8.2 立体图形的直观图 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦立体图形的直观图，核心内容为斜二测画法，涵盖平面图形和空间几何体直观图的画法、还原与计算。课前通过基础认知（建系、平行不变、长度规则）搭建学习支架，课堂以典例剖析（如正方形、正六棱柱）和规律总结递进，形成从平面到空间的知识脉络。 其亮点是以直观想象素养为核心，通过微思考（如角相等问题）、典例剖析（画五边形、长方体）和互动探究（直观图还原计算），结合数学思维推理画法规则，用数学语言规范步骤。帮助学生提升空间观念，教师可利用系统实例和训练提高教学效率。

第八章　立体几何初步 8.2　立体图形的直观图 目 标 素 养 1.能用斜二测画法画出平面图形的直观图,提升直观想象素养. 2.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图,提升直观想象素养. 3.能通过直观图认识空间图形,提升直观想象素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图.斜二测画法是一种特殊的平行投影画法. 2.水平放置的平面图形直观图的画法及要求 微思考1 已知图形中相等的角在直观图中还相等吗? 提示：不一定.例如正方形的直观图为平行四边形. 微训练 利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图,正确的是(　　) 答案:C 微提醒 在用斜二测画法画直观图时,平行线段仍然平行,所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比,但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小. 3.空间几何体直观图的画法 (1)画轴:与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的　z　轴,直观图中与之对应的是　z'　轴;  (2)画底面:平面　O'x'y'　表示水平平面,平面　O'y'z'　和　O'x'z'　表示竖直平面,按照平面图形的画法,画底面的直观图.  (3)画侧棱:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和　长度　都不变;  (4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为　虚线　.  微思考2 空间几何体的直观图唯一吗? 提示:不唯一.作直观图时,由于选轴的不同,画出的直观图也不同. 4.旋转体直观图的画法 (1)画圆柱和圆锥的直观图常按以下步骤进行 ①画轴:用轴来定位. ②画底面:将底面椭圆的长轴取为横向,长度等于底面直径. ③成图. (2)画球的直观图,一般需要画出球的轮廓线,它是一个　圆　.同时还经常画出经过球心的截面圆,它们的直观图是　椭圆　,用以衬托球的立体性.  5.组合体的直观图 画组合体的直观图,先要分析它的结构特征,知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式,然后按“取轴、定点、成图”的基本步骤完成画图. 课堂·重难突破 一 画水平放置的平面图形的直观图 典例剖析  1.(1)如图,在直角坐标系Oxy中 有一个水平放置的正方形ABCD, 点B的坐标为(2,2),则在用斜二 测画法画出的正方形的直观图 A'B'C'D'中,顶点B'到x'轴的距离为　　　　　.  解析:正方形的直观图A'B'C'D'如图所示. 因为O'A'=B'C'=1,∠B'C'x'=45°, (2)用斜二测画法画出图中 五边形ABCDE的直观图. 解：画法:①在下图甲中 作AG⊥x轴于G,DH⊥x轴于H. 甲 ②在图乙中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°. ③在图乙中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'轴上取O'E'= OE, 分别过G'和H'作y'轴的平行线, 乙 ④连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图丙). 丙 规律总结 画水平放置的平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取恰当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上. (2)画水平放置的平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),对于与坐标轴不平行的线段,通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段. 学以致用 1.用斜二测画法画出图中水平放置的直角梯形OBCD的直观图. 解:(1)如图①,在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图②所示. (2)在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'= OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上截取D'C'=DC.连接B'C',如图②所示. (3)擦去辅助线,所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图,如图③所示. 二 画空间几何体的直观图 典例剖析 2.画出正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图(底面边长尺寸不作要求,侧棱长为2 cm). 解:如图,画法如下:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画底面.根据x轴、y轴,画正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱.过A,B,C,D,E,F各点分别作z'轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA',BB',CC',DD',EE',FF'都等于2 cm. (4)成图.顺次连接A',B',C',D',E',F',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正六棱柱的直观图. 规律总结 画空间多面体的直观图时,首先按照斜二测画法画出几何体的底面直观图,然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变,画出几何体的各侧面.画空间多面体的直观图的步骤可简单总结为: 画轴→画底面→画侧棱→成图 学以致用 2.用斜二测画法画长、宽、高分别为2 cm,2 cm,1 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. 解:画法:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1 cm. 分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q 作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D, 则▱ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图. (3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取1 cm长的线段AA',BB',CC',DD'. (4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图. 三 直观图的还原与计算 典例剖析 3.(1)如图①,Rt△O'A'B'是一个水平放置的平面图形的直观图,若O'B'= ,则这个平面图形的面积是(　　) 　　　　　　　　 C ① 解析:由题图知,将直观图还原,可知原△OAB(点O,A,B分别为O',A',B'的对应点)为直角三角形. (2)如图②,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=O'D1=1.试画出原四边形,并求原图形的面积. ② 解:如图,建立直角坐标系Oxy, 在x轴上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2. 在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2. 连接BC,便得到了原图形(如图). 由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形, 上、下底分别为AB=2,CD=3, 直角腰AD=2. 互动探究 1.(变条件)如图,本例(2)中的条件改为直角梯形ABCD是一水平放置的平面图形的直观图,∠ABC=45°,AB=AD=1, DC⊥BC,求原图形的面积. 解:如图①,在直观图中,过点A作AE⊥BC于点E, 则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°, ① 由此可得原图形如图②所示,是一个直角梯形. ② 2.(变问法)本例(1)中直观图中△O'A'B'的面积与原图形面积之比是多少? 规律总结 1.直观图的还原技巧 由直观图还原为原图形的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段,且平行于x'轴的线段还原时长度不变,平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可. 2.直观图与原图形面积之间的关系 学以致用 3.用斜二测画法画一个水平放置的图形的直观图得到一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是(　　) 答案:A 解析:如图,计算可知选A. 直观图 原平面图 随堂训练 1.(多选题)用斜二测画法画水平放置的长方形的直观图,下列图形可能为画出的直观图的是(　　) 答案:BD 2.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说,下列描述错误的是(　　) A.三角形的直观图仍然是一个三角形 B.90°的角的直观图会变为45°的角 C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D.由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 答案:B 解析:对于A,根据斜二测画法特点知,相交直线的直观图仍是相交直线,因此三角形的直观图仍是一个三角形,故A正确;对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角,故B错误; C,D显然正确.故选B. 3.水平放置的△ABC的直观图如图所示,若B'O’=C'O’=1, A'O'= ,则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 答案:A 解析:由题图知,在△ABC中,AO⊥BC. ∵B'O'=C'O'=1,∴BC=2,AB=AC=2, ∴△ABC为等边三角形.故选A. 4.已知水平放置的△ABC的底边BC=2,底边上的高AD=2,则△ABC的直观图△A'B'C'的面积为(　　) 答案:A 5.如图,用斜二测画法画出的△ABC的直观图,已知A'C'=3, B'C'=2,则AB边上的中线的长度为　　　　　.  解析:由直观图可知∠ACB=90°, 因为A'C'=3,B'C'=2,所以在Rt△ABC中,AC=3,BC=4, $