8.3 简单几何体的表面积与体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3　简单几何体的表面积与体积 第八章 立体几何初步 学习目标 重点：了解柱体、锥体、台体和球的表面积和体积公式. 难点：台体的表面积和体积计算公式. 1.了解球、柱、锥、台体的表面积的计算公式. 2.了解球、柱、锥、台体的体积的计算公式. 知识梳理 一、 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 【特别提醒】　棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 ①将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. ②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和. 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 【拓展】 棱柱、棱锥、棱台的体积公式它们之间的关系 因此，棱柱可以看作上、下底面相同的棱台，棱锥可以看作有一个底面是一个点的棱台.因此，棱柱、棱锥可以看作“特殊”的棱台，棱柱、棱锥的体积公式可以看作棱台体积公式的“特殊”形式. 二. 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 2. 圆柱、圆锥、圆台的体积 三.柱体、锥体、台体的体积公式 柱、锥、台的体积公式之间的关系：当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式. 四. 球的表面积和体积 2.球的体积 【知识拓展】多面体的内切球与外接球问题 1.多面体的内切球（球在多面体内） 一.　棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算 常考题型 【方法技巧】 棱柱、棱锥、棱台的表面积的求解方法 棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解. 多面体的体积的计算方法 计算多面体的体积要把握多面体的结构特征，找准高线. 二.　圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算 【方法技巧】圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好空间几何体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： （1）得到空间几何体的平面展开图. （2）依次求出各个平面图形的面积. （3）将各平面图形的面积相加. 【名师点拨】 求台体的表面积时，关键在于求侧面积，“还台为锥”是解题的常用策略，利用侧面展开图，将空间问题平面化，也是解决问题的重要方法. 例 2 若一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为　　　　. 训练题 1.已知圆台的上底面半径是2，下底面半径是3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的表面积为　　　　. 【方法技巧】旋转体的体积的计算方法 计算旋转体的体积要注意旋转体的旋转轴，找准高线. 三.　球的体积与表面积的计算 例1 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为 （　　） A.36π B.64π C.144π D.256π 【解析】　如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO-ABC＝VC-AOB＝×R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π，故选C. 【答案】　C 例2 已知△ABC的三个顶点都在球O的球面上，且AB＝，AC＝2，BC＝6.若球心O与BC中点的连线长为4，求球的表面积与体积. 【解题提示】　由三边长知△ABC是直角三角形，斜边的中点为△ABC的外接圆圆心，进而可求球的半径. 【解】　∵ AB＝，AC＝2，BC＝6，∴ AB2+AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形. ∴ 平面ABC被球所截得的图形是以BC为直径的圆. 由已知球心O与截面圆圆心的距离为4， ∴ 球的半径R＝＝5. ∴ 球的表面积S＝4πR2＝100π，体积V＝πR3＝. 训练题 1.已知三棱锥A-BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝，BC＝2，则利用“圆周率的平方除以十六等于八分之五”可得球O的表面积为 （　　） A.30 B. C.33 D. B　解析：因为BC⊥CD，BC＝2，CD＝，所以BD＝.又AB⊥平面BCD，所以球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为. 利用结论可得＝，则π＝， 所以球O的表面积为4π＝10π＝.故选B. 2.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 （　　） A.1.5倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 C　解析：设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的体积V大＝（3x）3＝36πx3，其余两球的体积之和V和＝ x3+（2x）3＝12πx3，∴ V大＝3V和. 求球的体积与表面积的关键 因为球的表面积与体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键. 四.　组合体的表面积和体积的计算 组合体的表面积和体积的计算方法 求组合体的表面积与体积的关键是弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的，然后由相应几何体的表面积与体积公式计算得出. 【特别提醒】 组合体的表面积并不是简单几何体的表面积的直接求和，原因是其接合部分并不裸露在表面. 五.　与球相关的“切”“接”问题 例 过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 （　　） A. B. C. D. C　解析：由题意画出图形，如图，设球心为O，则OA为一条半径，B为OA的中点，过点B的平面与OA所成角为30°，截面的圆心为O1，截面与球的一个交点为C，则OO1⊥截面，则OO1⊥BO1，OO1⊥CO1，∠OBO1＝30°. 设OA＝OC＝r，则OB＝r，OO1＝OB·sin 30°＝r，所以在Rt△OO1C中，CO12＝CO2-OO12，则CO1＝r，所以所得截面的面积与球的表面积的比为＝，故选C. . 解决与球相关的“切”“接”问题的关键 解决此类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，从而把空间问题平面化. 球与其他多面体的切接问题 训练题 若将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”，已知三棱锥P-ABC为“鳖臑”，侧棱PA与底面ABC垂直，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 （　　） A.8π B.12π C.20π D.24π 六.　与表面积和体积有关的实际应用问题 解决与球有关的实际应用问题的策略 解决这方面的问题要把握体积不变的原则，由体积求半径. 解决与表面积和体积有关的实际应用问题的步骤 1.认真审题：将题目反复研读，提取相关信息. 2.数学建模：选择合适的数学模型，将从题目中提取的相关信息转化成数学问题. 3.解题：将转化的数学问题用相关知识解决. 4.回扣：回到题目中的问题，作出解答. 七.　易错易混问题 <1>求几何体的表面积时考虑不全致误 【解题提示】　该几何体是一个组合体，其表面积为正方体的表面积加上圆柱的侧面积减去圆柱的底面积. 【解】　正方体的表面积为4×4×6＝96（cm2）， 圆柱的侧面积为2π×1×4＝8π（cm2）， 圆柱的底面积为2π cm2， 则挖洞后的几何体的表面积为96+8π-2π＝（96+6π）（cm2）. 【易错提示】 几何体的表面积是各个面的面积之和，因此求组合体的表面积时切忌直接套用柱体、锥体、台体的表面积公式，而应先分析该几何体由几部分组成，几何体各个面间有无重叠，再结合相应几何体选择公式求解. <2>求几何体的体积时考虑不全致误 例 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 1.如果棱柱的底面积是S，高是h（棱柱的高是指两底面之间的距离），那么这个棱柱的体积 V棱柱＝Sh. 2.如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.因此，如果棱锥的底面面积为S，高为h（棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离），那么该棱锥的体积 V棱锥＝ Sh. 3.由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式 V棱台＝ h（S′++S）， 其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高. 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离. 1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.它们的表面积公式： S圆柱＝2πr（r+l）（r是底面半径，l是母线长）， S圆锥＝πr（r+l）（r是底面半径，l是母线长）， S圆台＝π（r′2+r2+r′l+rl）（r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长）. 拓展： 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间的关系 由于圆柱可看成上、下两底面全等的圆台，圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下，如图所示. · V圆柱＝πr2h（r是底面半径，h是高）， V圆锥＝ πr2h（r是底面半径，h是高）. V圆台＝ πh（r′2+r′r+r2）（r′，r分别是上、下底面半径，h是高）. V柱体＝Sh（S为底面积，h为柱体高）； V锥体＝ Sh（S为底面积，h为锥体高）； V台体＝ （S′+ +S）h（S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高）. 1. 球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积是S球＝4πR2. V球＝ πR3.R为球的半径. ①若一个球与一个多面体的每一个面都相切，则称这个球是该多面体的内切球（并不是每一个多面体都有内切球）. ②求解多面体的内切球问题一般采用“切割法”：对于多面体的内切球，设其球心为O，连接多面体各顶点与球心，将多面体分割为若干个棱锥. 设多面体的体积为V，多面体的表面积为S，内切球的半径为r，即球心O到各个面的距离为r，则V＝ rS，于是可得r＝（可作为公式使用）. 2.多面体的外接球（球在多面体外） ①若一个多面体的每一个顶点都在一个球的球面上，则称这个球是该多面体的外接球. ②求解多面体的外接球问题的关键是找到球心的位置（球心与多面体每个顶点的连线都是球的半径）.抓住球心到某个截面的距离d，利用公式R2＝r2+d2求解（其中R为球的半径，r为截面圆的半径）. 例1 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为　　　　. 【解析】　由图可知该几何体为两个相同的正四棱锥底面相扣构成，此几何体的表面积由两个相同的正四棱锥的侧面积构成，即为八个全等的正三角形的面积之和. ∵ 正三角形的边长为 ， ∴ S表＝ ×（ ）2×8＝ . 【答案】　 例2已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积. 【解题提示】　 【解】　如图所示，在三棱台ABC-A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高， ∴ S侧＝3××（20+30）×DD′＝75DD′. 又∵ A′B′＝20 cm，AB＝30 cm， ∴ 上、下底面面积之和为S上+S下＝×（202+302）＝（cm2）. 由S侧＝S上+S下，得75DD′＝，∴ DD′＝cm. 又∵ O′D′＝×20＝（cm），OD＝×30＝（cm）， ∴ 棱台的高h＝O′O＝ ＝＝（cm）. 由棱台的体积公式，可得棱台的体积V＝（S上+S下+）＝×＝1 900（cm3）. 训练题 1.若正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线的长为 ，则它的表面积为 （　　） A.4（ +4） B.12（ +2） C.12（ +1） D.3（ +8） B　解析：如图，由正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为2，最长的一条对角线的长为 ，得BB1＝＝2， 它的表面积S表面积＝2S底面积+6S矩形＝2×6× ×2×2×sin +6× 2×2＝ +24＝12（ +2）. 2. 在四面体ABCD中，AB⊥AC，AC⊥CD，AB，CD所成的角为30°，AB＝5，AC＝4，CD＝3，则四面体ABCD的体积为 （　　） A.8 B.6 C.7 D.5 D　解析：由题意，过点A作CD的平行线AE（图略），则AC⊥平面ABE，且∠EAB为30°或150°，从B点向AE作垂线，垂足为M，易证BM⊥平面ACD.则点B到平面ACD的距离BM＝AB·sin ∠MAB＝5×＝.又S△ACD＝AC· CD＝6，则四面体ABCD的体积为V＝·S△ACD·BM＝5. 例1 若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的（　　）倍. A.2 B.3 C.4 D.5 C　解析：设圆锥底面半径为r，母线长为R. 由圆锥底面周长为2πr＝ ×2πR，解得R＝3r， ∴ 圆锥的表面积S表＝πr2+πrR＝4πr2，圆锥的底面积S底＝πr2， ∴ 圆锥的表面积是底面积的4倍. 【解题提示】　 （13+ ）π　解析：作出轴截面如图所示. 设GF＝h，则EG＝6-h，∴ ＝ ，∴ h＝2，即DH＝2. ∵ CH＝1，∴ CD＝ .∴ 圆台的侧面积为S1＝π·（2+3）· ＝ π. ∴ 圆台的表面积为S＝4π+9π+ π＝（13+ ）π. 2.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 （　　） A. π B.π C. D. D　解析：因为圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为2π，所以圆锥的底面半径r＝1，圆锥的高h＝ ，所以圆锥的体积V＝π·12· ＝ π. 3.如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝3，点C到AB与AD的距离分别为1和2，若将四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周，求所得旋转体的体积.   解：旋转得到一个圆锥和圆台的组合体，如图，则 V圆锥＝ π×22×（3-1）＝ π， V圆台＝ π×1×（22+12+2×1）＝ π， 所以V＝V圆锥+V圆台＝5π. 例 如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝ ，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为 （　　） A. B.5 C.6 D. 【解析】　方法一：如图，连接EB，EC，AC， 则VE-ABCD＝ ×32×2＝6. ∵ AB＝2EF，EF∥AB，∴ S△EAB＝2S△BEF.. ∴ VF-EBC＝VC-EFB＝ VC-ABE＝ VE-ABC＝ × VE-ABCD＝ . ∴ V＝VE-ABCD+VF-EBC＝6+ ＝ . 方法二：如图，设G，H分别为AB，DC的中点， 连接EG，EH，GH，DG，BH，则EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC， 得三棱柱EGH-FBC. 由题意得 VE-AGHD＝ S四边形AGHD×2＝ ×3×3× ×2＝3， VEGH-FBC＝3VE-DGH＝3VE-BGH＝3× VE-BGHC＝ ×3＝ . ∴V＝VE-AGHD+VEGH-FBC＝3+ ＝ . 方法三：如图，延长EF至点G， 使EG＝AB＝3，连接BG，CG，DF，AF，CF，BF， 则多面体BCG-ADE为三棱柱，VBCG-ADE＝9. ∵ 面BCG∥面ADE，F为EG的中点，∴ VF-ADE＝VF-BCG， ∴ 2VF-BCG+VF-ABCD＝VBCG-ADE，即2VF-BCG＝9- ×3×3×2＝3， ∴ VF-BCG＝ ，∴ V＝VBCG-ADE-VF-BCG＝ . 【答案】　D · 体积计算的3种常用方法 1.割补法 求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积. 2.补形法 常见的补形方法如下： （1）将正四面体补成正方体. （2）将对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图. （3）将对棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如图，PA⊥BC，AB⊥PC，PB⊥AC. 3.等积变换法 利用三棱锥的“等积性”，即体积计算可以以任意一个面作为三棱锥的底面.求体积时，可选择容易计算的方式，同时利用“等积变换”可以求“点到平面的距离”，只要转化为三棱锥的高即可. 训练题 1.如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2，下底BC＝10，底角∠ABC＝60°，现绕腰AB所在的直线旋转一周，求所得的旋转体的体积． 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F . Rt△BCF绕AB所在的直线旋转一周形成以CF为底面半径，BC为母线的圆锥，直角梯形CFED绕AB所在的直线旋转一周形成圆台，直角三角形ADE绕AB旋转一周形成圆锥，故梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体是以CF为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A为顶点、以DE为底面半径的圆锥的组合体． ∵ AD＝2，BC＝10，∠ABC＝60°，∴ 在Rt△BCF中，BF＝5，FC＝5 . ∵ AD∥BC，∴ ∠DAE＝∠ABC＝60°，∴ 在Rt△ADE中，DE＝ ，AE＝1. 又在等腰梯形ABCD中可求AB＝8，∴ AF＝AB-BF＝8-5＝3，EF＝AE+AF＝4， ∴ 旋转后所得几何体的体积 V＝ π·BF·FC2+ π·EF·（DE2+FC2+DE·FC）- π· AE·DE2 ＝ π·5·（5 ）2+ π·4·[（ ）2+（5 ）2+ ·5 ]- π·1·（ ）2＝248π. 故所得的旋转体的体积为248π. 2. 在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周得到如图的旋转体，求旋转体的表面积和体积. 解：∵ 在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， ∴ CD＝ ＝2a，AB＝CD·sin 60°＝a， ∴ DD′＝AA′-2AD＝2BC-2AD＝2a， ∴ DO＝ DD′＝a. 以l为轴将梯形ABCD旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥， ∴ 圆柱的高为 a，底面半径为2a， 圆锥的母线长为2a，底面半径为a. ∴ 圆柱的侧面积S1＝2π·2a· a＝ πa2， 圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2， 圆柱的上（或下）底面面积S3＝π（2a）2＝4πa2， 圆锥的底面积S4＝πa2， ∴ 旋转体上底面面积S5＝S3-S4＝3πa2， ∴ 旋转体的表面积S＝S1+S2+S3+S5＝（ +9）πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积， V圆柱＝π·（2a）2· a＝ πa3，V圆锥＝ ·π·a2· a＝ πa3， ∴ V＝V圆柱-V圆锥＝ πa3- πa3＝ πa3. 训练题 若将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为 （　　） A. B. C. D. A　解析：由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长相等，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是 ×π×13＝. 【名师点拨】 1.正方体的外接球 若正方体的八个顶点都在球面上，则称此球为该正方体的外接球，根据球的定义可知，正方体的体对角线等于球的直径，若正方体的棱长为a，则其外接球的半径R＝ a. 过球心作正方体的对角面得截面，如图（1）. 　　 　（1）　　　　 　（2） 2.正方体的内切球 若球与正方体的六个面都相切，则称球为正方体的内切球，此时球的半径R＝ ，过在一个平面上的四个切点及球心作截面，如图（2）. 3.球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，此时球的半径R＝ ，过球心作正方体的对角面得截面，如图（3）. 　 （3）　 　（4） 4.长方体的外接球 若长方体的八个顶点都在球面上，则称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线等于球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱的长度分别为a，b，c，则外接球的半径R＝ ，如图（4）. 5.正四面体的外接球与内切球 棱长为a的正四面体的外接球的半径R＝ a，内切球的半径r＝ . 训练题 设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，若其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （　　） A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 B　解析：由于长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，故长方体的体对角线为 ＝a.又长方体的外接球的直径2R等于长方体的体对角线，所以2R＝ a，所以S球＝4πR2＝ ＝6πa2. 例 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （　　） A.πa2 B. πa2 C.πa2 D.5πa2 【解析】　由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a，设球的半径为R.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝ × a＝ a，OP＝ a，OA＝R，所以R2＝ + ＝ a2，故S球＝4πR2＝ πa2. 【答案】　B C　解析：（方法一）将三棱锥P-ABC放入长方体中，如图，三棱锥P-ABC的外接球就是长方体的外接球.设外接球的半径为R，因为PA＝AB＝2，AC＝4，所以（2R）2＝22+42＝20，故R2＝5，则球O的表面积为4πR2＝20π.     （方法二）利用“鳖臑”的特点求解，如图D-8-15，因为四个面都是直角三角形，PA⊥底面ABC，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2R＝PC＝ ，所以球O的表面积为4πR2＝20π. 例 圆柱形容器的底面半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为 （　　） A.50π cm2 B.500π cm2 C. cm2 D.100π cm2 【解题提示】　容器的水面下降部分的体积即为球的体积，由此计算出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【解析】　设实心铁球的半径为R，则 πR3＝π×102×，解得R＝5 cm. 故这个铁球的表面积S＝4πR2＝100π（cm2）. 【答案】　D 训练题 已知一块正方形薄铁片的边长为8 cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形（如图），若用这块扇形铁片围成一个无底的圆锥，则这个无底的圆锥的容积为　　　 cm3. 　解析：由已知，可得这个无底的圆锥的母线长为8 cm，设底面半径为r cm，则2πr＝×8，所以r＝2 cm，故这个无底的圆锥的高h＝ ＝ （cm）， 所以圆锥的容积V＝ π×22× ＝ （cm3）. 例 如图所示的几何体是一个棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上挖一个直径为2 cm、深为4 cm的圆柱形的洞，求挖洞后的几何体的表面积是多少？ 【解】　设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则 ①当2πr＝6时，r＝ ，l＝3，所以V圆柱＝πr2·l＝π··3＝ . ②当2πr＝3时，r＝ ，l＝6，所以V圆柱＝πr2·l＝π· ·6＝ . 所以所得圆柱的体积为 或 . $