几何意义|第11题结合三角形式与周期性，培养推理意识| |填空|3/15|欧拉公式、方程根几何意义|第12题引用欧拉公式，体现数学文化| |解答|5/77|纯虚数、方程根应用|17题方程虚根与等边三角形结合，发展应用意识|

第七章 复数章末复习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关，若复数线性相关，则的一组值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的线性相关定义，依次将各选项代入检验即可判断. 【详解】对于A，当时，，故A不合题意； 对于B，当时，，故B不合题意； 对于C，当时，，符合题意； 对于D，当时，，故D不合题意. 2．若，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 所以，所以在复平面内对应的点的坐标为. 3．设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据复数的除法，求得复数的代数形式，再根据共轭复数的概念及复数的模长公式，即可求解. 【详解】由题意，，则， 所以，所以. 4．如图，若向量对应的复数为z，则表示的复数为（    ）    A．1＋3i B．－3－i C．3－i D．3＋i 【答案】D 【解析】利用复数与向量的对应关系可得z＝1－i，再利用复数的运算法则即可得出答案. 【详解】由题图可得Z（1，－1），即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的几何意义、复数与向量之间的对应关系、复数的运算法则. 5．已知复数的实部为，复数的虚部为，且为纯虚数，为实数，若在复平面内对应的点不在第一象限，则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】可设，，、，根据题中条件列出等式或不等式求出、的值，可计算出复数，即可得出结论. 【详解】设，，、， 因为为纯虚数，所以且. 因为为实数，所以. 由，解得或. 又在复平面内对应的点不在第一象限，所以不符合， 于是，对应的点在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，根据题意求出复数的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 6．定义：复数是的转置复数，记为；复数是的共轭复数，记为. 给出下列命题：①；②；③, 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据转置复数定义，利用共轭复数的概念和复数的乘法运算，结合复数相等的条件进行判定. 【详解】,,故①正确； ，故②正确； 设，)，则 ， 故一般来说，（虽然存在个别情形使得二者相等），故③错误； 综上，正确的命题有2个， 故选：C. 7．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用复数的除法运算化简z, 复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解. 【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为 故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题. 8．设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数满足，则（   ） A．的虚部为1 B． C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】ACD 【详解】因为，故虚部为1，选项A正确. ，选项B错误. ，选项C正确. 在复平面内对应的点位于第一象限，选项D正确. 10．已知复数，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则． B．在复平面内对应的点为，且满足，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】ACD 【详解】对于选项A，取，，则，但不全为0，故A错误. 对于选项B，先化简，在复平面对应点为，模长，条件，点的轨迹是以为圆心，以1和2为半径的圆环，故的最大值是，最小值是，所以可得，故B正确. 对于选项C.复数不能比较大小，仅实数可比较，故仅能说明为正实数，不能保证为实数，若不为实数，则无意义，故该命题错误. 对于选项D.，若，等式成立，不满足，故D错误. 11．已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（     ） A．的三角形式为 B．若，则实数的值为3 C．，，……，中有44个正整数 D． 【答案】BC 【分析】对于A，直接代入结合复数三角形式即可求解；对于B，根据复数运算得的虚部为，再由复数的概念即可求；对于C，根据题意，先求得，再判断即可；对于D，由即可判断． 【详解】对于A，当时，， 则对应的三角形式为，故A错误； 对于B， ， 又， 所以， 则的虚部为， ，，解得，B正确； 对于C，先求，根据复数模的性质：若，则， 对于，模为， 所以 ， 要使为正整数，则必须是完全平方数， 即（），则， 因为，所以，即， 因为，，， 又因为，所以，故， 所以从到，共个正整数，选项C正确； 对于D，由， ， ， ，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，的共轭复数为_________. 【答案】 【分析】根据欧拉公式化简复数，再根据共轭复数的定义，即可求解 【详解】由，故的共轭复数为. 故答案为： 13．已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________. 【答案】 【分析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程的两复根为，，根据条件可得边长之间关系式，进而得解. 【详解】根据题意设方程的两虚根为，，为实数， 方程的两根在复平面上对应的点分别为和，轴， 又是等边三角形，高为2，则， 解得，则； 则. 故答案为． 14．已知复数，其中，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】设，由已知可得，可设对应对应，满足，结合向量的运算与三角函数即可转化求解的取值范围. 【详解】设， 由，可得， ，已知， 设对应对应，则， 则， ， ，即， 的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设实数，复数 ． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用纯虚数实部为0且虚部不为0的限制求解即可, （2）利用实系数一元二次方程“复数根成对共轭出现”的性质找出另一根，随后通过韦达定理即可求解. 【详解】（1） 因为复数是纯虚数，所以,解得, 综上所述. （2）当时，， 因为方程为实系数一元二次方程，所以复数根成对共轭出现，另一根为 ． 由韦达定理得 综上所述，． 16．已知复数． (1)若复数z在复平面内对应点，求实数m的值； (2)若复数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数对应的点的坐标建立方程组求解即可； （2）由可知为纯虚数，建立方程求解即可. 【详解】（1）若复数z在复平面内对应点， 则有， 解得； （2）设复数， 若为负实数，则有， 则有且，即为纯虚数． 因复数， 则复数z为纯虚数，即， 解得． 17．设，已知是关于的方程的两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）利用实系数一元二次方程的韦达定理，由求出，再结合虚根条件，即可求得的取值范围； （2）先通过韦达定理和求出和，再解方程求出两个虚根，最后通过利用的周期性即可求得结果. 【详解】（1）（1）对于实系数一元二次方程，有， 又因为，所以，即， 因为是关于的方程的两个虚根， 所以，即， 所以的取值范围为. （2）由韦达定理知，，即，， 因为，所以， 因为方程有虚根，所以，所以，即. 所以方程为，解得，即， 所以， 故. 18．设是实数，复数，（是虚数单位）. (1)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简复数，根据第一象限点的实部、虚部均大于0，列不等式组解得的范围； （2）先求，再计算并求其模，转化为二次函数求最小值. 【详解】（1）， 复数在复平面内对应点的坐标为， 第一象限的点满足实部、虚部均大于0，因此，. 解得，即的取值范围是. （2）由得共轭复数，则 ， 根据复数模的计算公式得. 因为为实数，，当时，取最小值20，因此： ，即最小值为. 19．已知关于的方程有两个复数根． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】（1）已知方程，结合讨论判别式的情况，得出关于的不等式组求解. （2）分和两种情况讨论，当，通过韦达定理得到，，结合得到关于的方程求解；当时，两虚数根与是共轭虚数，根据求解. 【详解】（1）已知，则. 若，根为实数，虚部为0，不满足. 若，根为虚数，由求根公式得：. 由可知，，. 所以 （2）i）当，即时，由韦达定理知：，. 若，两根异号，. 由或（，故舍去）. 若，两根同号为负，， 由，矛盾，舍去. ii）当，即时，与是共轭虚数，则，结合，得， 综上，或4. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数章末复习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关，若复数线性相关，则的一组值可以为（   ） A． B． C． D． 2．若，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，若向量对应的复数为z，则表示的复数为（    ） A．1＋3i B．－3－i C．3－i D．3＋i 5．已知复数的实部为，复数的虚部为，且为纯虚数，为实数，若在复平面内对应的点不在第一象限，则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第四象限 6．定义：复数是的转置复数，记为；复数是的共轭复数，记为. 给出下列命题：①；②；③, 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 8．设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数满足，则（   ） A．的虚部为1 B． C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 10．已知复数，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则． B．在复平面内对应的点为，且满足，则． C．若，则． D．若，则． 11．已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（     ） A．的三角形式为 B．若，则实数的值为3 C．，，……，中有44个正整数 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，的共轭复数为_________. 13．已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则__________. 14．已知复数，其中，则的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设实数，复数 ． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 16．已知复数． (1)若复数z在复平面内对应点，求实数m的值； (2)若复数，求m的值． 17．设，已知是关于的方程的两个虚根. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值. 18．设是实数，复数，（是虚数单位）. (1)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)求的最小值. 19．已知关于的方程有两个复数根． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $