8.3.2圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

基本 空间几何体 多面体 旋转体 棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台 球 表面积 体积 几何体表面的大小 几何体所占空间的大小 类比棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的学习，我们一起探究圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积。 表面积 体积 1 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 （一）圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 1.圆柱的表面积 圆柱的侧面展开图是矩形 2πr 3 圆锥的侧面展开图是扇形 2πr 2.圆锥的表面积 4 3.圆台的表面积 圆台的侧面展开图是扇环 l x 2πr S 5 上底扩大 上底缩小 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 6 我们上节课学习了棱柱、棱锥、棱台的体积公式，小学时也学习了圆柱、圆锥的体积公式。 棱柱的体积公式： 圆柱的体积公式： 棱锥的体积公式： 圆锥的体积公式： 棱台的体积公式： 猜想：如果圆台的上底面面积为S，下底面面积为 ,高为h，那么这个圆台的体积 圆台的体积公式：？ 4.圆柱、圆锥、圆台的体积 7 圆台体积公式推导 x 8 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？ 上底扩大 上底缩小 柱体 台体 锥体 9 (二)球的表面积和体积 1.球的表面积公式: 设球的半径为R 10 回顾圆面积公式的推导 n=6 h n=12 h (二)球的表面积和体积 h 11 我们利用圆周长求圆的面积公式。 我们能否也利用球的表面积求球的体积公式？ 12 球的体积公式推导： , 如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格 的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”。 当n越大,每个小网格越小时,“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R，设O-ABCD是其中一个“小锥体”,它的体积是 类比圆周长求圆的面积的方法, 我们利用球的表面积求球的体积。 分割 求近似值 由近似和转化为球的体积 13 1.球的表面积公式: 2.球的体积公式: (二)球的表面积和体积 公式说明：1.球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 2.球的表面积与体积只与球的半径R有关， 都是关于R的函数。 14 例1.如图, 圆柱的底面直径和高都等于球的直径, 求球与圆柱的体积之比. 解: 本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法。在生产生活 中遇到的物体，往往形状比较复杂，但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的，它们的表面积和体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算。 教材119页 15 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可．基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图； (2)依次求出各个平面图形的面积； (3)将各平面图形的面积相加．　　 1．常见几何体与球的切、接问题的解决策略 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等． (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算． 2．几个常用结论 设正方体棱长为a。 (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径，即球半径R=．（正方体内切球，或称面切球） (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径,即球半径R=．（正方体外接球） (3)球与正方体各棱相切，切点为正方体各个棱的中点，正方体的面对角线长等于球的直径,即球半径R=．（正方体棱切球） (4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．　　 球心均为正方体的中心， 即为体对角线中点位置 [答案]　2 500π 1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 S圆柱=2πr(r+l) S圆锥=πr(r+l) S圆台=π() 2.圆柱、圆锥、圆台的体积 圆柱= 圆锥= 圆台= 3.球的表面积和体积： 课堂小结 32 作业 1.练习册 2.预习教材及练习册8.3.2.2节. 33 思考：棱长为b的正四面体的外接球、内切球半径R=？？ 外接球半径R1=; 内切球半径R2=. 正四面体的高为;体积为;表面积 34 [典例]　(1)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为______． (2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________． —————————————————————————————— 圆柱、圆锥、圆台的表面积 —————————————————————————————————— [解析]　(1)设母线长为l，由题意得l·lsin 60°＝，所以母线长l＝2，又底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π. (2)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R， 则它的母线长为 l＝ ＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8. 故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π， S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π. [答案]　(1)2π　(2)168π eq \a\vs4\al([方法技巧]) [解析]　(1)当圆柱的高为8 cm时，V＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π)))2×8＝eq \f(288,π)(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，V＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π)))2×12＝eq \f(192,π)(cm3)． ———————eq \a\vs4\al([题点二])———————————————————————— 圆柱、圆锥、圆台的体积 ——————————————————————————————————— [典例]　(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是 (　　) A．eq \f(288,π) cm3 B．eq \f(192,π) cm3 C．288π cm3 D．192π cm3 ———————eq \a\vs4\al([题点二])———————————————————————— 圆柱、圆锥、圆台的体积 ——————————————————————————————————— [典例] (2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq \r(2)π，则圆锥的体积是(　　) A．eq \f(64π,3) B．eq \f(128π,3) C．64π D．128eq \r(2)π [解析]　 (2)作圆锥的轴截面，如图所示， 由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB. 设圆锥的高为h，底面半径为r， 则h＝r，PB＝eq \r(2)r. 由S侧＝π·r·PB＝16eq \r(2)π， 得eq \r(2)πr2＝16eq \r(2)π，所以r＝4.则h＝4. 故圆锥的体积V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(64π,3). [答案]　(1)AB　(2)A ———————eq \a\vs4\al([题点三])———————————————————————— 与球有关的切、接问题 ——————————————————————————————————— [典例]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积． ———————eq \a\vs4\al([题点三])———————————————————————— 与球有关的切、接问题 ——————————————————————————————————— [典例]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积． [解]　设正方体的棱长为a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r1＝a，r1＝， 所以S1＝4πr12＝πa2. ———————eq \a\vs4\al([题点三])———————————————————————— 与球有关的切、接问题 ——————————————————————————————————— [典例]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积． (2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②， 所以有2r2＝a，r2＝a， 所以S2＝4πr22＝2πa2. [典例]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积． (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③， 所以有2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr32＝3πa2. [典例]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积． eq \a\vs4\al([方法技巧]) [解析]　当截面在球心的同侧时， 如图①所示为球的轴截面， 由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2. 设球的半径为R， —————————————————————————————— 球的截面问题 —————————————————————————————————— [典例]　已知一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，则球的表面积是________cm2. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm. 同理，得O1A＝20 cm. 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，① 在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，② 联立①②可得x＝15，R＝25. 故球的表面积S球＝4πR2＝2 500π(cm2)． 当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B. 设球的半径为R， ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm. ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm. 设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400. 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49. ∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为2 500π cm2. $