精品解析：山东淄博市张店区2025-2026学年度第二学期期中学业水平检测初三数学试题

2025～2026学年度第二学期期中学业水平检测初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列四个实数中，比大的无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据无理数定义排除不符合选项，再估算无理数大小即可． 【详解】解：∵是有理数， ∴A不符合题意， ∵， ∴， ∴B不符合题意， ∵， ∴， ∴， ∴C符合题意， ∵， ∴， ∴， ∴D不符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则和算术平方根的非负性，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、 ，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、 ，故选项错误，不符合题意； D、 ，故选项正确，符合题意． 3. 下列二次根式，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数9，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 使二次根式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 5. 如果关于x的一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“关于x的一元二次方程能用公式法求解”，即可判断，代入，即可求解， 本题考查了，一元二次方程根的判别式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程根的判别式． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程能用公式法求解， ∴，即：， 故选：． 6. 若满足，则分解因式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解含有字母参数的二元一次方程组，因式分解；根据已知条件可求出关于的表达式，代入二次三项式后进行分解因式即可得到结果． 【详解】解： 由得，可得， 将代入得，可得， 将代入得：． 故选：C． 7. 若，，则以，为根的一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对变形，再由得到，最后结合选项即可得到答案. 【详解】∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴以，为根的一元二次方程为． 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的求解. 8. 如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，连接，若，，则正方形的边长为（ ）； A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由四边形是正方形，可得，，由，可得，进而得到，最后利用建立方程即可求出正方形的边长． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 9. 如图，在矩形中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点．若，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用；连接，过点作，由作图可知，是的垂直平分线，可得，四边形是矩形，可得，四边形是矩形，可得，，设，则，在中利用勾股定理即可求出，最后在中利用勾股定理即可求出． 【详解】解：连接，过点作， 由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：D． 10. 如图，在一张边长为的正方形纸片上，将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则线段与的长度之和最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于，连接，交于，根据正方形的性质得出四边形是矩形，可得，根据折叠的性质及直角三角形两锐角互余得出，即可证明，得出，作点关于的对称点，连接、，得出当、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，连接，交于， ∵四边形是正方形，边长为 ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接、， ∴，， ∴， ∵， ∴当、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴线段与的长度之和最小值为． 二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置） 11. 计算： ________； 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的减法计算即可． 本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，在“永”字的结构中主要体现在笔画的分布与比例上，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割．已知黄金分割数为，则________．（填“”“”或“”） 【答案】> 【解析】 【分析】通过估算无理数的近似值，计算两个数的值后即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴． ． 又．， ． 13. 已知是方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系；先利用方程根的定义得到的表达式，代入所求代数式化简，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的实数根， ∴， 整理得， 将代入得： 原式 ， 是方程的两个实数根， 由根与系数的关系得， ， 代入得： 原式 ． 14. 如图，点在正方形内，．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点，利用勾股定理求出的长，可证明，得到，，据此求出的长，再求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴． 15. 如图，矩形，点在上，点在上，点在上，点在上，连接，交于点，若，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交于点M，作交于点N，绕点B顺时针旋转得到，延长交于点K，交于点R，先计算出，由旋转的结论可得，再证明，可得，设，在中，利用勾股定理列方程求得的值，在中求得的长，即可得的长． 【详解】解：如图，过点B作交于点M，作交于点N，绕点B顺时针旋转得到，延长交于点K，交于点R， ∵四边形是矩形， ∴， ，，， ∴四边形、四边形均为平行四边形， ∴，， 在中，， 由旋转可得，，，，，， 则， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，交于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1）； （2）已知，求的值． 【答案】（1）2 （2）4 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∴ ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 18. 如图，在平行四边形中，分别是边上的点，连接，使． （1）求证：四边形为菱形； （2）在（1）的条件下，若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质证明，根据菱形的判定即可证明结论； （2）根据直角三角形的性质，平行四边形的性质和面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 19. 【阅读材料】 在学习二次根式时，小张同学发现一些含根号的式子可以化成另一表达式的平方． 如： 【理解运用】 （1）填空：（_______）（________）（_________）； 【问题解决】 （2）化简：； （3）解方程： 【答案】（1）；；；；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，结合题意求解即可； （2）根据，结合题意求解即可； （3）利用公式法可得，而，据此求出即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 20. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）证明见解析 （2）条件①，四边形为矩形；条件②，四边形为菱形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 21. 智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． （1）求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 （2）为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】（1） （2）道路宽度为 【解析】 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为，然后根据题意列方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为， 则 解得（不合题意，舍去） 答：从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设道路宽度为． 依题意得， 解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 22. 阅读理解：转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．利用转化思想，我们可以解一些新的方程． 例如无理方程（根号下含有未知数的方程），解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程必须检验． 例：解方程． 解：两边平方得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： （1）已知关于的方程有一个根是，那么的值为_____； （2）仿照以上方法，解方程：； （3）请你回顾以上解答过程，总结与反思转化的数学思想，并应用转化思想解如下方程：． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接将代入原方程即可求出的值； （2）根据一元二次方程的解法，转化的思想；将两边平方，转化为一元二次方程求解，最后检验，舍去增根即可； （3）分类讨论将转化为一元二次方程来求解，当，即时，原方程可化为：，解得：；当，即时，原方程可化为：，解得：． 【小问1详解】 解：将代入，得：， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 两边平方得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程得：左边，右边而， ∴是原方程的增根， 原方程的根是． 【小问3详解】 解：分类讨论将转化为一元二次方程来求解， 当，即时，原方程可化为：， 整理后得：， ， 解得：， ∵， ∴不是原方程的根，是原方程的根， 当，即时，原方程可化为：， 整理后得： ， ， 解得：， ∵， ∴不是原方程的根，是原方程的根， 综上：原方程的解为或． 23. 如图1，在数学活动课上探究正方形的图形与性质时，小明同学将一个等腰直角三角板按如图位置摆放于边长为5的正方形上，使得其直角顶点落在点处，点落在边上，点落在的延长线上． （1）求证：； （2）如图2，取的中点，连接，若，求的长； （3）若将等腰直角三角板沿方向平移，使其直角边恰好过点，与直线交于点， ①若，求的长度； ②若转动该等腰直角三角板，仍使得其直角顶点在对角线上，且直角边过点，当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由是等腰直角三角形，可得，进而证明，即可得到； （2）过点作交于点，由正方形的性质可得，，易得是的中位线，进而得到，，最后在中，利用勾股定理可求出； （3）①连接，过点作交于点，交于点，交于点，由正方形的性质可得、、都是等腰直角三角形，四边形、四边形都是矩形，进而得出，，再证明，得到，最后根据即可得出结果；②分类讨论：第一情况，当线段与的夹角为，即时；第二情况，当线段与的夹角为，即时，再由即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在与中 ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点作交于点， 由（1）得：， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵点是的中点，即， ∴，即，点是的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴在中，． 【小问3详解】 解：①如图所示，连接，过点作交于点，交于点，交于点， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， 又∵，，， ∴、、都是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴； ②当线段与的夹角为，即时，如图所示： ∴， 由①得：， ∴， ∴， 当线段与的夹角为，即时，如图所示： 由①得：， ∴， ∴． 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期中学业水平检测初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列四个实数中，比大的无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 使二次根式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于x的一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A. B. C. D. 6. 若满足，则分解因式等于（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则以，为根的一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，连接，若，，则正方形的边长为（ ）； A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点．若，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 10. 如图，在一张边长为的正方形纸片上，将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则线段与的长度之和最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置） 11. 计算： ________； 12. 中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，在“永”字的结构中主要体现在笔画的分布与比例上，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割．已知黄金分割数为，则________．（填“”“”或“”） 13. 已知是方程的两个实数根，则的值是_____． 14. 如图，点在正方形内，．若，则的长为_____． 15. 如图，矩形，点在上，点在上，点在上，点在上，连接，交于点，若，则线段的长为_____． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1）； （2）已知，求的值． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，分别是边上的点，连接，使． （1）求证：四边形为菱形； （2）在（1）的条件下，若，，求平行四边形的面积． 19. 【阅读材料】 在学习二次根式时，小张同学发现一些含根号的式子可以化成另一表达式的平方． 如： 【理解运用】 （1）填空：（_______）（________）（_________）； 【问题解决】 （2）化简：； （3）解方程： 20. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 21. 智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． （1）求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 （2）为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 22. 阅读理解：转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．利用转化思想，我们可以解一些新的方程． 例如无理方程（根号下含有未知数的方程），解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程必须检验． 例：解方程． 解：两边平方得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： （1）已知关于的方程有一个根是，那么的值为_____； （2）仿照以上方法，解方程：； （3）请你回顾以上解答过程，总结与反思转化的数学思想，并应用转化思想解如下方程：． 23. 如图1，在数学活动课上探究正方形的图形与性质时，小明同学将一个等腰直角三角板按如图位置摆放于边长为5的正方形上，使得其直角顶点落在点处，点落在边上，点落在的延长线上． （1）求证：； （2）如图2，取的中点，连接，若，求的长； （3）若将等腰直角三角板沿方向平移，使其直角边恰好过点，与直线交于点， ①若，求的长度； ②若转动该等腰直角三角板，仍使得其直角顶点在对角线上，且直角边过点，当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $