精品解析：江苏泰州市兴化市2025-2026学年下学期初中学生阶段性评价 八年级数学试卷

2026年春学期初中学生阶段性评价 八年级数学试卷 （考试用时：120分钟 满分：150分） 说明：1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类．根据交通信号灯的变化特点，绿灯的出现是可能发生也可能不发生的，属于随机事件． 【详解】经过有交通信号灯的路口时，信号灯可能显示红灯、黄灯或绿灯，遇到绿灯的具体结果无法提前确定． 因此，“遇到绿灯”这一事件是否发生具有不确定性，属于随机事件． 故选A． 2. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：的分母是常数，不含字母，是整式； 选项B：是单项式，属于整式； 选项D：是多项式，属于整式； 只有选项C：，分母中含有字母，符合分式的定义． 故选C． 3. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．属于整式乘法，结果为和的形式，不符合因式分解定义， C．结果不是整式乘积的形式，不符合定义， D．属于整式乘法，结果为和的形式，不符合定义， B．将多项式变形为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义． ∴答案选B． 4. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 邻边互相垂直 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一分析选项，即可得到答案． 【详解】解：由于对角相等、对角线相等、邻边互相垂直均为矩形的性质， ∵正方形是特殊的矩形，正方形也具有这些性质， ∴选项不符合题意， ∵正方形的对角线互相垂直，矩形只有是正方形时对角线才互相垂直，普通矩形对角线不互相垂直， ∴对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质， ∴选项符合题意． 5. 如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值( ) A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件将x，y都扩大3倍后化简，化简的结论与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：将分式中的x和y都扩大3倍得：＝， ∴如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值扩大到原来的3倍． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，根据已知条件将x，y都扩大3倍后化简是解题的关键． 6. 如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得为的中位线，得，在中，根据勾股定理得求解． 【详解】∵M，N分别为，的中点， ∴． 在中，，， ， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和勾股定理，关键是掌握三角形中位线平行且等于第三边一半的性质． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估计概率，根据概率求数量． 根据频率估计概率，摸到黑球的概率稳定在，求出总数，即可求出红球的个数． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率稳定在左右， 则盒子中球的总个数为（个）， 所以盒子中红球的个数为（个）． 故答案为：20． 8. 计算的结果是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由于分母相同，直接合并分子后约分即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 9. 在平行四边形中，，则___________． 【答案】##140度 【解析】 【分析】根据平行四边形，得到，结合，计算即可，本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 分式和的最简公分母是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，熟练掌握找公分母的方法是解题的关键． 根据最简公分母的定义求解即可． 【详解】解：分式和的分母分别为，， 最简公分母是， 故答案为：． 11. 如图，菱形ABCD，AC=8cm，BD=6cm，则AB的长为_____cm． 【答案】5. 【解析】 【分析】由菱形对角线互相垂直平分，得到OA，OB的长，再利用勾股定理求AB. 【详解】∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA=AC=4cm，OB=BD=3cm 在Rt△AOB中，由勾股定理得： AB=cm 故答案为5. 【点睛】本题考查菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的性质和勾股定理的运用是解决本题的关键. 12. 如图，长、宽分别为、的长方形周长为，面积为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，整式的因式分解，根据题意得出，，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可． 【详解】解：长、宽分别为、的长方形周长为，面积为， ，， ， 故答案为：． 13. 若，则分式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、代数式求值等知识点，利用分式的性质对分式变形是解题的关键． 由已知条件可得，然后整体代入所求分式化简即可解答． 【详解】解：由 ，得，即． 所以分式为 ． 故答案为：． 14. 随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为米/秒，则所列分式方程是___． 【答案】 【解析】 【分析】抓住追上时甲乙运动时间相等的等量关系，结合路程速度时间的关系列出方程求解即可． 【详解】解：设甲接下来的平均速度为米/秒． 由题意可知，甲想再跑300米刚好追上乙，此时甲落后乙40米，因此乙跑的路程为米，甲乙运动时间相等． 根据公式，可得乙运动时间为，甲运动时间为． 由时间相等可得方程： ． 15. 如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】先通过去分母将分式方程化为整式方程，求出用表示的解；再根据解为正数和分母不为零（分式方程有意义）两个条件，列不等式求解的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 方程的解是正数， , 解得, 分式方程分母不为， 即 解得， ∴实数的取值范围是且． 16. 如图，矩形中，，，点为中点，点为边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至点，连接、，若的面积为时，则_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】通过旋转构造全等三角形，将动点问题转化为可计算的线段问题即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系， 则 ， 因为，，为中点， 所以，， 所以 ， 设点坐标为 ， 因为将绕点逆时针旋转至点， 则有 ， ， 即 ， 因为， 所以， 代入坐标得：， 解得 ， 解得，或， 因为为中点，点横坐标为， 所以 ， 当时，， 当时， ， 的长为或． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式． （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解因式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【小问1详解】 解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 解得 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解． 20. 先化简，然后在范围内选一个合适的整数代入求值． 【答案】化简为，值为 【解析】 【详解】解： ∵分式有意义， ∴， ∴当时，原式． 21. 摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋子中并摇匀． 如下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 295 480 580 摸到白球的频率 0.64 0.61 0.59 0.60 0.58 （1）表中的_____，_____． （2）“摸到白球”的概率的估计值是_____（精确到0.1）． （3）若袋中有6个红球，估计袋中一共有多少个球？ 【答案】（1）0.58，122 （2）0.6 （3）15个 【解析】 【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）用频率估计概率的方法求解； （3）根据利用频率估计概率，设一共有个球，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，；； 【小问2详解】 解：由表格可得，“摸到白球”的概率的估计值是0.6； 【小问3详解】 解：设一共有个球， 由题意得，， 解得， 经检验：是方程的解， ∴估计一共有个球． 22. 若，（） （1）若，则_____（填“”“”或“”） （2）若，判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）用作差法求得，即可求解； （2）同（1）的方法即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∵ ∴ ∴， 即； 【小问2详解】 ，理由如下 ∵ ∴ 又∵， ∴， 即． 23. 某校开设智能机器人编程的社团活动，并购买了，两种型号的机器人模型．若型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，且用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价． （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型不超过型机器人模型的倍．记购买费用为元，若购买型编程机器人模型台，求的最小值． 【答案】（1）型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元； （2）元． 【解析】 【分析】（）设型机器人模型单价是元，则型机器人模型单价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，先求出，然后根据题意得，最后通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设型机器人模型单价是元，则型机器人模型单价是元， 根据题意，， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元； 【小问2详解】 解：设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台， ∴，解得：， ∴ ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为（元）． 24. 如图，平行四边形中，的平分线交边于点，的平分线交边于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）记、的交点为，连接．若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质和角平分线，证明四边形的两组对边分别平行，得出其为平行四边形；再通过等角对等边证明一组邻边相等，从而证得四边形是菱形． （2）先根据菱形的性质和已知条件，证明为等边三角形，求出相关线段的长度；再通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出的长度． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴平分，即 ， 过点作于点， 在中， ， 在中， ∵ ，， ∴ ，， 设，则， ，， 又∵ ，即 ， 解得（负值已舍）， ∴，， ∴ ， 在中， ． 25. 【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．假分式可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式），如：． 【解决问题】 （1）将假分式化为带分式； （2）若的值为整数，求整数的值； 【拓展延伸】 （3）若，且、为正整数，求的值． 【答案】（1） （2）或1 （3）7 【解析】 【分析】（1）仿照例题计算即可求解； （2）先化为带分式，根据分式的值为整数，得出为整式，进而求得的值； （3）法1：用含的式子表示出；法2：用含的式子表示出；进而同（2）的方法求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：． ∴是整数，即或， ∴或1； 【小问3详解】 解：法1：， ∵、为正整数， ∴是正整数， ∴，解得：，则； 或，解得：（舍去）， ∴； 法2：， ∵、为正整数， ∴须为大于1的奇数， 又∵为正整数， ∴是的正约数， ∴，解得：，则， 或，解得：，则（舍去）， ∴． 26. 解答下列问题： （1）在等腰梯形中，，． ①如图1，求证：； ②如图2，点、分别为、中点，若，，求的长度； （2）如图3，在直角梯形中，，，，，，若点从点沿着射线、点从点沿着射线以相同的速度运动，在、运动的过程中，求线段的长度的最小值． 【答案】（1）①见解析；②3 （2）9 【解析】 【分析】（1）①如图：作平行于交于点，易证四边形是平行四边形；再利用平行四边形的性质以及等边对等角即可证明结论； ②如图：过点作，分别交，于点，，易证，可得，进而证明是平行四边形、是平行四边形，再利用平行四边形的性质、等量代换以及线段的和差即可解答； （2）如图：延长，相交于点，以为圆心，，长为半径作圆，分别交，于点，．取，中点，，易证，是等边三角形，进而得到，如图：过点作平行四边形，交于点，过点作 ，交于点；再证明四边形是平行四边形，进而得到是直角三角形，最后运用平行四边形的性质以及两点之间线段最短即可解答． 【小问1详解】 ①证明：如图：作平行于交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②解：如图：过点作，分别交，直线于点，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，由①可证， ∴， ∴， ∵，为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理∶四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：如图：延长，相交于点，以为圆心，，长为半径作圆，分别交，于点，．取，中点，， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∵，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， 由（1）②， 如图：过点作平行四边形，交于点，过点作 ，交于点， 由①可得， ∵ ，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，是，中点，， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的长度最小值为9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期初中学生阶段性评价 八年级数学试卷 （考试用时：120分钟 满分：150分） 说明：1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 2. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 邻边互相垂直 D. 对角线互相垂直 5. 如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值( ) A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 6. 如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为________． 8. 计算的结果是_____． 9. 在平行四边形中，，则___________． 10. 分式和的最简公分母是__________． 11. 如图，菱形ABCD，AC=8cm，BD=6cm，则AB的长为_____cm． 12. 如图，长、宽分别为、的长方形周长为，面积为，则的值为_______． 13. 若，则分式的值为_____． 14. 随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为米/秒，则所列分式方程是___． 15. 如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是_____． 16. 如图，矩形中，，，点为中点，点为边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至点，连接、，若的面积为时，则_____． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 分解因式： （1） （2） 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 先化简，然后在范围内选一个合适的整数代入求值． 21. 摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋子中并摇匀． 如下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 295 480 580 摸到白球的频率 0.64 0.61 0.59 0.60 0.58 （1）表中的_____，_____． （2）“摸到白球”的概率的估计值是_____（精确到0.1）． （3）若袋中有6个红球，估计袋中一共有多少个球？ 22. 若，（） （1）若，则_____（填“”“”或“”） （2）若，判断和的大小关系，并说明理由． 23. 某校开设智能机器人编程的社团活动，并购买了，两种型号的机器人模型．若型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，且用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型，型机器人模型的单价． （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型不超过型机器人模型的倍．记购买费用为元，若购买型编程机器人模型台，求的最小值． 24. 如图，平行四边形中，的平分线交边于点，的平分线交边于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）记、的交点为，连接．若，，，求的长． 25. 【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．假分式可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式），如：． 【解决问题】 （1）将假分式化为带分式； （2）若的值为整数，求整数的值； 【拓展延伸】 （3）若，且、为正整数，求的值． 26. 解答下列问题： （1）在等腰梯形中，，． ①如图1，求证：； ②如图2，点、分别为、中点，若，，求的长度； （2）如图3，在直角梯形中，，，，，，若点从点沿着射线、点从点沿着射线以相同的速度运动，在、运动的过程中，求线段的长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $