精品解析：江苏淮安市淮安区2026学年初中毕业暨中等学校招生文化统一考试数学模拟试题一

2026学年初中毕业暨中等学校招生文化统一考试 数学模拟试题一 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 下列四个AI智能软件图标中，图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. 3.14 D. 3. 2026年淮安市马拉松参赛总人数约为15000人，将15000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. m为任意实数 5. 如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　） A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0 7. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（ ） x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A. 15 B. 10 C. 7 D. 6 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 9. _____； 10. 等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是______°． 11. 将多项式因式分解得______． 12. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是 ________． 13. 如图，四边形内接于，，的半径是，连接，则弦长为______． 14. 如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，．则建筑物的高是______m． 15. 如图是小明探究“拉力与斜面高度关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1，图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数．若弹簧测力计的最大量程是，该实验装置高度h的取值范围为______． 16. 如图，正方形中，点E，F分别是边、上的动点，且，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 如图，．求证：． 20. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“好”的概率是______； （2）从盒子中随机抽取1张卡片，记下汉字后再从余下的三张卡片中取出一张，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好第1张为“美”、第2张为“好”的概率． 21. 年月日，竹基倾转旋翼无人机首飞成功，标志着我国在竹基复合材料航空应用领域取得重大突破．某无人机研发团队从性能相近的款无人机中随机抽取款，对其在恶劣环境下的飞行稳定性进行评分，并将评分结果（单位：分）整理成如下统计图： 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所抽取无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分的众数为_____分，中位数为_____分； （2）求所抽取无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分的平均数； （3）请你估计这款无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分达到分的有多少款？ 22. 如图，线段经过圆心O，交于点A，C，为的弦，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）已知，求的长（结果保留π）． 23. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶20千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向． （1）求的度数； （2）求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号） 24. 已知直线l及直线外l有一点A．请仅用圆规和直尺按下列要求作图． （1）在图①中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； （2）在图②中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个矩形的四个顶点．（保留作图痕迹，写出必要的说明） 25. 一条公路上依次有三地，一辆私家车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆客车从地出发，送人到达地后立即原路原速返回地（上下车时间忽略不计）．两车均按各自速度匀速行驶，客车提前半小时出发，却比私家车迟6分钟到达终点，如图是私家车距地的距离（单位：）与私家车的行驶时间（单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中的值是______，客车行驶______小时到达地； （2）在客车从地返回地的过程中，求客车距地的距离与之间的函数表达式； （3）直接写出客车整个行驶过程中与私家车相距时客车行驶的时间． 26. 几何探究 （1）如图①，点P在⊙O外，PA与⊙O交于A，B两点，PC与⊙O的公共点为C，D， ①如图①，若，求的值． ②当C与D两点重合时（图②），连接AC，BC．若，则的值为______． （2）已知点P在的内部，连接AP，BP，CP，且．如图③，，求作点P，使得值最小．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）已知，点P在的内部，连接，．当，设的最小值为t；对于边长给定的AB，BC边，且，当的大小确定时，t也随之确定，，请直接写出t的取值范围． 27. 在平面直角坐标系中，点（s和t为常数），我们约定：对于二次函数，当自变量x取p时对应的函数值记为，我们把新函数叫做二次函数y关于点M的生长函数．如：关于点的生长函数为，即 （1）当时，若函数关于点M的生长函数为，则t的值为______； （2）求二次函数关于点的生长函数的表达式； （3）点，若点和点都在函数y的生长函数f上，且对于实数，，当，时，都有成立，直接写出的取值范围； （4）点和点分别在顶点为M的函数和它的生长函数图像上，时y随着x的增大而减小，且当，时，恒成立． ①随着常数m的取值增大，t的值的变化情况是（ ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 ②求点M最低位置时的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年初中毕业暨中等学校招生文化统一考试 数学模拟试题一 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 下列四个AI智能软件图标中，图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. 3.14 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．是分数，属于有理数，不符合题意； B．是整数，属于有理数，不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，不符合题意； D．是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数，符合题意． 3. 2026年淮安市马拉松参赛总人数约为15000人，将15000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. m为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 5. 如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 6. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　） A. 平均数为70分钟 B. 众数为67分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为0 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断． 【详解】解：A．平均数为（分钟），故选项错误，不符合题意； B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故选项正确，符合题意； C．7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题意； D．平均数为， 方差为，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键． 7. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 8. 二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（ ） x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A. 15 B. 10 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数图象具有对称性，可以求得时的函数值．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：由表格可知， 二次函数的对称轴是直线， 和时对应的函数值相等， 时，， 时，， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 9. _____； 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了同底数幂乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是______°． 【答案】30 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，即可计算出底角的度数． 【详解】解：设底角的度数为， 由题意得， ， 解得． 11. 将多项式因式分解得______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的公式，掌握圆锥侧面积的公式是解答本题的关键． 根据圆锥侧面积的公式计算即可解答． 【详解】解：圆锥的侧面积， 故答案为：． 13. 如图，四边形内接于，，的半径是，连接，则弦长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，先证明是直径，根据圆周角定理求出的度数，判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∴是直径． ， ． 的半径是， ． 在中，由勾股定理得： ． 14. 如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，．则建筑物的高是______m． 【答案】10.5 【解析】 【分析】先根据垂直于同一直线的两直线平行得到，进而证明 ，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，代入已知数据计算即可求出的长． 【详解】解：，  ，  ，   ， ，，， ， ． 15. 如图是小明探究“拉力与斜面高度关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1，图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数．若弹簧测力计的最大量程是，该实验装置高度h的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设与之间的函数表达式为，点代入计算即可根据一次函数的性质，列出不等式解答即可． 【详解】解：设与之间的函数表达式为， 将点代入得： 解得： 所以与之间的函数表达式为． 当时，， 解得， 所以． 16. 如图，正方形中，点E，F分别是边、上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】假设为定长，延长到点，使，利用平行四边形的判定和性质，得出为定角，定角对定长，运动轨迹为圆，再利用圆的知识进行求解． 【详解】解：如图所示，假设为定值，延长到点，使，连接， ∵四边形为正方形，， ∴四边形是平行四边形，, ∴ ， ∵， ∴四边形为平行四边形， 则，， ∵所对的边为定值， ∴点在以为弦， 的上， 连接，交于点，过点作交于点， 设，则 ， ∵， ∴，则， 在 中，，则，即的半径为， ∵， ∴当时取的最小值， 在中，， ， 则的最小值为． 【点睛】本题难度大，考查了双动线段的比值问题，解决问题的关键点是动静转换，即将其中一个线段固定，再看另一个线段的运动情况，从而解出答案． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 . 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 不等式组的解集为 19. 如图，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， 即． 在和中， ． 【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“好”的概率是______； （2）从盒子中随机抽取1张卡片，记下汉字后再从余下的三张卡片中取出一张，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好第1张为“美”、第2张为“好”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【小问1详解】 解：盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字， 从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“好”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好第1张为“美”、第2张为“好”的结果有1种， ∴抽取的卡片恰好第1张为“美”、第2张为“好”的概率为：． 21. 年月日，竹基倾转旋翼无人机首飞成功，标志着我国在竹基复合材料航空应用领域取得重大突破．某无人机研发团队从性能相近的款无人机中随机抽取款，对其在恶劣环境下的飞行稳定性进行评分，并将评分结果（单位：分）整理成如下统计图： 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所抽取无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分的众数为_____分，中位数为_____分； （2）求所抽取无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分的平均数； （3）请你估计这款无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分达到分的有多少款？ 【答案】（1）； （2）分 （3）款 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义，结合条形统计图即可得答案； （2）根据平均数的计算公式计算即可； （3）用乘以飞行稳定性评分达到分的款数占抽取总数的百分比即可得答案． 【小问1详解】 解：∵飞行稳定性评分为分的款数为款，款数最多， ∴飞行稳定性评分的众数为分， ∵随机抽取款无人机， ∴中位数为从小到大排列的第、两个数据的平均数， ∵第、两个数据为分、分， ∴中位数为（分）． 【小问2详解】 解：（分）， 答所抽取无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分的平均数为分． 【小问3详解】 解：∵在随机抽取的款无人机中，飞行稳定性评分达到分的有款， ∴这款无人机在恶劣环境下的飞行稳定性评分达到分的有（款）． 22. 如图，线段经过圆心O，交于点A，C，为的弦，连接，． （1）求证：直线是的切线； （2）已知，求的长（结果保留π）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∵， ∴的长为：． 23. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶20千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向． （1）求的度数； （2）求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号） 【答案】（1） （2）两地的距离是千米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，，，从而可得，然后利用平角定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）过点作于点，在中，可求出，，由可得，进一步即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点， 在中， ， ，， ， ， （千米） 答：两地的距离是千米． 24. 已知直线l及直线外l有一点A．请仅用圆规和直尺按下列要求作图． （1）在图①中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； （2）在图②中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个矩形的四个顶点．（保留作图痕迹，写出必要的说明） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）如图①，在直线l上任意取点B、C，连接，再分别以点A、B为圆心，以、为半径分别画弧，两弧相交于点D，由于，，根据平行四边形的判定方法可判断四边形为所平行四边形； （2）如图②，先过A点作l的垂线，垂足为B点，在直线l上任意取点C，再过C点作直线l的垂线a，然后在直线a上截取，先利用，可判断四边形为平行四边形，然后利用可判断四边形ABCD为矩形． 【小问1详解】 如图①，在直线l上任意取点B、C，连接，再分别以点A、B为圆心，以、为分别画弧，两弧相交于点D，连接、， 则四边形为所作； 【小问2详解】 如图②，先过A点作l的垂线，垂足为B点，在直线l上任意取点C，再过C点作直线l的垂线a，然后在直线a上截取， 则四边形为所作． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形点的判定与性质、矩形的判定． 25. 一条公路上依次有三地，一辆私家车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆客车从地出发，送人到达地后立即原路原速返回地（上下车时间忽略不计）．两车均按各自速度匀速行驶，客车提前半小时出发，却比私家车迟6分钟到达终点，如图是私家车距地的距离（单位：）与私家车的行驶时间（单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中的值是______，客车行驶______小时到达地； （2）在客车从地返回地的过程中，求客车距地的距离与之间的函数表达式； （3）直接写出客车整个行驶过程中与私家车相距时客车行驶的时间． 【答案】（1）； （2） （3）客车行驶的时间为，和 【解析】 【分析】（1）由图可得私家车速度为，进而可得私家车从地到地行驶用的时间为，即，结合题意即可得客车行驶到达地的时间为． （2）由上可得客车从地到地用的时间为，结合题意可得客车刚到地时：，；客车返回地时：，再利用待定系数法即可求得与之间的函数表达式． （3）利用待定系数法分别求出四段路程的解析式，及的取值范围，令 ，求解即可． 【小问1详解】 解：由图可得两地之间的距离为，两地之间的距离为， ∵私家车从开始行驶，到地， ∴私家车速度为， ∴私家车从地到地行驶用的时间为， ∴， ∵私家车到地，客车提前半小时出发，客车比私家车迟6分钟到达终点， ∴客车行驶到达地的时间为， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由上可得客车从地到地，再从地返回地行驶的路程为，时间为小时， ∴客车的速度为，客车从地到地用的时间为， ∵客车提前半小时出发， ∴客车刚到地时：，；客车返回地时：，， 设与之间的函数表达式为，的取值范围是， 将，代入上式，则， 解得：， ∴与之间的函数表达式为． 【小问3详解】 解：由上可得客车提前半小时从地出发时：，；行驶到达地时：，， 故可设客车从地出发到达地的与之间的函数表达式为， 将，代入上式，则， 解得：， ∴客车从地出发到达地的与之间的函数表达式为． 由上可得私家车从地出发时：，；行驶到达地时：，， 故可设私家车从地出发到达地的与之间的函数表达式为， 将，代入上式，则， 解得：， ∴私家车从地出发到达地的与之间的函数表达式为． 当的取值范围是，客车与私家车相距时， ， 即 ， 解得：，（不符合题意，故舍去）； 当的取值范围是，客车与私家车相距时， ， 即 ， 解得：，（不符合题意，故舍去）； 由上可得私家车行驶从地开始出发时：，；到地出发时：，； 故可设私家车从地出发到达地的与之间的函数表达式为， 将， 代入上式，则， 解得：， ∴私家车从地出发到达地的与之间的函数表达式为． ∵客车从地返回地的过程中，与之间的函数表达式为． 故当的取值范围是，客车与私家车相距时，， 即 ， 解得：，（均不符合题意，故都舍去）； 故当的取值范围是，客车与私家车相距时，， 即 ， 解得：，（不符合题意，故舍去）； 综上可得，客车整个行驶过程中与私家车相距时，的值为，和，则客车行驶的时间为，和． 26. 几何探究 （1）如图①，点P在⊙O外，PA与⊙O交于A，B两点，PC与⊙O的公共点为C，D， ①如图①，若，求的值． ②当C与D两点重合时（图②），连接AC，BC．若，则的值为______． （2）已知点P在的内部，连接AP，BP，CP，且．如图③，，求作点P，使得值最小．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）已知，点P在的内部，连接，．当，设的最小值为t；对于边长给定的AB，BC边，且，当的大小确定时，t也随之确定，，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①6，见详解；②12 （2）见详解 （3），见详解 【解析】 【分析】（1）题目要求的是两条线段的积，由此想到构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求解； （2）由条件易知当时，所有满足条件的点P在同一个圆上，并且弦所对的圆心角为，再结合，由此可知是这个圆的切线；然后利用第（1）问的解题思路，通过构造相似三角形，把的值转化为其他易求的线段比，进而确定它的最小值，最后利用尺规作出点P即可； （3）延续前2问的解题思路，把的值转化为其他易求的线段比，分别求出和时对应的t值，进而可以确定t的取值范围就介于这两个值之间． 【小问1详解】 解：①如图1，连接、． 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是公共角， ， ，即 ． ， ， ； ②如图2，连接并延长，交于，连接． 由条件可知是的切线， ， ． 是直径， ， ， ． ， ． 为公共角， ， ，即 ． ， ； 【小问2详解】 解：作图过程如图3所示，点P即为所求． 【小问3详解】 解：t的取值范围为 ，提示： 如图 4，由条件可知所有满足条件的点在同一个圆上，且弦所对的圆心角． ， ． ， ，即是的切线． 由 (1) 易知 ， 即 ． 的长度为定值， 当最大值，的值最小． 如图5，显然当为直径时，的值最小． 设 ，则 ． 在 中，，， 则 ． ， ，即的值为； 如图 6，当 时，延长交于． 由 (1) 易知 ， ． 同理可知当为直径（如图7）时，的值最小， 此时有 ． ， ，即的值为． 综上可知t的取值范围为 ． 【点睛】本题综合考查了圆、相似等知识．充分把握问题之间的前后联系，用前面的方法解决后面的问题，把问题进行转化是解决本题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点（s和t为常数），我们约定：对于二次函数，当自变量x取p时对应的函数值记为，我们把新函数叫做二次函数y关于点M的生长函数．如：关于点的生长函数为，即 （1）当时，若函数关于点M的生长函数为，则t的值为______； （2）求二次函数关于点的生长函数的表达式； （3）点，若点和点都在函数y的生长函数f上，且对于实数，，当，时，都有成立，直接写出的取值范围； （4）点和点分别在顶点为M的函数和它的生长函数图像上，时y随着x的增大而减小，且当，时，恒成立． ①随着常数m的取值增大，t的值的变化情况是（ ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 ②求点M最低位置时的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）①B；② 【解析】 【分析】（1）根据新定义，求出表达式，与给定的解析式对照，进行求解即可； （2）根据新定义进行求解即可； （3）根据新定义，求出生长函数，求出对称轴，分和两种情况进行讨论求解即可； （4）①求出二次函数的顶点式，进而求出顶点坐标，得到 ，根据增减性进行判断即可；②求出的最大值和的最小值，根据恒成立，得到的最大值与的最小值的差小于等于32，求出的取值范围，根据点M最低即的值最小，根据①的结论结合的取值范围，进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴生长函数 ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线的开口向上，在对称轴的左侧随着的增大而减小， ∵点和点都在函数y的生长函数f上，且对于实数，，当，时，都有成立， ∴ ， ∴ ； 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的右侧随着的增大而减小， ∵点和点都在函数y的生长函数f上，且对于实数，，当，时，都有成立， ∴ ， ∴； 综上：或 ； 【小问4详解】  解：① ， ∴抛物线的顶点 ， ∴ ， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大，一直减小； 故选B； ②∵ ， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴ ， ∴当时，最大，为 ； ∵ ， ∴ ， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，， ∴ ， ∴当时，的值最小为 ， ∵当，时，恒成立， ∴ ， 整理，得 ， 当 时，解得或， ∴ 的解集为 ， 又∵， ∴， ∵点 最低，即的值最小， 又由①可知：随着常数m的取值增大，t的值一直减小， ∴当时，的值最小为 ，此时， ∴点M最低位置时的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $