8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，通过“微拓展”流程图展示三者转化关系，以棱柱上底面变小为棱台、棱台上底面缩为点为棱锥为学习支架，衔接体积公式推导，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合逻辑推理与数学运算素养，通过补形法求四面体体积等典例及公式法、等积法等规律总结，培养空间观念。如正三棱锥体积计算提升运算能力，丰富实例助学生巩固知识，为教师提供系统教学资源。

第八章　立体几何初步 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积 和体积 目 标 素 养 1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式,提升逻辑推理素养. 2.能用棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式解决简单的实际问题,提升数学运算素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. 微提醒 棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图和底面的面积之和,因此弄清侧面展开图和底面的形状及图中各线段的长,是解决表面积问题的关键. 微训练1 棱长为3的正方体的表面积为(　　) A.27 B.64 C.54 D.36 答案:C 解析:S=6×32=54. 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱的体积公式:V=　Sh　(底面面积为S,高为h);  棱锥的体积公式:V=  Sh　(底面面积为S,高为h);  棱台的体积公式:V=  　,其中S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高.  微拓展 棱柱、棱锥、棱台之间有如下关系: 根据以上关系,在棱台的体积公式中,令S=S',得到棱柱的体积公式;令S'=0,得到棱锥的体积公式.其关系如下所示: 微训练2 棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积为　　　　　.  课堂·重难突破 一 棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 典例剖析 1.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长分别为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为　　　　　.  答案:160 解:如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,体对角线A1C=15,B1D=9, ∴a2+52=152,b2+52=92, ∴a2=200,b2=56. ∵该直四棱柱的底面是菱形, ∴AB=8.∴该直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160. 规律总结 关于棱锥、棱台的表面积 能直接求各个面的面积的可直接将各面积相加.计算时要注意构造直角三角形、直角梯形,如图四棱锥、四棱台中的直角三角形、直角梯形. 学以致用 1.已知侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a,则该三棱锥的表面积是(　　) 答案:A 解析:由题意知该正三棱锥的底面是边长为a的正三角形. ∵侧面都是等腰直角三角形, 二 棱柱、棱锥和棱台的体积 典例剖析  2.(2025广西梧州期末)若正三棱锥的所有棱长均为3,则该正三棱锥的体积为(　　) A.3 B. C. D. 答案:C 解析:如图,正三棱锥P-ABC,PA=PB=PC=AB=AC=BC=3. 取BC的中点D,连接AD,取等边三角形ABC的中心O,连接PO, 由正四面体的性质可知,顶点与底面中心的连线垂直于底面, ∴PO⊥平面ABC,即三棱锥P-ABC的高为PO. ∵AB=AC=BC=3, ∴AD=, ∴AO=. ∴OP=. ∴VP-ABC=S△ABC·OP=×3×3×. 故选C. 学以致用 2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为　　　　　.  三 多面体的体积 典例剖析 解:以四面体的各棱为对角线,将其补为长方体,如图所示. 设长方体的长、宽、高分别为x,y,z, 规律总结 求几何体体积的常用方法 学以致用 3.如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积. 解:如图,连接EB,EC. 随堂训练 1.已知正四棱锥各棱长均为a,则其表面积为(　　) 答案:B 答案:B 3.若长方体的体对角线长为2 ,长、宽、高的比为3∶2∶1,则它的表面积为(　　) A.44 B.88 C.64 D.48 答案:B 解析:设长、宽、高分别为3x,2x,x(x>0), 所以长方体的长、宽、高分别为6,4,2. 故表面积S=2×(24+12+8)=88. 4.已知一个六棱锥的体积为2 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为　　　　　.  答案:12 解析:设正六棱锥的高为h,侧面的斜高为h'. 5.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为　　　　　.  $