8.4.1 平面 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面的概念、画法、表示，点线面位置关系及平面基本事实与推论，通过课前微思考（如“平面能否分空间”）、微训练（判断相交平面画法），从直观实例过渡到抽象概念，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于强化文字、图形、符号三种语言转化（如典例用符号表述点线面关系并画图），结合数学抽象、逻辑推理素养，通过规律总结（如三种语言转换方法）和学以致用（如点线共面证明）深化理解。助力学生提升空间观念，教师可借助结构化内容高效教学。

第八章　立体几何初步 8.4.1　平面 目 标 素 养 1.在直观认识的基础上,感受平面的概念,掌握平面的画法及表示方法,提升数学抽象素养. 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系,提升逻辑推理素养. 3.能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实及推论,理解其地位和作用,提升逻辑推理和直观想象素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周 无限延展 的.  微思考1 一个平面能否把空间分成两部分? 提示：因为平面是无限延展的,所以一个平面能把空间分成两部分. 2.平面的画法 常用矩形的直观图,即 平行四边形 表示平面.如图①,当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成 横向 ;如图②,当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成 竖向 .在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常把被挡住的部分画成 虚线 或不画.如图③.  ③ 微训练1 下图均表示两个相交平面,其中画法正确的是 (　　) 答案:D 3.平面的表示法 (1)用希腊字母α,β,γ等表示平面,例如:图①中的平面表示为平面α. (2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示平面,例如:图①中的平面表示为平面ABCD. (3)用代表平面的平行四边形相对的两个顶点的大写英文字母表示平面,例如:图①中的平面表示为平面AC或平面BD. 4.点、线、面之间的位置关系 微训练2 若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α之间的关系可记为(　　) A.M∈a,a∈α B.M∈a,a⊂α C.M⊂a,a⊂α D.M⊂a,a∈α 答案:B 5.平面的基本事实 微思考2 空间任意三点能确定一个平面吗? 提示:不一定.空间中只有不共线的三点才能确定一个平面. 6.基本事实的三个推论 推论1:经过一条直线和　这条直线外一点　,有且只有一个平面.  推论2:经过两条　相交　直线,有且只有一个平面.  推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 微拓展 基本事实1,2,3和三个推论的作用 (1)基本事实1和三个推论是确定平面的依据. (2)基本事实2既可以判断直线是否在平面内,又能说明平面的“平”和“无限延展”. (3)基本事实3既是判断两个平面的依据,又是证明点共线、线共点的依据. 课堂·重难突破 一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 典例剖析 1.用符号表示下列语句,并画出图形. (1)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上. (2)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B; (3)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC. 解:(1)用符号表示为A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB,图形如图①所示. (2)用符号表示为α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,图形如图②所示. (3)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形如图③所示. ① ② ③ 规律总结 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形中点、直线和平面的数量及相互之间的位置关系,先用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)要注意符号语言的规范.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别. 学以致用 1.(1)如图所示,用符号语言可表述为(　　) A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=A B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A C.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n 答案:A　 (2)已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点.若α∩β=l,m⊂α,n⊂β,m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为　　　　　.  答案:P∈l 解析:因为m⊂α,n⊂β,m∩n=P,所以P∈α,且P∈β. 又α∩β=l, 所以点P在直线l上, 所以P∈l. 二 点线共面问题 典例剖析 2.如图,已知:a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ⊂α.   证明：∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面β. ∴直线a⊂β,点P∈β.∵P∈b,b⊂α,∴P∈α. 又a⊂α,∴α与β重合.∴PQ⊂α. 规律总结 解决点线共面问题的基本方法 学以致用 2.求证:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内. 解:已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C. 求证:直线AB,BC,AC共面. 证法一:因为AC∩AB=A,所以直线AB,AC可确定一个平面α. 因为B∈AB,C∈AC, 所以B∈α,C∈α,故BC⊂α. 因此直线AB,BC,AC都在平面α内, 所以直线AB,BC,AC共面. 证法二:因为A不在直线BC上, 所以点A和直线BC可确定一个平面α. 因为B∈BC,所以B∈α, 又A∈α,所以AB⊂α.同理AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面. 证法三:因为A,B,C三点不在同一条直线上, 所以A,B,C三点可以确定一个平面α. 因为A∈α,B∈α,所以AB⊂α, 同理BC⊂α,AC⊂α, 故直线AB,BC,AC共面. 三 点共线、线共点问题 典例剖析  3.如图,已知平面α,β,且α∩β=l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β. 求证:AB,CD,l相交于一点. 证明:因为梯形ABCD中,AD∥BC, 所以AB,CD是梯形ABCD的两腰,必定相交于一点. 设AB∩CD=M. 又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β. 又因为α∩β=l,所以M∈l.即AB,CD,l相交于一点. 规律总结 1.证明三点共线的方法 (1)首先找出两个平面,然后证明：这三点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3可知,这些点都在两个平面的交线上. (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明：另一点也在此直线上. 2.证明三线共点的步骤 (1)说明两条直线共面且交于一点. (2)说明这个点在另两个平面上,并且这两个平面相交. (3)得到交线也过此点,从而得到三线共点. 学以致用 3.如图,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别取点E,F,G, H,如果EF,GH交于一点P,求证:点P在直线BD上. 证明:若EF,GH交于一点P, 则E,F,G,H四点共面, 又因为EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD, 平面ABD∩平面CBD=BD, 所以P∈平面ABD,且P∈平面CBD, 由基本事实3可得P∈BD.所以点P在直线BD上. 随堂训练 1.如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为(　　) A.A⊂a,a⊂α,B∈α B.A∈a,a⊂α,B∈α C.A⊂a,a∈α,B⊂α D.A∈a,a∈α,B∈α 答案:B 2.当我们停放自行车时,只要将自行车旁的撑脚放下,自行车就稳了,这用到了(　　) A.三点确定一平面 B.不共线三点确定一平面 C.两条相交直线确定一平面 D.两条平行直线确定一平面 答案:B 3.(多选题)A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述正确的是(　　) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α B.A∈α,A∈β,B∈β,B∈α⇒α∩β=直线AB C.A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合 D.l∈α,n∈α,l∩n=A⇒l与n确定唯一平面 答案:ABC 4.不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定　　个平面.  答案:3 解析:三条直线相交于一点,最多可确定3个平面.如图,直线a,b,c相交于点A,直线a,b确定平面α,直线b,c确定平面β,直线a,c确定平面γ,共3个平面. 5.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,求证:点P在直线DE上. 证明:因为P∈AB,AB⊂平面ABC, 所以P∈平面ABC. 又P∈α,平面ABC∩平面α=DE, 所以P∈直线DE. 所以点P在直线DE上. $