精品解析：上海市杨浦区2026届高三第二学期模拟质量调研数学试卷

杨浦区2025学年度第二学期高三年级模拟质量调研 数学学科 2026.4 考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 设全集，，用列举法表示______. 【答案】 【解析】 【分析】由集合的补集运算结合集合的表示法即可求解. 【详解】由题意得，则. 2. 计算______. 【答案】 【解析】 【详解】 . 3. 若幂函数的图像经过点，则实数______. 【答案】3 【解析】 【详解】代入，即，解得. 4. 在的二项展开式中，常数项的值为______. 【答案】160 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式求解即可. 【详解】由二项式定理可知展开式通项为， 令，得，此时. 所以常数值为160. 5. 设正实数满足，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为正实数满足， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 6. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】令，定义域为， 函数和在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 又，则， 所以不等式的解集为. 7. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题干条件计算圆锥的高，再求圆锥的母线，进而可求圆锥的侧面积. 【详解】由题得圆锥底面积，体积，解得， 母线长，故圆锥侧面积. 故答案为：. 8. 直线：的一个法向量是，则实数______. 【答案】 【解析】 【详解】易知直线：的一个法向量可以表示为， 又直线的一个法向量是，所以两向量共线， 根据向量共线的坐标表示得，解得. 9. 已知随机变量服从二项分布，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】借助二项分布的期望与方差公式计算即可得. 【详解】，则，则. 10. 设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由知到与距离相等，其轨迹是这两点的垂直平分线, 表示的轨迹是一个单位圆，两者有交点，等价于原点到直线的距离不大于，通过计算可得实数的取值范围. 【详解】集合，由，即到与距离相等， 即的轨迹为与两点连线的垂直平分线， 设，所以，所以，化简得， 若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足； 若，则，即的轨迹为直线，表示的为圆：， 即直线与圆有交点，所以，解得，所以实数的取值范围是. 11. 掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，利用已知点坐标结合已知条件，求出的范围；对抛物线方程求导得到斜率表达式，结合条件得到，进而求出即可. 【详解】 以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为. 则，. 由题意得，即，所以，取. 又，则. 易知为锐角，所以， 所以. 故出手角度的最大值为. 12. 记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件利用向量投影、共线性质结合条件①②分析即可得. 【详解】设是这个向量中的任意两个向量， 根据投影的定义，向量在向量方向上的投影为：， 由条件①可知，或， 当时，向量共线，当时，向量垂直； 表示三个单位向量， 当、不同向时，， 则， 则，又， 故不符合， 则、同向，则由，可得、、同向， 由其中任意三个向量、、均不能使成立， 则其中任意三个向量、、不同向，即同一方向最多两个不等向量； 故结合①②可得：这些向量中任意两个向量要么共线，要么垂直，且同一方向最多两个不等向量， 例如可取空间中三个两两互相垂直的单位向量及其相反向量， 再取，这个不同向量满足条件①②； 若存在第个向量，则必须与另外个向量中的任一共线或垂直， 由于已有的向量中包含三个互相垂直的方向， 则必须与其中一个向量共线才能符合要求， 但此时任一方向都有两不同向量，故不存在符合题意， 所以满足条件的的最大值为. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13.14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意； 此时，，得到，故B不符合题意； 此时，得到，故D不符合题意； 对于C，因为在上单调递增， 所以，一定有成立，故C符合题意. 14. 事件、相互独立，若，，则A与同时发生的概率为（ ）. A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件概率公式求解即可. 【详解】事件、相互独立，则事件、也相互独立. 事件发生的概率为. 则A与同时发生的概率为. 15. 已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（ ）. A. 0是的极大值点，也是的极大值点 B. 0是的极小值点，也是的极小值点 C. 0是的极大值点，也是的极小值点 D. 0是的极小值点，也是的极大值点 【答案】D 【解析】 【详解】 对A，若取，，两个函数的零点只有，时恒有，且是两个函数的极大值点，故A可能； 对B，若取，，两个函数的零点只有，时，且是两个函数的极小值点，故B可能； 对C，，，两个函数的零点只有，时，且是的极大值点，也是的极小值点，故C可能； 对D， 若是的极小值点，结合且只有是零点，可知对任意，； 又若是的极大值点，结合且只有是零点，可知对任意，； 此时必有，即，与题设时不符，故D不可能. 16. 已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（ ） A. ①②③ B. ② C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据“-加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前项和公式依次判断即可. 【详解】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立， 对于①，，， 因为，所以， 所以成立，即， 因为，所以存在，使得成立，即数列都是“-加速数列”，故①错误； 对于②，若数列是“1-加速数列”，则， 所以数列是常数列或单调递增数列， 因为， 若，满足题意，即数列是常数列，， 若数列单调递增，则必有，， 即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确； 对于③，若数列是“2-加速数列”，则，且， 则， 所以，即， 当时，，所以不存在，使得，故③错误； 对于④，若正数列是等比数列，则， 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 所以是“-加速数列”的充要条件不是，故④错误； 综上所述：正确的命题是②. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩.该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为. （1）求第一组的得分的均值与中位数； （2）若从第一组中等可能的选取2名学生，求2人得分都在135分以上的概率； （3）兴趣小组考察某客观题的得分情况.将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题.据此，填写表格，并判断是否有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关? 附：，，，. 高分组 非高分组 总计 某客观题答对 某客观题答错 总计 【答案】（1）均值为，中位数为； （2） （3）答案见解析，没有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关. 【解析】 【分析】（1）利用平均数和中位数的概念即可求解； （2）利用古典概型及组合数即可求解概率； （3）利用独立性检验规则即可求解. 【小问1详解】 第一组共10个数据的均值为：， 第一组共10个数据按从低到高排序：， 中位数为第5、6个数的平均值，即， 所以第一组的得分均值为，中位数为； 【小问2详解】 第一组中，得分在135分以上的共有3人，从10人中任选2人： 总选法数：, 两人都在135分以上的选法数：, 所以2人得分都在135分以上的概率为：； 【小问3详解】 根据题意填写列联表： 高分组 非高分组 总计 答对 13 16 29 答错 2 9 11 总计 15 25 40 零假设：认为答对该题与进入高分组无关， 计算卡方： 根据独立性检验规则，可知没有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关. 18. 如图，在直四棱柱中，，，，，. （1）设是的中点，求证：平面； （2）若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，得证平面； （2）过作，则即为所求，利用直角三角形的性质计算出即可. 【小问1详解】 连接，直四棱柱中， ，， 是的中点，，则，所以为平行四边形， 则有，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 梯形的面积， ，则， 过作，交于，连接， 直四棱柱中，平面，则为在平面内的射影， 由，有，所以即为所求， 中，，有，又，则， ，所以锐角. 19. 已知函数（常数）. （1）若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小； （2）若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数解析式由，求出角A，再由，利用正弦定理求出，可得角B的大小； （2）由函数图象的变换，求出解析式，由时，求出的取值范围. 【小问1详解】 时，函数，，， 中，，所以， ，由正弦定理可得，， 由，所以. 【小问2详解】 函数（常数），的最小正周期为π， 所以，得，即， 所以， 时，，则有，此时， 当时恒有，则有，解得， 所以的取值范围为. 20. 已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为. （1）求双曲线的离心率和渐近线的方程； （2）设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； （3）设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助离心率定义与渐近线定义计算即可得； （2）设，结合中点公式可表示出点坐标，代入双曲线方程计算即可得； （3）设出直线的方程，联立曲线可得点坐标，联立渐近线方程可得点坐标，利用直线、的关系计算可得点、点坐标，再利用面积公式计算即可得解. 【小问1详解】 由可得，则，则， 故双曲线的离心率， 渐近线的方程为； 【小问2详解】 由，则双曲线方程为，，设， 则线段的中点的坐标为， 有，解得，故点Q的坐标为； 【小问3详解】 由，则双曲线方程为，、， 由题意可得直线斜率存在且不为， 设直线的方程为，则直线的方程为， ，解得或，则， 由在第一象限，则，解得， ，解得，即， 则，即， ，即， ， 即，则，又，故， 即直线的方程为，整理得. 21. 设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. （1）若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； （2）若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； （3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【答案】（1）是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】利用赋值即可求证； 利用分离变量求值域，即可求得参数范围； 利用恒等式变形，结合值域分析，即可得证. 【小问1详解】 因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； 【小问2详解】 由题意，，需满足， 代入 ​整理得： ， 因为，所以要求， 又，故，由等式可得：， 对任意都存在满足条件的，故， 所以的取值范围； 【小问3详解】 由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦区2025学年度第二学期高三年级模拟质量调研 数学学科 2026.4 考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 设全集，，用列举法表示______. 2. 计算______. 3. 若幂函数的图像经过点，则实数______. 4. 在的二项展开式中，常数项的值为______. 5. 设正实数满足，则的最小值为______. 6. 不等式的解集为______. 7. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 8. 直线：的一个法向量是，则实数______. 9. 已知随机变量服从二项分布，若，则______. 10. 设集合，，若，则实数的取值范围是______. 11. 掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）. 12. 记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13.14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 事件、相互独立，若，，则A与同时发生的概率为（ ）. A. 0 B. C. D. 15. 已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（ ）. A. 0是的极大值点，也是的极大值点 B. 0是的极小值点，也是的极小值点 C. 0是的极大值点，也是的极小值点 D. 0是的极小值点，也是的极大值点 16. 已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（ ） A. ①②③ B. ② C. ②④ D. ③④ 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩.该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为. （1）求第一组的得分的均值与中位数； （2）若从第一组中等可能的选取2名学生，求2人得分都在135分以上的概率； （3）兴趣小组考察某客观题的得分情况.将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题.据此，填写表格，并判断是否有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关? 附：，，，. 高分组 非高分组 总计 某客观题答对 某客观题答错 总计 18. 如图，在直四棱柱中，，，，，. （1）设是的中点，求证：平面； （2）若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小. 19. 已知函数（常数）. （1）若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小； （2）若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围. 20. 已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为. （1）求双曲线的离心率和渐近线的方程； （2）设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； （3）设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程. 21. 设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. （1）若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； （2）若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； （3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $