解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦解三角形三大核心问题，通过分层例题与变式题构建从基础计算到范围探究的知识逻辑链，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |周长问题|例3+变式3|结合面积、锐角条件求周长，含角平分线情境|以正余弦定理为基础，通过三角恒等变换实现边与角的转化| |面积问题|例3+变式3|涉及角的求解、面积最值及中线条件|从面积公式出发，关联余弦定理构建方程，体现数学建模思想| |边长最值与范围|例3+变式3|含角平分线、中线及锐角三角形限制|通过函数思想或不等式求范围，强化逻辑推理与运算能力|

解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题专项训练 解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题专项训练 考点目录 周长问题 面积问题 边长最值与范围问题 考点一 周长问题 例1.(25-26高一下·天津河东期中)设ABC的内角AB,C所对边分别为a,b,c,B≠兀且sin(B-4)+cosB=sinC 2 (I)若a=2,ABC的面积为√3，求ABC的周长； (2)若ABC为锐角三角形，求cosB+V3cosC的取值范围. 例2.(25-26高一下·上海青浦期中)已知在ABC中，A、B、C所对边分别为a、b、C,且a=3,b=2c. ()若A-,求ABC的面积： (2)若2sinB-sinC=1且B为锐角，求ABC的周长 解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题专项训练 例3.(25-26高一下·浙江杭州期中)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 2a-b=2ccos B. (1)求角C; (2)若b=4,点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且CD=2V5,求边长a的值； (3)若b=4,求△ABC的周长取值范围. 变式1.(25-26高一下.宁夏银川期中)已知a,b,c分别为4BC三个角AB,C所对的边，且 2acos A=ccos B+bcos C (1)求角A的大小； (②)若a=2,且ABC的面积为√5，求ABC的周长； (3)若ABC为锐角三角形，求b+C的范围 0 2 解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题专项训练 变式2.(2526商三下-陕西西安月考)在48c中，内角4BC的对边分别是abc,且in=bco各A (I)求角A的大小： (2)若a=√13，△ABC的面积为3√3，求ABC的周长 变式3.(25-26高一下·湖北期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a cosC+3asin C=b+c (1)求A的值： (2)若a+1=b,c>2,当ABC的周长最小时，求c的值 解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题专项训练 考点二 面积问题 例1.(25-26高一下黑龙江大庆月考)已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边， sinc cosB+cosA cosB-cosA sinC-v2sinB (1)求角A: ②若4BC是锐角三角形，a=3,s如B=2W5,求4BC的面积 3 例2.（25-26高一下.宁夏吴忠·期中)在ABC中，已知a=√5，b=√2，B=45° (1)求角A: (2)若ABC为锐角三角形，求ABC的面积 解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题专项训练 例3.(25-26高一下·浙江台州期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a sin B+√3 bcos 4=√3c. (1)求B; (2)若b=V√7，c=1,求ABC的面积： (3)若c=2,求锐角ABC面积的取值范围. 变式1.(25-26高一下·吉林长春·月考)在ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,C,若a=2√2，b=2,B=30°， (1)求边C和角A; (2)求ABC的面积s. 解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题专项训练 变式2.(25-26高一下·北京顺义·期中)在ABC中，已知sinA=sin2A. (1)求∠A; (2)若a=7,b=3,求ABC的面积. 变式3.(25-26高一下广西贵港·期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C, sin2 A+sin2B =(2sin A sin B+sin C)sin C. (1)求C; (②)若D是边AB的中点，且CD=2,求ABC面积的最大值. 6 解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题专项训练 考点三 边长最值与范围问题 例1.(25-26高一下·福建宁德·期中)在ABC中，角AB,C的对边分别是a,b,C,满足 1 bcosA-acosB+a=l,且 bcosA+acosB c b=2 (1)求角B的大小： (2)D为AC边上的一点，BD=√5，且 ,求ABC的面积； (从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)· 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点 (3)若ABC为锐角三角形，求AC边上高的取值范围， 例2.(25-26高一下山东菏泽·期中)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2√5且 cosC+(cos B-3sin B)cos A=0 (1)求角A的大小： (2)若b=2√2，求ABC的面积： (3)求b-c的取值范围， 解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题专项训练 例3.(25-26高一下·湖北荆州期中)已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且2S=√3BA·BC(其中 S为ABC的面积). (I)求角B的大小： ②若4BC为锐角三角形，求。的收值范围 变式1.(25-26高一下·安徽池州期中)在ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,C,己知bcosC+(c-3a)cosB=0. (I)求cosB的值； (2)若b=3,解答下列问题： ①当ABC的面积为2√2时，求AC边上的中线长； ②若点D在边4C上，10平分∠48C,求DC0的取值范用。 解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题专项训练 变式2.(25-26高一下·湖南株洲期中)已知锐角ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,向量 m=(sinC,cosC),n=2sinA-cosB,-sinB),且m⊥n. (I)求角C的值： (2)若a=4,求b+c的取值范围. 变式3.(25-26高一下广东佛山期中)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 (sinC+3cosCsinB bsinA,b=3 (1)求B. (2)若a+c=2,求边AC上的角平分线BD长； (③)求边AC上的中线BE的取值范围. 9解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题专项训练 解三角形：周长问题、面积问题、边长最值与范围问题专项训练 考点目录 周长问题 面积问题 边长最值与范围问题 考点一 周长问题 例1．（25-26高一下·天津河东·期中）设的内角所对边分别为，且． (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式、诱导公式得到，根据三角形面积公式求出，结合余弦定理求出，即可得到三角形周长. （2）利用两角差的余弦公式、辅助角公式进行化简，得到，根据锐角三角形求出的范围，进而求值域即可. 【详解】（1）中，，所以. 由得，， 整理得. 又，所以，则，所以. 由三角形面积公式得，所以. 由余弦定理得， 所以，所以. 故的周长为. （2） . 由（1）得，，因为为锐角三角形，所以， 所以，则， 所以，解得，则. 又在上单调递增，所以. 故的取值范围为. 例2．（25-26高一下·上海青浦·期中）已知在中，、、所对边分别为、、，且，. (1)若，求的面积； (2)若且为锐角，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由余弦定理，列出方程，求得，得到，结合面积公式，即可求解； （2）由和，结合，求得，结合正弦定理，求得的长，即可得到三角形的周长. 【详解】（1）解：在中，因为，且， 由余弦定理得，即， 整理得，因为，所以，则， 所以的面积为. （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，则， 因为为锐角，可得，， 因为，可得， 所以，则 所以得周长为. 例3．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； (3)若，求△ABC的周长取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换进行化简即可求解 (2)利用三角形面积公式，结合等面积法列方程求解 (3)利用正弦定理化简，构造新的函数，求函数的值域 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为，所以，故，即， 又，所以； （2）由（1）知，， 又为的平分线，故， 其中， 由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即，解得. （3）∵ ∴ ∴ ∴ 由是锐角三角形得，， ， ∴ ∴ ∴周长. 变式1．（25-26高一下·宁夏银川·期中）已知分别为三个角所对的边，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的范围. 【答案】(1)； (2)6 ； (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求角； （2）利用面积公式，结合余弦定理，可求出边长； （3）利用正弦定理将边化为角，再转化为三角函数求值域即可. 【详解】（1）由，结合正弦定理得，， 因为，所以， 又因为，所以. （2）由的面积为可得，. 由结合余弦定理得，， 配方可得，，即. 所以三角形的周长为6. （3）由正弦定理可知， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以， 所以，所以 变式2．（25-26高三下·陕西西安·月考）在中，内角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出即可求出. （2）根据三角形的面积公式及余弦定理求出，即可得出结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，所以，整理可得 且，所以. （2）因为的面积为，所以，得， 又，由余弦定理得，所以 所以， 所以的周长为. 变式3．（25-26高一下·湖北·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值； (2)若，当的周长最小时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得解； （2）借助余弦定理可用表示出、，从而可用表示出的周长，再借助基本不等式计算即可得解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 又， 则， 即，又，故， 则，故， 即，又，故，即； （2）由余弦定理可得， 由，故，整理得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当的周长最小时，的值为. 考点二 面积问题 例1．（25-26高一下·黑龙江大庆·月考）已知，，分别是的内角，，的对边，． (1)求角； (2)若是锐角三角形，，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意得，利用正弦定理可得，进而可求得，可求得角； （2）利用三角恒等变换和同角三角函数间的关系可求得，利用正弦定理可求得，可求的面积． 【详解】（1）， ， ， 由正弦定理得，，， ，． （2），， ， ， 由正弦定理知，，， ． 例2．（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）在中，已知. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的面积. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，即可得结果； （2）由题意可得，利用两角和差公式可得，进而可得面积. 【详解】（1）由正弦定理，可得， 因为，所以或. （2）因为为锐角三角形，则， 则， 所以的面积. 例3．（25-26高一下·浙江台州·期中）在中，角的对边分别是，若． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)若，求锐角面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合消去，化简后通过同角三角函数关系求； （2）已知，先用余弦定理列方程解出，再代入三角形面积公式计算； （3）先用正弦定理将用表示，结合锐角三角形条件求出的范围，再将面积转化为关于的三角函数，结合单调性求值域． 【详解】（1）由得， 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以，所以， 所以，又因为，所以； （2）由，得，解得，（舍去）， 所以； （3）因为，，所以， 由，得， 所以 ， 因为为锐角三角形且，所以， 则，，，， 所以． 变式1．（25-26高一下·吉林长春·月考）在中，角的对边分别为，若，，. (1)求边和角； (2)求的面积. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）直接用正弦定理解三角形可得； （2）由（1）解析中两种情况分别求面积可得. 【详解】（1）因为中，，，，由正弦定理得， 又因为，所以或. 当时，， ， 由正弦定理； 当时，， ， 由正弦定理； 所以或. （2）由（1）知或. 当时，，所以三角形面积； 当时，，所以三角形面积； 所以或. 变式2．（25-26高一下·北京顺义·期中）在中，已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式求解；（2）运用余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）利用二倍角公式得，代入条件得， 因为，整理得，因为在中，所以. （2）由余弦定理，代入 得，整理为， 因式分解得，边长为正，舍去负根得. 又. 变式3．（25-26高一下·广西贵港·期中）在中，角，，的对边分别是，，，． (1)求； (2)若是边的中点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正余弦定理求解即可. （2）根据向量加法的平行四边形法则及向量的数量积，结合基本不等式及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 即． 由余弦定理可得，则，所以． 因为，所以． （2）因为D是边的中点，所以， 所以，即． 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 即当时，的面积取得最大值． 考点三 边长最值与范围问题 例1．（25-26高一下·福建宁德·期中）在中，角的对边分别是，满足，且. (1)求角的大小； (2)为边上的一点，，且__________，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. ①是角的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上高的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以； （2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； 若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； （3）由正弦定理和三角恒等变换得到表达式，由锐角三角形，求出，由三角形面积公式求出. 【详解】（1）由可得， ， 故，即， 得，由于，故， . （2）若选①：由平分得：， 又，， ，即． 在中，由余弦定理得， 又，则， 联立，得，解得， ； 若选②：为线段的中点，则， 则， 由（1）知， 所以， 在中，由余弦定理得， 又，则， 联立，得， ． （3）由（1）知，已知， 由正弦定理得， 故， ， 由于为锐角三角形，故，故， 因此，， 则， 故三角形的面积为， 故边上的高为，. 例2．（25-26高一下·山东菏泽·期中）在锐角中，角的对边分别为，已知且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助两角和的余弦公式计算即可得； （2）借助余弦定理计算可得，再利用面积公式计算即可得的面积； （3）利用正弦定理可用角表示边，再利用三角函数性质计算即可得解. 【详解】（1）， 则， 即，又，故， 则，即，又，故； （2）由余弦定理，可得， 即，解得（负值舍去）， 故； （3）由正弦定理可得， 则，， 故 ， 由，可得，则， 则，即. 例3．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知中，内角所对的边分别为，且（其中为的面积）. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由三角形面积公式与向量数量积的定义化简计算即得角的大小； （2）由正弦定理化边为角，结合（1）的结论，利用和角公式与辅助角公式将待求式化成正弦型函数，根据题设条件与正弦函数的性质即可求得. 【详解】（1）因，且， 由，可得，所以， 又，则； （2）设的外接圆半径为，由正弦定理， ， 则 . 由为锐角三角形及，则，则，，     则，则，故， 即的取值范围是 变式1．（25-26高一下·安徽池州·期中）在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可求解； （2）①由三角形面积公式及余弦定理得出和，再根据平面向量数量积的运算律即可求解；②由角平分线得出，，由余弦定理得，再由基本不等式即可求解． 【详解】（1）根据已知，由正弦定理得， 因为， 所以， 由得，故． （2）①由（1）知，则， 由面积得，即， 又由余弦定理， 代入，得， 设的中点为，则， ， 故中线长为． ②由角平分线得， 又，得，， 则， 由余弦定理，即， 所以，， 由（当且仅当时取等号），得： 所以， 又为三角形边长，则，故 综上所述，的取值范围为． 变式2．（25-26高一下·湖南株洲·期中）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的坐标表示，利用正弦定理和余弦定理角化边可得； （2）利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得. 【详解】（1）因为， 所以 ， 利用正弦定理角化边得， 又， ，则， 又为锐角三角形，故. （2）由正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 变式3．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，内角所对的边分别是，且． (1)求． (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）先把已知条件中的用展开，约去后可直接求得再由正弦定理得到外接圆直径为，从而 （2）由结合正弦定理得到，，的值，由边上的角平分线为，利用三角形面积公式得到，得到由余弦定理结合得到从而得到的值. （3）由为边上的中线得到，将此式子两边平方得到，由和余弦定理得到，利用正弦定理求出和且结合两角差的正弦公式通过计算得到，又结合正弦函数的图像和性质得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）由已知 又所以 而 故 代入得 展开后可得 消去相同项，得 因为三角形内角满足所以 从而即 又因为所以 （2）由小问（1）知 由正弦定理得 故且 已知，边上的角平分线为， 则， 即，即，因此 由余弦定理即 又因为所以 代入上式得从而 所以 （3）由为边上的中线，得到， 则 因为，由余弦定理 即. 所以，即， 因为，所以， 可知且 所以 因为 所以，所以， 所以，因此 因为，于是故 2 学科网（北京）股份有限公司 $