8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积，通过课前公式填空、微思考（公式间转化关系）及微训练，衔接旋转体结构知识，搭建从直观认识到定量计算的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理串联公式（如圆台侧面积公式退化为圆柱、圆锥公式），通过轴截面转化空间问题（球的切接）培养直观想象，典例与规律总结提升数学运算。学生可深化知识联系，教师能高效开展分层教学。

第八章　立体几何初步 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 目 标 素 养 1.通过对圆柱、圆锥、圆台的展开图研究,知道圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式,提升逻辑推理素养. 2.能用圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积公式解决简单的实际问题,提升数学运算素养. 3.了解并掌握球的体积和表面积公式.会解决球的切、接问题,提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 　1.圆柱、圆锥、圆台的表面积 微思考 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系? 微训练1 若圆锥的底面半径为1,高为 ,则圆锥的表面积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 答案:C 2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式 V圆柱=　πr2h　(r是底面半径,h是高),  微拓展 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 3.球的表面积和体积 如果球的半径为R,那么它的表面积是S球=　4πR2　; 球的体积V=  πR3　.  A.3π B.12 C.12π D.36π 答案:C 课堂·重难突破 一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 典例剖析 1.(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　) 解析：设圆柱底面半径为r,则高为2πr,所以圆柱的表面积与侧面积之比为[(2πr)2+2πr2]∶(2πr)2= A (2)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为 ,则圆锥的体积为(　　) 答案:B (3)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6,且侧面面积等于两底面面积之和. ①求圆台的母线长; ②求圆台的表面积. 解：①设圆台的母线长为l,则由题意π(2+6)l=π×22+π×62, ∴8πl=40π,∴l=5,∴该圆台的母线长为5. ②由①可得圆台的表面积 S=π×(2+6)×5+π·22+π×62=40π+4π+36π=80π. 规律总结 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用旋转体的轴截面及侧面展开图,借助平面几何知识进行求解,基本步骤如下 (1)得到空间几何体的平面展开图. (2)依次求出各个平面图形的面积. (3)将各平面图形的面积相加. 学以致用 1.若轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的(　　) 答案:D 二 圆柱、圆锥、圆台的体积 典例剖析 2.(1)过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是(　　) A.1∶1 B.1∶6 C.1∶7 D.1∶8 答案：C 解析:如图,设圆锥底面半径OB=R,高PO=h. (2)在梯形ABCD中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) 答案:C 解析:如图所示,过点D作BC的垂线,垂足为H,则由旋转体的定义可知,该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥.其中圆柱的底面半径R=AB=1,高h1=2HC=BC=2,其体积V1=πR2h1=π×12×2=2π;圆锥的底面半径r=DH=1,高h2=HC=1, 规律总结 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高.求圆锥、圆台的高一般通过构造直角三角形求解. 学以致用 2.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后,所形成的几何体的体积是多少? 三 球的表面积与体积 典例剖析 3.(1)用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π,则球的表面积为(　　) (2)将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球,则这个大球的半径R为　　　　　.  解析:(1)∵用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π, ∴截面圆的半径r=1, 规律总结 在解决有关球的截面问题时,要注意截面性质的应用. 用一个平面截一个球,截面是圆面,球的截面有以下性质:①球心O和截面圆圆心O'的连线垂直于截面;②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d= . 学以致用 3.一个球内有相距9 cm的两个平行截面,它们的面积分别为49π cm2和400π cm2,求球的表面积. 解:当两个截面在球心的同侧时,如图①所示为球的轴截面,由球的截面性质知,AO1∥BO2,且O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2,设球的半径为R, ∵π·O2B2=49π(cm2),∴O2B=7 cm. ∵π·O1A2=400π(cm2),∴O1A=20 cm. 设OO1=x cm,则OO2=(x+9)cm. 在Rt△OO1A中,R2=x2+202, 在Rt△OO2B中,R2=(x+9)2+72, ∴x2+202=72+(x+9)2,解得x=15, ① ∴R2=x2+202=252,∴R=25 cm. ∴S球=4πR2=2 500π(cm2), 即球的表面积为2 500π cm2. 当两个截面在球心的异侧时,如图②所示为球的轴截面, 由球的截面性质知,O1A∥O2B,且O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥O1A,OO2⊥O2B. 设球的半径为R. ∵π·O2B2=49π(cm2), ∴O2B=7 cm. ∵π·O1A2=400π(cm2),∴O1A=20 cm. 设O1O=x cm,则OO2=(9-x)cm. ② 在Rt△OO1A中,R2=x2+400. 在Rt△OO2B中,R2=(9-x)2+49. ∴x2+400=(9-x)2+49. 解得x=-15,不合题意,舍去. 综上所述,球的表面积为2 500π cm2. 四 与球有关的切、接问题 典例剖析 4.长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 ,这个长方体的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是(　) A.12π B.18π C.36π D.6π 答案:A 规律总结 常见的几何体与球的切、接问题的解决策略 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系.由于球的对称性,球心一般在几何体的特殊位置,比如中心、对角线的中点等. (2)解决此类问题的实质是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”或“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题. 学以致用 4.(1)已知一球与棱长为3的正方体的各个面均相切,则该球的体积为　　　　　.  (2)圆柱内接于球,圆柱的底面半径为3,高为8,则球的表面积为　　　　　.  解析:(1)由题意可知,球是正方体的内切球, (2)如图,由题意知O1A=3,OO1=4, 所以OA=5,所以球的表面积为100π. 随堂训练 1.已知圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是(　　) 答案:D 解析:设上、下底面半径分别为r,R,母线长为l,高为h. ∵S上=π,S下=4π, ∴r=1,R=2,S侧=6π=π(r+R)l, 2.已知球的一个内接圆锥的底面经过球心,则该球体积与圆锥体积的比值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:C 3.若将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为(　　) 答案:A 解析:由题意知此球是正方体的内切球,根据其几何特征知此球的直径与正方体的棱长相等,故球的直径为2,即半径为1,其 4.(2025全国新课标Ⅱ卷,14)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为　　　　　 cm.  答案: 解析:作出轴截面ABCD,如图所示.由题意,两球半径相等,所以图中两圆的切点M到AD的距离为4,到DC的距离为,过点M作AD的平行线与过点O1作DC的平行线相交于点N,设两球的半径为r,在Rt△MO1N中,由MN2+O1N2=O1M2,得(4-r)2+(-r)2=r2,即4r2-68r+145=0,解得r=或r=(舍).所以最大值为. $