第九章 解三角形 专项训练（一）-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦正弦定理、余弦定理及面积公式的系统应用，通过基础到综合的题型设计，培养数学推理与运算能力，强化解三角形知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8单选|已知边角求角、判断形状|从正弦/余弦定理直接应用到多解情况分析| |综合判断|3多选|多结论辨析、最值问题|结合定理与三角形性质的综合推理| |面积计算|3填空|已知边角求面积|面积公式与定理的融合应用| |综合解答|5解答|含几何图形的综合题|从单一公式到多定理联用的问题解决|

2026年人教版B版新课标高中必修第四册 第九章解三角形专项训练 第十章（分值150分，限时120分钟) 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A:B:C=1:1:4,则 a:b:c=( A.1:1:4 B.1:1:2 C.2:V3:1 D.1:1:V3 【答案】D 【解析】解：由A,B,C∈(0，T),A:B:C=1:1:4,且A+B+C=π， 则A=若B=8C=于 6 31 由正弦定理得： axbc=sinAsinB:.sinc=专号号=1：1V3. 故选：D 2.已知在△ABC中，a2 cosAsinB=b2 sinAcosB,则△ABC的形状为( A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了正弦定理，余弦定理和二倍角公式的应用，在对三角形的边角关系进行变形 时，务必要做等价变形，否则会造成增解或漏解，属基础题， 法一：先用正弦定理将题中已知条件化为sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB,又 sinAsinB≠0，得到sin2A=sin2B,在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2m,2A= 2B或2A=π-2B据此可得到答案 法二：利用正余弦定理进行化简可得答案 第1页，共15页 【解答】 解：方法一：a2 cosAsinB=b2 sinAcosB, ·.由正弦定理得sin2 AcosAsinB=sin2 BsinAcos B, 又sinA·sinB≠0，.sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B. 在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，·.2A=2B或2A=π-2B, “A=B或A+B=受△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D. 方法二：·a2 cosAsinB=b2 sinAcosB, 由正弦定理、余弦定理得ab.2+2=b2a.+2, 2bc 2ac a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, a2-b2=0或a2+b2-c2=0,即a=b或a2+b2=c2, ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形故选D. 3.在△ABC中，cosS= 25 ,BC=1,AC=5,则AB=( A.42 B.V30 C.V29 D.2W5 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查二倍角的公式及其应用，余弦定理，考查计算能力，属于基础题. 由已知，运用二倍角公式可得cosC=-}再运用余弦定理求出AB的值即可. 【解答】 解：cosC=2cos29-1=2×;-1=-景 又cosC BC2+AC2-AB2=1+25-AB2=-3 2BC.AC 2×5 -5 ..AB=4v2. 故选A. 4.若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2 sin BcosC,那么△ABC是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【答案】B 【解析】【分析】 第2页，共15页 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用.要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公 式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题， 对(a+b+c)b+c-a=3bc化简整理得b2-bc+c2=a2,代入余弦定理中求得 cosA,进而求得A=60°，又由sinA=2 sinBcosC,可求mA=2cosC,即 sinB :2×2品兰，化简可符b=G,结合A=609,进而可判断三角形的形状。 【解答】 解：：(a+b+c)b+c-a)=3bc, ·[(b+c)+a][(b+c)-a]=3bc, ·(b+c)2-a2=3bc, b2+2bc+c2-a2 3bc, b2-bc+c2 a2, 根据余弦定理有a2=b2+c2-2 bccosA, .b2-bc+c2 a2 b2 +c2-2bccosA, bc=2bccosA, COsA=A=600, 又由sinA=2 sinBcosC, 则=2osC,即g=2×4二 sin 2ab 化简可得，b2=c2, 即b=c, ·△ABC是等边三角形 故选B. 5.在锐角三角形ABC中，a=2 bsinA,则B=( A. B.￥ c.音 D 12 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键， 属基础题. 第3页，共15页 己知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，再由B∈(0，习即可确定 出B的度数. 【解答】 解：在锐角△ABC中，a=2 bsinA ∴由正弦定理化简得：sinA=2 sinBsinA, sinA≠0，sinB=2 又：Be(0,) 则B=名 故选A. 6.在△ABC中，C=60°，a+2b=8,sinA=6sinB,则c=( A.V35 B.√31 C.6 D.5 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题， 利用正弦定理可得a=6b,结合已知可求得a,b,再利用余弦定理即可求解 【解答】 解：在△ABC中，sinA=6sinB, 利用正弦定理得：a=6b, 所以吧±他8，解6二 利用余弦定理c2=a2+b2-2abc0sC=36+1-2×1×6×=31, 故c=V31. 故选：B 7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若△ABC的面积为2+b2-c,则 4 C=( A.月 B. c. 【答案】C 第4页，共15页 【解析】【分析】 本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，考查学生运算能力，是基础 题 出Sa8c-专absinc--二得sinC-然2=cosc,由此能求出结。果 2ab 【解答】 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,△ABC的面积为+b2-C 4 SAARc-absinc 4 .sinC a2+b2-c2 2ab =cosC, :0<C<m,C=界 故选C. 8.在aABC中，已知B=120°，AC=√19，AB=2,则BC=( ) A.1 B.V2 C.V5 D.3 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了利用余弦定理解三角形，属于基础题， 利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长 【解答】 解：设AB=c,AC=b,BC=a, 结合余弦定理：b2=a2+c2-2 accosB可得： 19=a2+4-2×a×2×cos120°， 即：a2+2a-15=0,解得：a=3(a=-5舍去)， 故BC=3 故选：D 第5页，共15页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=1,a2+c2-b2=ac, sin2B=3 sinAsinC,则( A.B=8 B.ac=号 C.△ABC的面积为 D.△ABC的周长为V2+1 【答案】ABD 【解析】【分析】 本题主要考查利用余弦定理解三角形，正弦定理及变形，考查三角形的面积公式，属于 中档题. 由余弦定理求出角B,由正弦定理求出c,结合三角形面积公式求得S,利用配方法， 得到a+c的值，即可求出周长. 【解答】 解：a2+c2-b2=ac,·cosB= 42= 2ac B∈(0，m,B=君 :sin2B=3 sinAsinC,由正弦定理可得b2=3ac, b=1.ac= △ABC的面积为S=acsinB=x名x9- 231 、2-12 b=1,a2+c2-b2=ac, (a+c-2ac=青 a+c=V2或-√2（舍去）， ∴.△ABC的周长为a+b+c=V2+1. 故选ABD 10.在ABC中，角A,B,C的边分别为a,b,c,己知B=,b=4V3,则下列说法正确 的是( A.若A=于则a=4W2 B.若a=4,则c=9 C.△ABC周长的最大值为12V3 D.△ABC面积的最大值12V3 第6页，共15页 【答案】ACD 【解析】解：对A:由正弦定理a=得品 ×s如=4V2,故A正确： 即a=y3 对B:由余弦定理b2=a2+c2-2 accosB,得48=16+c2-4c, 解得c=8或c=-4, 又c>0,所以c=8,故B错误； 对C:由余弦定理b2=a2+c2-2 accosB,得48=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac, 所以ac=a+g2-48 3, 又a2+c2≥2ac,当且仅当a=c=4V3时取“=”， 所以a2+2ac+c2≥4ac,所以ac≤a+e2, 4 所以a+o2-48<a+g2 a+,则atc≤8V3, 所以△ABC周长的最大值为123，故C正确： 对D:由余弦定理b2=a2+c2-2 accosB,得48=a2+c2-ac, 所以a2+c2=48+ac≥2ac,当且仅当a=c=4V3时取“=”， 则ac≤48， 所以5Ac=acsinB≤×48×气=12V3,故D正确. 故选：ACD 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的是( A.若B>C,则b>c B.sin(A+C)=sinB C.若b2+c2>a2,则△ABC是锐角三角形 D.若b2+c2<a2,则△ABC是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】【分析】 本题考查正弦定理及变形，利用余弦定理判断三角形的形状，诱导公式，属于中档题. 根据三角形的几何性质，结合三角函数的诱导公式以及余弦定理，可得答案， 第7页，共15页 【解答】 解：对于A,在△ABC中，若B>C, 可得sinB>sinC, 由正弦定理可得b>c,故A正确； 对于B, sin(A+C)=sin(m-B)=sinB,故B正确； 对于C,由b2+c2>a2, 得cosA=b2+c2>0,则A是锐角， 2bc 显然B,C是否都是锐角无法确定，故C错误： 对于D,由b2+c2<a2, 得cosA=b2+22<0,则A是钝角， 2bc 故△ABC是钝角三角形，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 l2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4 asinBsinC, b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为 【答案】2 【解析】【分析】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角 形面积公式的应用， 直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面 积。 【解答】 解：△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c bsinC+csinB=4asinBsinC, 利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4 sinAsinBsinC, 由于0<B<π，0<C<π， 所以sinBsinC≠0， 第8页，共15页 所以sinA=克则A=若或g 由于b2+c2-a2=8, 则：cosA= b2+c2-a2 2bc ①当A=到，9-品 6 解得bc=V3 所以SAARC=bcsinA=2Y 2 ②当A=时， 2=2bc 解得bc=-￡ (不合题密)，合去 故：SAABC=2Y3 3 故答案为：2 3 13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC 的面积为 【答案】6V3 【解析】【分析】 本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题. 利用余弦定理得到c3,然后根据面积公式SAABC=acsinB=c产sinB求出结果即可. 【解答】 解：由余弦定理有b2=a2+c2-2 accosB, :b=6,a=2c,B=7 36=(2c2+c2-4c2cos7 .c2=12, SAABC=zacsinB=esinB =6V3. 故答案为6v3. 第9页，共15页 14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为V3,B=60°，a2+c2= 3ac,则b= 【答案】2W2 【解析】【分析】 本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题， 由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得. 【解答】 解：△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为V3,B=60°，a2+c2= 3ac, “acsinB=V3→acx=V3与ac=4→a2+c2=12, 2 又cosB-→。b=2V2.(负值) 2ac 故答案为：2√2. 四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤。 15.(本小题14分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已 知m=(a,c-2b),i=(cosC,cosA),且m⊥i. (1)求角A的大小： (2)若b+c=5,△ABC的面积为V3,求△ABC的周长 【答案】解：(1)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c 已知m=(a,c-2b),i=(cosC,cosA), 且1五. 所以mi=acosC+(c-2b)cosA=0, 利用正弦定理整理得：sinAcosC+sinCcosA-2 sinBcosA=0, 所以sin(A+C)-2 sinBcosA=0, 即sinB-2 sinBcosA=0,由于sinB≠0， 第10页，共15页 故cosA= 由于0<A<,所以A= (2)由于△ABC的面积为V3, 所以bcsinA=√3，整理得bc=4. 利用余弦定理a2=c2+b2-2 bccosA=(b+c)2-3bc=13,解得a=V13, 所以周长1=a+b+c=5+V13. 【解析】本题考查的知识要点：平面向量的数量积的应用，正弦定理、余弦定理和三角 形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力 (1)直接利用平面向量的数量积的应用和正弦定理的应用求出A的值. (2)利用余弦定理和三角形的面积公式的运用求出结果 16.(本小题14分) 如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4,AC=2√7， DC=2. (1)求cos-ADC; (2)求AB的长. 【答案】解：(1)在△ADC中，AD=4,AC=2V7,DC=2, 由余弦定理得cos-ADC=D4AC-142=-分 2ADDC 2×4×2 (2)由(1)可得∠ADC=120°，所以∠ADB=60°. 在△ABD中，AD=4,∠B=45°，∠ADB=60°， 由正弦定理得AB=ADsi∠ADB=sm60°=2√6 sin/B sin45° 【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理， 牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键. 第11页，共15页 (1)在△ADC中，利用余弦定理表示出cosLADC,把三角形的三边长代入，化简可得 值， (2)根据LADC的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出LADC的度数，根据邻补角定 义得到∠ADB的度数，再由AD和∠B的度数，利用正弦定理即可求出AB的长. 17.(本小题14分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC. (1)求A; (2)若V2a+b=2c,求sinC. 【答案】解：(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, (sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC, sin2B sin2C-2sinBsinC sin2A-sinBsinC, 由正弦定理得：b2+c2-a2=bc, 小osA-张号 2bc :0<A<π， A=子 (2):V2a+b=2c,A=号 ∴由正弦定理得V2sinA+sinB=2sinC, …5+sim(g-9=2sinc, 即9+9cosc+sinc=2sinc 即+。 +号2cosc-sinc=0, 即sim(c-名)=9 ce(0,3) c-c(-. -c=+后 π，π ÷sinc=sin(4+6） 第12页，共15页 sin cos+cossin 6 6 号×9+号x4 4 【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，两角的和与差的正弦公式，属于中档 题 (1)由正弦定理得：b2+c2-a2=bc,再由余弦定理求出A. (2)由已知及正弦定理可得：sn(C-君)=号，可解得c的值，即可得解。 18.(本小题16分) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=3,c=√2，B=45°. (1)求sinC的值； (2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-手求tan-DAC的值. A D C 【答案】解：(1)在△ABC中，a=3,c=V2,B=45°， 由余弦定理可得b=Va2+c2-2 accosB=, 9+2-2x3×W2×9=V5, 2 由正弦定理可得c=b sinC sinB 所以smG=n45”-号×竖-得 59 (2)因为os-ADC=-手所以sin-ADC=V1-cos2LADC= 在三角形ADC中，易知C为锐角， 由(1)可得cosC=√1-sin2C=2y5, 5 所以sin∠DAC=sin(zADC+∠ACD)=sinADCcos∠ACD+cos∠ADCsin.∠ACD=2Y5, 25 因为LDAC E(0,),所以cOs∠DAC=√1-sin2ZDAC=5, 25 所以tanDAC=sDaC=2 c0s∠DAC111 第13页，共15页 【解析】本题考查正、余弦定理的综合应用，由一个三角函数值求其他三角函数值、两 角和与差的正弦公式，属于中档题. (I)先由题意结合余弦定理求出b的值，再由正弦定理求出sinC的值： (2)根据sinDAC=sin(LADC+∠ACD)结合两角和的正弦公式求出sinDAC的值，利用 同角三角函数基本关系求出cosDAC的值，进而求出tanDAC的值. 19.(本小题16分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知△ABC的面积为a2 3sinA (1)求sinBsinC: (2)若6 cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长. 【答案】解：(a)因为△ABc面积S=品且S=besinA, 所以点besinA,所以子-bsin2a 由正弦定理得sim2A=2 sinBsinCsin2A, 因为simA≠0，所以sinBsinC=子 (2)由(1)得sinBsinC=子cosBcosC=名 因为A+B+C=π，所以cosA=cos(m-B-C)=-cos(B+C)=sinBsinC cosBcosC= 又AE(0,W,所以A=言sinA=号cosA=多 由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9,① 由正弦定理得b-品sinB,c=A·sinC, sinA 所以bc=六.sinBsinC=8, ② 由①②得：b+c=V33, 所以a+b+c=3+√33，即△ABC周长为3+V33. 【解析】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦 定理，考查了学生的运算能力，属于中档题 第14页，共15页 (1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案. (2)根据两角余弦公式可得cosA=?即可求出A=?再根据正弦定理可得bc=8,根 据余弦定理即可求出b+c,问题得以解决. 第15页，共15页2026年人教版B版新课标高中必修第四册 第九章解三角形专项训练（一) (分值150分，限时120分钟) 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A:B:C=1:1:4,则a:b:c=() A.1:1:4 B.1:1:2 C.2:V3:1 D.1:1:V3 2.已知在△ABC中，a2cosAsinB=b2sinAcosB,则△ABC的形状为() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 3在△ABC中，co=9,BC=1,AC=5,则AB() A.4W2 B.√30 C.V29 D.2V5 4.若(a+b+cb+c-a)=3bc,且sinA=2 sinBcosC,那么△ABC是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 5.在锐角三角形ABC中，a=2 bsinA,则B=() A.8 B3 C. D. 12 6.在△ABC中，C=60°，a+2b=8,sinA=6sinB,则c=() A.V35 B.√31 C.6 D.5 7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若△ABC的面积为+2- ,则 C=() A B. c D. 8.在△ABC中，已知B=120°，AC=V19,AB=2,则BC) A.1 B.V2 C.√ D.3 第1页，共5页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=1,a2+c2-b2=ac,sinB= 3 sinAsinC,则() AB=号 B.ac=月 C.AABC的面积为 D.△ABC的周长为V2+1 4 10.在ABC中，角A,B,C的边分别为a,b,c,已知B=,b=4V3,则下列说法正确 的是() A.若A=,则a=4N2 B.若a=4,则c=9 C.△ABC周长的最大值为12v3 D.ABC面积的最大值12V3 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的是() A.若B>C,则b>c B.sin(A+C)=sinB C.若b2+c2>a,则△ABC是锐角三角形 D.若b2+c2<a,则△ABC是钝角三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4 asinBsinC,b2+ c2-a2=8,则△ABC的面积为· l3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=子，则△ABC的 面积为一· 14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为V3,B=60°， a2+c2=3ac,则b=一 第2页，共5页 四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤。 15.(本小题14分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知m=(a,c-2b), i=(cosC,cosA),且m1i. (1)求角A的大小：(2)若b+c=5,△ABC的面积为v3,求△ABC的周长 16.(本小题14分) 如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4,AC=2V7, DC=2. (1)求cos∠ADC,(2)求AB的长. 17.(本小题14分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sinA-sinBsinC. (1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sinC. 第3页，共5页 18.(本小题16分) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知a=3,c=V√2，B=45°. (1)求snC的值； (2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-专，求tan∠DAC的值. 19.(本小题16分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为，a 3sinA (1)求sinBsinC: (2)若6 cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长. 第4页，共5页 第5页，共5页2026年人教版B版新课标高中必修第四册 第九章解三角形专项训练（一） (分值150分，限时120分钟) 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A:B:C=1:1:4,则a:b:c=( A.1:1:4 B.1:1:2 C.2:3:1 D.1:1:W3 2.已知在△ABC中，acosAsinB=b'sinAcosB,则△ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 3.在△ABC中，cosC=5 25 BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4V2 B.30 C.29 D.25 4.若a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2 sinBcosC,那么△ABC是( 第1页，共1页 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 5.在锐角三角形ABC中，a=2 bsinA,则B=( A晋 B婴 c骨 6.在△ABC中，C=60°，a+2b=8,sinA=6sinB,则c-( ) A.V35 B.31 C.6 D.5 7,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若△ABC的面积为+b-C,则C 4 A号 B号 D君 8.在△ABC中，已知B=120°，AC=19,AB=2,则BC=( A.1 B.2 C.5 D.3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=1,a2+c2-b=ac, sin2B=3 sinAsinC,则( ) 第2页，共1页 AB=号 Bac-号 C.△ABC的面积为g D.△ABC的周长为V2+1 10.在aABC中，角A,B,C的边分别为a,bc,已知B=号b=43,则下列说法正确的是 ( ) A若A=军，则a=42 B.若a=4,则c=9 C.△ABC周长的最大值为12V3 D.△ABC面积的最大值12V3 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,下列说法正确的是( ) A.若B>C,则b>c B.sin(A+C)=sinB C.若b2+c2>a2,则△ABC是锐角三角形 D.若b2+c2<a2,则△ABC是钝角三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4 asinBsinC, b2+c2-a2=8'则△ABC的面积为 第3页，共1页 13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若b=6,a=2c,B=号，则△ABC的面 积为 14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为V3,B=60°，a+c2=3ac, 则b= 四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤。 15本小题14分)在44BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知m=(a,c-2b, i=(cosC,cosA),且g,g m⊥n (1)求角A的大小：(2)若b+c=544BC的面积为3：求4ABC的周长. 第4页，共1页 16本小题14分) 如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4,AC=2V7,DC=2. (1)求cos∠ADC:2求AB的长. 17.(本小题14分) △ABC的内角A'B'C的对边分别为a'b'c.设(sinB-sinc=sin2A-sinBsinC· (1)求A:(2)若2a+b=2c'求sinC: 18.本小题16分) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=3,c=V2,B=45°. (1)求sinC的值： (2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-4 ，求am∠DAC的值. 第5页，共1页 A B δ 19.本小题16分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知△ABC的面积为3snA (1)求sinBsinC; (2)若6 cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长. 第6页，共1页 2026年人教版B版新课标高中必修第四册 第9章 解三角形专项训练 第10章 （分值150分，限时120分钟） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知的内角所对的边分别是，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由，且， 则， 由正弦定理得： ． 故选：． 2.已知在中，，则的形状为(    ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理，余弦定理和二倍角公式的应用，在对三角形的边角关系进行变形时，务必要做等价变形，否则会造成增解或漏解，属基础题． 法一：先用正弦定理将题中已知条件化为，又，得到，在中，，，或据此可得到答案． 法二：利用正余弦定理进行化简可得答案． 【解答】 解：方法一：， 由正弦定理得， 又，，． 在中，，，或， 或，为等腰三角形或直角三角形故选D． 方法二：， 由正弦定理、余弦定理得， ，， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形故选D． 3.在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查二倍角的公式及其应用，余弦定理，考查计算能力，属于基础题． 由已知，运用二倍角公式可得，再运用余弦定理求出的值即可． 【解答】 解：， 又， ． 故选A． 4.若，且，那么是(    ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 对化简整理得，代入余弦定理中求得，进而求得，又由，可求，即，化简可得，结合，进而可判断三角形的形状． 【解答】 解：， ， ， ， ， 根据余弦定理有， ， ， ，， 又由， 则，即， 化简可得，， 即， 是等边三角形 故选B． 5.在锐角三角形中，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属基础题． 已知等式利用正弦定理化简，根据不为求出的值，再由即可确定出的度数． 【解答】 解：在锐角中， 由正弦定理化简得：， ，， 又 则． 故选A． 6.在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题． 利用正弦定理可得，结合已知可求得，，再利用余弦定理即可求解． 【解答】 解：在中，， 利用正弦定理得：， 所以，解得 利用余弦定理， 故． 故选：． 7.的内角，，的对边分别为，，若的面积为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，考查学生运算能力，是基础题． 由，得，由此能求出结果． 【解答】 的内角，，的对边分别为，，，的面积为， ， ， ，． 故选C． 8.在中，已知，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了利用余弦定理解三角形，属于基础题． 利用余弦定理得到关于长度的方程，解方程即可求得边长． 【解答】 解：设  ， 结合余弦定理：  可得： ， 即：，解得：   舍去， 故 ． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知的内角，，的对边分别为，，，，，，则(    ) A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查利用余弦定理解三角形，正弦定理及变形，考查三角形的面积公式，属于中档题． 由余弦定理求出角，由正弦定理求出，结合三角形面积公式求得，利用配方法，得到的值，即可求出周长． 【解答】 解：，， ，， ，由正弦定理可得， ，， 的面积为， ，， ， 或舍去， 的周长为． 故选ABD． 10.在中，角的边分别为，已知，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 周长的最大值为 D. 面积的最大值 【答案】ACD  【解析】解：对：由正弦定理，得， 即，故A正确； 对：由余弦定理，得， 解得或， 又，所以，故B错误； 对：由余弦定理，得， 所以， 又，当且仅当时取“”， 所以，所以， 所以，则， 所以周长的最大值为，故C正确； 对：由余弦定理，得， 所以，当且仅当时取“”， 则， 所以，故D正确． 故选：． 11.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查正弦定理及变形，利用余弦定理判断三角形的形状，诱导公式，属于中档题． 根据三角形的几何性质，结合三角函数的诱导公式以及余弦定理，可得答案． 【解答】 解：对于，在中，若， 可得， 由正弦定理可得，故A正确； 对于， ，故B正确； 对于，由， 得，则是锐角， 显然，是否都是锐角无法确定，故C错误； 对于，由， 得，则是钝角， 故是钝角三角形，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 12.的内角，，的对边分别为，，已知，，则的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用． 直接利用正弦定理求出的值，进一步利用余弦定理求出的值，最后求出三角形的面积． 【解答】 解：的内角，，的对边分别为，，． ， 利用正弦定理可得， 由于，， 所以， 所以，则 由于， 则：， 当时，， 解得， 所以． 当时，， 解得不合题意，舍去． 故：． 故答案为：． 13.的内角，，的对边分别为，，若，，，则的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题． 利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可． 【解答】 解：由余弦定理有， ，，， ， ， ． 故答案为． 14.记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题． 由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于的方程，解方程可得． 【解答】 解：的内角，，的对边分别为，，，面积为，，， ， 又，负值舍 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，内角所对的边分别为，已知，，且． 求角的大小； 若，的面积为，求的周长． 【答案】解：在中，内角，，所对的边分别为，，， 已知，， 且． 所以， 利用正弦定理整理得：， 所以， 即，由于， 故， 由于，所以． 由于的面积为， 所以，整理得． 利用余弦定理，解得， 所以周长．  【解析】本题考查的知识要点：平面向量的数量积的应用，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力． 直接利用平面向量的数量积的应用和正弦定理的应用求出的值． 利用余弦定理和三角形的面积公式的运用求出结果． 16.本小题分 如图，在中，已知，是边上的一点，，，． 求 求的长． 【答案】解：在中，，，， 由余弦定理得；      由可得，所以． 在中，，，， 由正弦定理得 ．  【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键． 在中，利用余弦定理表示出，把三角形的三边长代入，化简可得值， 根据的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数，根据邻补角定义得到的度数，再由和的度数，利用正弦定理即可求出的长． 17.本小题分 的内角，，的对边分别为，，设． 求； 若，求． 【答案】解：的内角，，的对边分别为，，， 又， 则， 由正弦定理得：， ， ， ． ，， 由正弦定理得， ， 即， 即， 即， ， ， ，， ．  【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，两角的和与差的正弦公式，属于中档题． 由正弦定理得：，再由余弦定理求出． 由已知及正弦定理可得：，可解得的值，即可得解． 18.本小题分 在中，角、、的对边分别为、、已知，，． 求的值； 在边上取一点，使得，求的值． 【答案】解：在中，，，， 由余弦定理可得， 由正弦定理可得， 所以； 因为，所以， 在三角形中，易知为锐角， 由可得， 所以， 因为，所以， 所以．  【解析】本题考查正、余弦定理的综合应用，由一个三角函数值求其他三角函数值、两角和与差的正弦公式，属于中档题． 先由题意结合余弦定理求出的值，再由正弦定理求出的值； 根据结合两角和的正弦公式求出的值，利用同角三角函数基本关系求出的值，进而求出的值． 19.本小题分 的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．   求；   若，，求的周长． 【答案】解 ：因为面积，且， 所以，所以． 由正弦定理得， 因为，所以． 由得，． 因为，所以， 又，所以，，， 由余弦定理得，  由正弦定理得，， 所以，  由得：， 所以，即周长为．   【解析】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题． 根据三角形面积公式和正弦定理可得答案． 根据两角余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $