8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 温故知新 1.多面体的表面积：围成它的各个面的面积之和. 解：如图，取AB的中点E，连接PE，则PE⊥AB 因此，正四棱锥P-ABCD的表面积为 [例1]已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积. A C B P D E 新知一：表面积 [练习1]P119-1如图，八面体的每一个面都是正三角形，且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为30cm的正方形，则该八面体的表面积为____. 考点一：求表面积 [练习2]正六棱台的上，下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积. A D B C F E A' D' B' C' F' E' 解：如图示，AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm. 因此，正六棱台的表面积为 考点一：求表面积 2. 棱柱、棱锥、棱台的体积 (S,h分别为棱柱的底面积和高) 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离. 特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高. 新知二：体积 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍． (S,h分别为棱锥的底面积和高) 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. 新知二：体积 (S',S分别为上/下底面积，h为棱台的高) 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.         新知二：体积 棱台是由棱锥截出来的，因此可利用两个锥体的体积差， 得到棱台的体积公式． 推导棱台体积公式 根据面积比=相似比的平方，得 新知二：体积 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？                         总结 总结 [例2]如图，棱长为1的正方体的8个顶点中，有4个为正四面体的顶点， (1)这个正四面体与正方体的表面积之比为_________. (2)三棱锥B-ACB1的体积为_________. (3)正四面体B1-ACD1的体积为_________. (等体积法) (割补法) 求三棱锥体积通常可用 换底法(也叫等体积法). 考点二：求体积 [练习3]如图，已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积和体积． B C A P 解：因为△PBC是正三角形，其边长为a， 所以 因此，四面体P-ABC的表面积 考点二：求体积 [练习4]在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，EF ⊥面FBC，则该多面体的体积为_________. (分割法) 课后练习 [练习1]正三棱锥S-ABC的底面边长为1，高为，则该三棱锥的表面积为______. 课后练习 课后练习 [练习3]P119-2.如图，将一个长方体沿相邻3个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比. (割补法) 课后练习 [练习4]P116-3.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是0.5m，那么石凳的体积是多少？ ∴这个石凳的体积为 解： B C A' B' C' D' A D E F G (割补法) 课后练习 课后练习 [练习6]如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积. 4 4 4 2 4 分割 多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC 2 4 4 4 4 3 课后练习 [练习6]如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积. 2 4 4 4 4 3 4 4 4 2 4 多面体的体积V＝V三棱锥E－ACD＋V三棱锥E－ABC＋V三棱锥F－EBC 同顶点C,高相等 课后练习 [练习6]如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积. 4 4 4 2 4 课后练习 未完待续…… 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和. 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱 棱锥 棱台 底面积为，高为 底面积为，高为 上底面积为，下底面积为，高为 解：如图，，，取的中点， 的中点，则为斜高. 设分别是上、下底面的中心，则四边形为直角梯形. 因为。所以 在直角梯形中，， 所以该正四棱台的体积为(cm3) $