精品解析：2026年江苏省苏州市常熟市九年级第一次适应性数学调研试卷

初三适应性调研数学 （满分130分，时间120分钟） 一、选择题；本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上． 1. 在数轴上，下列实数所表示的点在原点的左边的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年底，苏州市拥有企业有效发明专利16.87万件．数据168700用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2026年苏州市体育中考中，某校九年级（4）班六位学生体育中考成绩依次为：40分、50分、50分、48分、50分、47分，则该六位学生体育中考成绩的众数是（ ） A. 47分 B. 48分 C. 49分 D. 50分 6. 如图，是的直径，点为圆心，点在延长线上，是的切线，切点为点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△中，，点是上一点，连接，将△沿折叠得到△，经过的中点，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卷相应位置上． 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 10. 因式分解：_________． 11. 如图，三角形飞镖盘是由16个全等的等边三角形构成，假设飞镖击中飞镖盘的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中飞镖盘，则重新投掷一次），飞镖击中阴影部分的概率是__________． 12. 将直线向上平移3个单位，若平移后的直线经过点，则__________． 13. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的两个交点为，，若，则的值是__________ 14. 如图，阴影部分是以正六边形纸片的顶点为圆心，对角线为半径的扇形，已知边长，若将图中阴影部分剪下围成圆锥的侧面，再从另一纸片上截取一个圆作为圆锥的底面，恰好能围成一个圆锥，则所截圆的半径为__________． 15. 如图，在矩形中，点在边上，且，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，交于点，连接．若则的长为__________．（结果保留根号） 16. 如图，在△中，，，，将△绕边的中点旋转后得△，若直角顶点恰好落在边上，交于点，交于点，则阴影部分四边形的面积是__________．（结果保留根号） 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 化简，再求值：．其中． 20. 在一个不透明的口袋里装入分别标有汉字“山““水”“常”“熟”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次投球前先搅拌均匀再投球． （1）若从不透明的口袋中任取一个球，球上的汉字刚好是“常”的概率为__________： （2）小明从不透明的口袋中任意提出两个小球，求摸出的两个球上的汉字恰好是“常”“熟”两字的概率（用画树状图或列表法等方法说明理由）． 21. 如图，矩形中，对角线与相交于点，延长到，使得，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的长度． 22. 常熟某中学为落实“书香校园”建设，了解本校学生的课外阅读情况，随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读总时长（单位：）进行调查，将调查结果分为四个等级： A级：时长不足；级：；级：；级：时长不低于根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合信息回答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整（画图后标上相应数据）； （2）扇形统计图中等级B对应的圆心角的度数为__________°，调查所得数据的中位数落在__________组（填组别）： （3）若该校共有1800名学生，请估计该校一周课外阅读时长不低于4h的学生共有多少人？ 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点． （1）若，求点的坐标； （2）连接，若，求反比例函数解析式． 24. 某车棚的侧面如图①所示，立柱与地面垂直，为顶棚，为顶棚支撑杆，且为一块自然下垂的遮阳板（即）．已知立柱的高为，顶棚的宽度为，支撑杆的长度为，遮阳板的宽度为，支撑点与立柱顶端的距离长为． （1）求顶棚与立柱的夹角的正弦值；（结果保留根号） （2）如图②所示，某一时刻太阳光线与地面的夹角，求此时车棚在地面上遮阳的宽度的长．（结果保留根号） 25. 如图①、已知中，为直径，四边形是的内接四边形，． （1）求证：； （2）如图②，连接交于，连接，若的直径，求线段的长度． 26. 两个智能机器人在如图①所示的矩形区域工作，对角线为生产流水线．机器人甲从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，移动至拐角处调整方向需要（即在处拐弯时需用时），其所在位置用点表示，机器人乙从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点表示．两个机器人同时出发，同时到达终点，设机器人运动的时间为，记点到的距离（即垂线段的长）为（），点到的距离（即垂线段的长）为，其中机器人甲到的距离（）与运动时间的函数图象如图②所示． （1）求，的长及机器人乙的速度； （2）如图②所示，当运动时间为时，机器人甲在这两个时刻所在的位置到的距离均为，求的值； （3）当机器人甲，乙到生产流水线的距离满足时，求的值． 27. 如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式： （2）当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； （3）作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三适应性调研数学 （满分130分，时间120分钟） 一、选择题；本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上． 1. 在数轴上，下列实数所表示的点在原点的左边的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数轴与实数的对应关系，根据数轴的性质，原点左边的点对应的数是负数，只需判断选项中的数的正负性即可得到答案． 【详解】解：数轴上原点左边的点对应的数是负数，原点对应，原点右边的点对应正数． 对各选项判断如下： A选项，是负数，对应点在原点左边； B选项，对应点在原点，不在原点左边； C选项，是正数，对应点在原点右边； D选项，是正数，对应点在原点右边． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，求解即可，把一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合的图形是轴对称图形． 【详解】解：根据图形可得，D的图形是轴对称图形，A、B、C的图形不是轴对称图形．D选项符合题意． 3. 截至2025年底，苏州市拥有企业有效发明专利16.87万件．数据168700用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的定义，其表示形式为，满足，为整数，正确确定和的值即可求解． 【详解】解：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂乘除、积的乘方、幂的乘方法则，分别计算各选项即可得到正确结果． 【详解】A．，错误，不符合题意． B． ，错误，不符合题意． C．，错误，不符合题意． D．，正确，符合题意． 5. 2026年苏州市体育中考中，某校九年级（4）班六位学生体育中考成绩依次为：40分、50分、50分、48分、50分、47分，则该六位学生体育中考成绩的众数是（ ） A. 47分 B. 48分 C. 49分 D. 50分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数的概念，只需统计各成绩出现的次数，找到出现次数最多的成绩即可得到众数． 【详解】解：整理六位学生的成绩为： 分， 分， 分，分，分，分， ∵ 分， 分， 分各出现次，分出现次，分出现次数最多， ∴ 该组成绩的众数是分． 6. 如图，是的直径，点为圆心，点在延长线上，是的切线，切点为点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据切线的性质得到，则利用互余计算出，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：连接， 与圆相切于点， ， ， ， ， ． 故选：． 7. 已知点是一次函数与反比例函数的交点，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点P在两个函数上得到a,b的关系，再将所求代数式通分变形后，整体代入求值即可. 【详解】 点是一次函数与反比例函数的交点， 将代入两个函数解析式，得 ， 整理得 ，， 整理得 ， 对所求代数式变形，得， 将，代入，得， 因此答案选. 8. 如图，在△中，，点是上一点，连接，将△沿折叠得到△，经过的中点，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意得，设，则，由折叠性质得，，再根据得，由此得△和△相似，利用相似三角形性质得，再证明△和△相似，利用相似三角形性质得，据此即可得出答案． 【详解】解：，经过的中点， ， 设，则， 由折叠性质得：，， ， ， ， 在△和△中， ，， △△， ， ， ， ， △△， ， ， 解得：， ． 故选：． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卷相应位置上． 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 10. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 11. 如图，三角形飞镖盘是由16个全等的等边三角形构成，假设飞镖击中飞镖盘的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中飞镖盘，则重新投掷一次），飞镖击中阴影部分的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式即可得出结论． 解：由题意知，飞镖击中阴影部分的概率是， 故答案为：． 12. 将直线向上平移3个单位，若平移后的直线经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平移的规律得到平移后的函数解析式，将点代入即可解答． 【详解】解：将直线向上平移3个单位后得到的直线解析式为， ∵点在平移后的直线上， ∴， ∴． 13. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的两个交点为，，若，则的值是__________ 【答案】2 【解析】 【分析】先把代入得，则抛物线解析式为，然后解方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， 解得，． 故答案为：2． 14. 如图，阴影部分是以正六边形纸片的顶点为圆心，对角线为半径的扇形，已知边长，若将图中阴影部分剪下围成圆锥的侧面，再从另一纸片上截取一个圆作为圆锥的底面，恰好能围成一个圆锥，则所截圆的半径为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点作于点，设所截圆的半径为．解直角三角形求出，再利用弧长公式构建方程解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，设所截圆的半径为． 在正六边形中，，， ， ，， ， ，， ， 则有， 解得． 故答案为：3． 15. 如图，在矩形中，点在边上，且，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，交于点，连接．若则的长为__________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，的延长线交于点，则四边形是四边形都是矩形，由此得，，，证明△是等腰直角三角形，由勾股定理得，进而得，，在△中可求出，然后在△中，由勾股定理可求出的长． 【详解】解：过点作于点，的延长线交于点，如图所示： ， 四边形是矩形，且， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，，，， 以为圆心，以长为半径画弧，交边于点， ， △是等腰直角三角形， ， ，， ，， ， △是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， ，， ， 在△中，， ， ， 在△中，， 由勾股定理得：， 的长为． 故答案为：． 16. 如图，在△中，，，，将△绕边的中点旋转后得△，若直角顶点恰好落在边上，交于点，交于点，则阴影部分四边形的面积是__________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，三角形的面积，关键是由锐角的正弦定义求出的长，由锐角的正切定义求出的长．过作于，由，得到，由线段的中点定义得到，由旋转的性质得到，，，得到，推出，由三角形的外角性质得到，由，求出，得到△的面积，由含30度角的直角三角形的性质得到，因此，由，求出，据此计算即可求出阴影部分四边形的面积． 【详解】解：过作于， ，，， ， ， 是的中点， ， 由旋转的性质得到，，， ， ， ， ， ， ， △的面积， ，， ， ， ， ， ， △的面积， 阴影部分四边形的面积△的面积△的面积． 故答案为：． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用算术平方根、零次幂、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 所以，不等式组的解集为：． 19. 化简，再求值：．其中． 【答案】，2 【解析】 【详解】解： ； 把代入，得， ． 20. 在一个不透明的口袋里装入分别标有汉字“山““水”“常”“熟”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次投球前先搅拌均匀再投球． （1）若从不透明的口袋中任取一个球，球上的汉字刚好是“常”的概率为__________： （2）小明从不透明的口袋中任意提出两个小球，求摸出的两个球上的汉字恰好是“常”“熟”两字的概率（用画树状图或列表法等方法说明理由）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球上的汉字恰好是“常”“熟”两字的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：在一个不透明的口袋里装入分别标有汉字“山”“水”“常”“熟”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别， 从不透明的口袋中任取一个球，球上的汉字刚好是“常”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球上的汉字恰好是“常”“熟”两字的结果有2种， 摸出的两个球上的汉字恰好是“常”“熟”两字的概率为． 21. 如图，矩形中，对角线与相交于点，延长到，使得，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1）见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）利用矩形对边平行且相等的性质，结合已知条件证明四边形是平行四边形，从而得出． （2）在中，利用和，再求出斜边的长度． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，， ， ， 又点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ． 【小问2详解】 解： 四边形是矩形， ， 在中，，， ． 22. 常熟某中学为落实“书香校园”建设，了解本校学生的课外阅读情况，随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读总时长（单位：）进行调查，将调查结果分为四个等级： A级：时长不足；级：；级：；级：时长不低于根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合信息回答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整（画图后标上相应数据）； （2）扇形统计图中等级B对应的圆心角的度数为__________°，调查所得数据的中位数落在__________组（填组别）： （3）若该校共有1800名学生，请估计该校一周课外阅读时长不低于4h的学生共有多少人？ 【答案】（1）D级人数为10人，图见解析； （2）108，C； （3）1080 【解析】 【分析】（1） 先根据A级的圆心角和人数求出样本总人数，再用总人数减去A、B、C三级人数得到D级人数． （2）利用B级人数占总人数的比例乘以求出对应圆心角；根据中位数的定义确定第25、26个数据所在组别． （3）用样本中阅读时长不低于4h的学生所占比例估计总体人数． 【小问1详解】 解：级对应的圆心角为，A级人数为5人， 样本总人数为人， D级人数为人． 补充条形图如图： 【小问2详解】 解：等级B对应的圆心角为， 样本总人数为50人， 中位数为第25、26个数据的平均数， A级有5人，B级有15人，累计20人， 又C级有20人，累计40人， 第25、26个数据均落在C组， 中位数落在C组． 【小问3详解】 解：样本中一周课外阅读时长不低于4h的学生人数为人， 所占比例为， 估计该校1800名学生中一周课外阅读时长不低于4h的学生共有人． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点． （1）若，求点的坐标； （2）连接，若，求反比例函数解析式． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线段比例关系确定点坐标与点坐标的关系，再由求出参数，进而确定反比例函数解析式，求出点坐标． （2）用参数表示出点、、的坐标，计算的长度和点到直线的距离，利用三角形面积公式建立方程求解． 【小问1详解】 解：点在上， 设点的坐标为， 过点C作轴于点E， ∴， 又点在线段上，且， ∴， 点的坐标为， 轴于点， 点的坐标为， ， ， ， ， 点的坐标为， 点在反比例函数上， ， 反比例函数解析式为， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：由(1)可知，点的坐标为，点的坐标为， ， 直线的方程为，点的坐标为， 点到直线的距离为， ， ， ， ， ， 反比例函数解析式为． 24. 某车棚的侧面如图①所示，立柱与地面垂直，为顶棚，为顶棚支撑杆，且为一块自然下垂的遮阳板（即）．已知立柱的高为，顶棚的宽度为，支撑杆的长度为，遮阳板的宽度为，支撑点与立柱顶端的距离长为． （1）求顶棚与立柱的夹角的正弦值；（结果保留根号） （2）如图②所示，某一时刻太阳光线与地面的夹角，求此时车棚在地面上遮阳的宽度的长．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）此时车棚在地面上遮阳的宽度的长为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是读懂题意，作辅助线构造直角三角形解决问题． （1）过作于，求出，可得，由锐角三角函数定义可得答案； （2）过作于，过作于，延长交于，结合（1），由为，可得，故，再求出，可得，故 ． 【小问1详解】 解：过作于，如图： 根据题意，，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过作于，过作于，延长交于，如图： 由（1）知， ， 为， ， ， ，， ， 为， ， ， ，即， ， ； 此时车棚在地面上遮阳的宽度的长为 ． 25. 如图①、已知中，为直径，四边形是的内接四边形，． （1）求证：； （2）如图②，连接交于，连接，若的直径，求线段的长度． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆内接四边形性质和已知条件，转化成同旁内角互补，从而证明两直线平行． （2）过点A作于点G，连，由，设，分别证明四边形为矩形和，推出，再通过证明，求出，在中利用勾股定理求x，则线段的长度可求． 【小问1详解】 证明：， ∴， ． 【小问2详解】 解：，， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵为直径， ∴， ∵， ∴在中，， ∴设， 则， 过点A作于点G，连， ∴ ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ，， ， ， ， ， ，且四边形内接于， ， ， ， ， ， 为直径， ， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴ 26. 两个智能机器人在如图①所示的矩形区域工作，对角线为生产流水线．机器人甲从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，移动至拐角处调整方向需要（即在处拐弯时需用时），其所在位置用点表示，机器人乙从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点表示．两个机器人同时出发，同时到达终点，设机器人运动的时间为，记点到的距离（即垂线段的长）为（），点到的距离（即垂线段的长）为，其中机器人甲到的距离（）与运动时间的函数图象如图②所示． （1）求，的长及机器人乙的速度； （2）如图②所示，当运动时间为时，机器人甲在这两个时刻所在的位置到的距离均为，求的值； （3）当机器人甲，乙到生产流水线的距离满足时，求的值． 【答案】（1），，； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】(1) 由图象读出甲从A到B的运动时间，结合速度求出的长；利用矩形的面积法建立方程求出即的长；根据甲的总运动时间求出乙的速度． (2) 分段建立甲到的距离关于时间的函数关系式，分别令距离等于2m，求出对应的两个时刻再作差． (3) 先建立乙到的距离函数，再根据甲所处的不同位置分段讨论，列方程求解并检验是否符合取值范围． 【小问1详解】 解：由图②可知，当时，，即甲到达点B， ， 四边形是矩形， ，， 由图象，当s时，点P到距离为， ， ，即 在中，， ∴， 解得或（舍去） ， 甲运动总时间为， 乙与甲同时出发同时到达， 乙用时也为8s， ． 【小问2详解】 解：当时，点在上，， 由， ∴， ， ， 由，则， ， ， 当时，点在上，， 同理，， ， ， 由，则， ， ， ． 【小问3详解】 解：点在上，， 由（2）同理，， ∴， ， 由（2）当时，， ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 不合题意，舍去， 当时，， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 27. 如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式： （2）当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； （3）作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将，坐标代入解析式即可求出解析式； （2）利用△的面积减去△的面积得出△的面积，分析关于的二次函数的最值； （3）画出图形利用题目中的中点以及抛物线的对称轴求出的值． 【小问1详解】 解：将，代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式将，代入得 ，解得， 直线的解析式为， 点，， ， △的面积减去△的面积得出△的面积， ， ，二次函数开口向下， 当时，有最大值是； 【小问3详解】 解：如图， 点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点， 是的中点， 的横坐标为， 的中点是顶点的横坐标， ， 解得， 【点睛】本题考查了待定系数法，矩形的性质，轴对称的性质，二次函数的性质，解题的关键是画出图形，运用数形结合思想解决问题． 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