精品解析：山东烟台市牟平区2025-2026年度九年级第二学期期中数学试卷

山东烟台市牟平区2025-2026年度九年级第二学期期中数学试卷 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 在，0，1，这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先分别计算四个数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得到绝对值最小的数． 【详解】解：∵ ，，， 又∵ ∴ 四个数中绝对值最小的数是． 2. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 4. 如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组体合的三视图，熟练掌握从前面看到的图形是主视图是解题的关键．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解． 【详解】解：根据题意得：其主视图是 故选：D． 5. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 6. 下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（ ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A. 日最高气温的波动大 B. 日最低气温的波动大 C. 一样大 D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算与含义，比较两组数据的波动情况，需计算它们的方差或极差，根据方差越大，波动越大判断即可. 【详解】解：最高气温数据：12，6，10， 9， 8 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：，， ， ， ， ∴方差： ∵最低气温数据：1，，， 0，2 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：， ， ， ， ， ∴方差：， ∴最高气温方差为4，最低气温方差为2，因此日最高气温的波动更大，选项A正确； 故选：A 7. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（ ） A. 130° B. 140° C. 150° D. 160° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 8. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，则正六边形（）的顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据正六边形的性质求出点的坐标，然后根据旋转的性质找出规律，确定时点的位置，最后利用中心对称的性质求出坐标，即可求解． 【详解】解：如图，连接 六边形是正六边形， 点在轴负半轴上， 点在轴正半轴上 在中，作于， 则 轴 点在第二象限， 每次旋转， 每旋转6次回到原位置 点的位置与点重合，即点顺时针旋转 点与点关于原点对称 9. 如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到点在以点为圆心的上运动，当点三点共线时，的值最小，由半圆或直径所对圆周角为直角，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当点在上运动时，点在以为直径的圆弧上运动，该弧交于点，与交于点，如图所示， 取线段的中点为，连接， ∴点在以点为圆心的上运动， 在中，，点为中点，， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小， 在中，是直径，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 10. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可． 【详解】∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①错误； ∵对称轴为直线 ∴ ∵在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将代入 将，代入得， ∴ ∵ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴当时，， ∴方程转化为 解得； ∴当时，， ∴方程转化为 解得或6； ∵方程的两根为、 ∴，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．火箭的入轨速度高达千米/秒，用科学记数法表示这个速度为_________米/秒． 【答案】 【解析】 【分析】先进行单位换算，将千米/秒转换为米/秒，再根据科学记数法的表示方法写出结果，科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：因为千米米， 所以千米/秒 米/秒 米/秒， 将用科学记数法表示得：． 13. 如图所示，，以点O为圆心，2为半径作圆，与射线、分别交于A、B两点．若分别以点A、B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接、、，则在之外，之内部分区域的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，解直角三角形，扇形面积公式；连接，由作图过程可知，，，可得是等边三角形，再由，，可得，进而得到，从而得到平分，得出，最后根据之内部分区域的面积等于，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图过程可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴平分，即， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴之内部分区域的面积为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在轴上，点在轴上．若，，，则点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键． 过点作轴，作交的延长线于点，证明，得出对应边成比例，根据锐角三角函数比求出相关边长，然后根据平移的性质求出，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴，作交的延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， 根据平移的性质， ， ， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ； 故答案为：． 15. 如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线→→向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．则实数_______． 【答案】 20 【解析】 【分析】观察图像可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出m的值即可；根据图像当时，，此时，，过点作，根据面积公式求的长，证明 ，列出比例式求出的长，进而求出的长即得到的值；求的值． 【详解】解：观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点，均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 由图象可知，当时，，此时，， 过点作于，如图，则， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴，即； ∴． 16. 如图，在中，，点在边BC上（与点不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列四个结论：①；② ；③；④．其中结论正确的序号是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明，即可判定①；证明四边形是矩形，可得，即可判定②；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质可得，即可判定③；证明，再根据相似三角形的性质即可判定④，综上即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，结论正确的序号是①②③④． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中a是4的平方根． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ， 是4的平方根，代数式要有意义，且且， ，（舍去）， 将，代入化简后的式子，得： 原式． 18. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动．下面是该校对活动中小发明模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 小发明模型设计水平调查报告 调查主题：“逐梦科技强国”活动中小发明模型设计水平 调查目的：通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识 调查对象：某校学生小发明模型设计成绩 调查方式：抽样调查 数据收集与表示：随机抽取全校部分学生的小发明设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：A：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 数据分析与应用： 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了___________名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是_________分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为_________； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （4）现从表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1） （2）见解析 （3）720人 （4） 【解析】 【分析】（1）由D组的人数除以所占的比例求出抽取的人数，根据中位数的确定方法求出中位数，利用360度乘以C组所占的比例，求出圆心角的度数即可； （2）求出B组的人数，补全直方图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：（名）； 将数据从大到小排序，第25个和第26个数据分别为84，83， ∴中位数为， ； 【小问2详解】 解：B组的人数为； 补全频数分布直方图如下： 模型设计成绩的频数分布直方图 【小问3详解】 解：， 估计全校1200名学生的小发明模型设计成绩不低于80分的人数为720人； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 19. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； （2）点，直线l平移的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； 【小问2详解】 解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 20. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等； 素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． 请完成下列任务： （1）任务一：每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）任务二：若恰好赶上价格调整，篮球价格是原价格的八折，排球提价5%，请你给出最节省费用的购买方案． 【答案】（1）每个篮球150元，每个排球100元 （2）最节省费用的购买方案是购买篮球20个，排球40个 【解析】 【小问1详解】 解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元， 根据题意得： 解得： 答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元． 【小问2详解】 解：购买篮球a个，购买排球个，总花费w元， 根据题意得： 解得：，且为整数， ， 化简得：， ，w随着a的增大而增大， 当时，， 此时，购买排球为（个）， 答：最节省费用的购买方案是购买篮球20个，排球40个． 21. 在校园的水平地面上有两座建筑物，，其中建筑物．数学社团的成员小明，从A，B之间的E点（A，E，B在同一水平线上）测得D点，C点的仰角分别为和，从C点测得D点的仰角为． （1）根据以上信息，请你帮助小明画出便于测量计算的平面示意图，并标明字母和角度； （2）根据示意图，求的度数及建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】（1）平面示意图见解析 （2），建筑物的高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，平行线的性质，相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质； （1）根据题意画出平面示意图即可； （2）设，在中，可求出，，进而得出，在中，可求出，进而求出，利用，得出，进而建立方程即可求出建筑物的高度． 【小问1详解】 解：如图所示：，A，E，B在同一水平线上，从E点测得D点，C点的仰角分别为和，从C点测得D点的仰角为， 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 22. 如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，． （1）求证：； （2）①求的半径长；②求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）①3；② 【解析】 【分析】（）利用切线长定理得到，利用切线的性质得，则，由于，，再根据等角的余角相等即可求证； （）①连接，由切线长定理得，，，则，，由勾股定理得，设的半径为，则，，然后通过勾股定理即可求解； ②先由勾股定理求解，再由即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，分别切于点，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①连接， ∵，分别切于点，， ∴，，， ∴，， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为； ②∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 【问题呈现】 如图，在菱形中，，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点P与线段的中点O重合，则___________度，线段与线段的数量关系是___________； 【问题探究】 （2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点P运动过程中，将线段绕点E逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），； （2），理由见解析； （3）的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【小问1详解】 解：∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 24. 如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． （1）求直线对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． 【小问2详解】 不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． 【小问3详解】 ，或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东烟台市牟平区2025-2026年度九年级第二学期期中数学试卷 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共10个小题，每小题3分，满分30分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 在，0，1，这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 6. 下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（ ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A. 日最高气温的波动大 B. 日最低气温的波动大 C. 一样大 D. 无法比较 7. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（ ） A. 130° B. 140° C. 150° D. 160° 8. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，则正六边形（）的顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 分解因式：_______． 12. 2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射．火箭的入轨速度高达千米/秒，用科学记数法表示这个速度为_________米/秒． 13. 如图所示，，以点O为圆心，2为半径作圆，与射线、分别交于A、B两点．若分别以点A、B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接、、，则在之外，之内部分区域的面积是_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在轴上，点在轴上．若，，，则点坐标为___________． 15. 如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线→→向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．则实数_______． 16. 如图，在中，，点在边BC上（与点不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．下列四个结论：①；② ；③；④．其中结论正确的序号是______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中a是4的平方根． 18. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动．下面是该校对活动中小发明模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 小发明模型设计水平调查报告 调查主题：“逐梦科技强国”活动中小发明模型设计水平 调查目的：通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识 调查对象：某校学生小发明模型设计成绩 调查方式：抽样调查 数据收集与表示：随机抽取全校部分学生的小发明设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：A：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 数据分析与应用： 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了___________名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是_________分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为_________； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （4）现从表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 19. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 20. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等； 素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． 请完成下列任务： （1）任务一：每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）任务二：若恰好赶上价格调整，篮球价格是原价格的八折，排球提价5%，请你给出最节省费用的购买方案． 21. 在校园的水平地面上有两座建筑物，，其中建筑物．数学社团的成员小明，从A，B之间的E点（A，E，B在同一水平线上）测得D点，C点的仰角分别为和，从C点测得D点的仰角为． （1）根据以上信息，请你帮助小明画出便于测量计算的平面示意图，并标明字母和角度； （2）根据示意图，求的度数及建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 22. 如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，． （1）求证：； （2）①求的半径长；②求线段的长． 23. 【问题呈现】 如图，在菱形中，，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点P与线段的中点O重合，则___________度，线段与线段的数量关系是___________； 【问题探究】 （2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点P运动过程中，将线段绕点E逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 24. 如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． （1）求直线对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $