解三角形：周长问题与面积问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

解三角形：周长问题与面积问题专项训练 解三角形：周长问题与面积问题专项训练 考点目录 周长问题 面积问题 考点一 周长问题 例1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得， 则， 在中，，则且， 所以，即，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长. 例2．（25-26高二上·湖北·期中）在中，所对的边为，已知 (1)求角的大小． (2)若的面积为且，求的周长． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设及正弦边角关系知，则， 由，所以； （2）由题意，则， 由余弦定理，则， 所以，则， 周长为. 例3．（25-26高一下·广东揭阳·月考）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求； (2)若，求周长l的最大值. 【答案】(1). (2). 【详解】（1）在中，，则， 代入，得， 化简得：，显然，则， 由于，则，由， 因此. （2）周长，要求周长的最大值，即求的最大值， 已知，，代入余弦定理可得， 则， 因此要求的最大值，即求的最大值， 利用基本不等式得，当时，取最大值， 此时， 因此，周长的最大值为. 例4．（25-26高一下·山东枣庄·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的值 (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，，， ，又，； （2）由余弦定理得，， ，，，， 的周长为 （3）由正弦定理得，可得， ， 为锐角三角形，且， 则，，，， ，的周长取值范围是. 变式1．（2025·广东·模拟预测）设的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由正弦定理得， 所以， 因为，所以. （2）因为，又， 所以， 故，解得， 故的周长为. 变式2．（2026·内蒙古赤峰·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若的面积且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，根据余弦定理，得， 化简得，即. 所以. 因为，所以. （2）由正弦定理可得. 由三角形的面积公式可得， 所以. 由（1）得，所以. 所以， 所以. 所以的周长为． 变式3．（25-26高一下·宁夏银川·月考）在中，角的对边分别为,且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2)12 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. （2）因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 变式4．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 考点二 面积问题 例1．（25-26高三下·辽宁·月考）在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若角是锐角，，求的面积． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由， 得， . 因为，所以， 所以，可得或． （2）因为角是锐角，所以，则， 由余弦定理可得， 则，   因为， 所以，得，   故的面积为． 例2．（2026·河南洛阳·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，，求△ABC的面积． 【答案】(1) (2)无解. 【详解】（1）由正弦定理可得, 因为，所以， 由△ABC为锐角三角形，从而， 所以． （2）由，即 从而， 两边平方可得：， 又，，，即， ∴，∴， ∴（负值舍去）， 从而， 由，则 从而为钝角，不合题意，满足题意中的三角形不存在. 例3．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由和差公式和正弦定理可得： ， 即， 即， 即， 整理得到， 因为在中 ， 所以，即， 因为，所以， 所以，得到. （2）因为是锐角三角形，所以， 结合B为锐角，解得，同理可得， 由正弦定理， 可得， 因为，所以，所以， 又因为. 例4．（25-26高一下·广西百色·月考）已知的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，且． (1)求角A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，由向量平行的坐标性质得： , 由正弦定理边化角可得, 因为，所以，约去后可得， 结合二倍角公式得： ， 又，故，所以，约去得​， 因此，得： ； （2）已知，，则结合三角形面积公式可得： ， 由余弦定理：， 因为是锐角三角形，三个角均为锐角， 所以由为锐角可得：， 由为锐角：， 即可得，代入面积公式得， 即面积的取值范围为：. 变式1．（2026·辽宁朝阳·一模）在中，. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，解得. 此时，所以. 于是. （2）由，得. 由正弦定理得，可得. 所以的面积. 变式2．（25-26高一下·河北邢台·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由，结合正弦定理， 得， 即，即， 因为，所以，即． （2）． 利用正弦定理得． 而， 故的面积． 变式3．（25-26高三上·河北衡水·月考）记锐角三角形的内角，，所对的边分别为，， (1)若，，求的取值范围 (2)若，，求面积的取值范围 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是； （2）因为， 根据二倍角公式得， 也就是， 所以，则， 由于锐角三角形，所以，则， 则，得， 由正弦定理， 得， ， 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以， 则，所以. 变式4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：周长问题与面积问题专项训练 解三角形：周长问题与面积问题专项训练 考点目录 周长问题 面积问题 考点一 周长问题 例1.(25-26高三下·湖南长沙·开学考试)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 (2b-c)cos A=acosC. (1)求角A的大小： (2)若a=2,ABC的面积为√5，求ABC的周长 例2.(25-26高二上湖北期中)在ABC中，A,B,C所对的边为a,b,c,己知sin2B=sin2A+sin2C-sin Asin C (1)求角B的大小. (2)若ABC的面积为√5且b=6,求ABC的周长. 例3.(25-26高一下·广东揭阳·月考)己知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 3sin A cos B=3sin C-sin B. (I)求cosB+C : (2)若a=1,求ABC周长1的最大值 解三角形：周长问题与面积问题专项训练 例4.(25-26高一下山东枣庄月考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2cosC(acosB+bcosA)=c. (I)求角C的值 ②若c=V7,ABC的面积为35，求ABC的周长。 2 (3)若ABC为锐角三角形，且c=2,求ABC的周长取值范围. 变式1.(2025广东·模拟预测)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinA+bsinB=asinB+csinC. (1)求C; (2)若ab=6,c=√7，求ABC的周长. 变式2.(2026·内蒙古赤峰一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+2c=2 bcosA. (1)求B: (2)若ABC的面积S=4V3且S=2 bsinC,求ABC的周长. 2 解三角形：周长问题与面积问题专项训练 变式3.(25-26高一下.宁夏银川月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-b)cosC=c.cos B. (1)求角C的大小： (2)若c=4,ABC的面积为4v5,求该三角形的周长. 变式4.(25-26高一下·江苏无锡月考)已知ABC为锐角三角形，4，b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 bcosC ccosB 2acosA, (1)求A; @若b+c,BC的面积为3，求4BC的周良 (3)若a=1,求ABC周长的取值范围 解三角形：周长问题与面积问题专项训练 考点二 面积问题 例1.(25-26高三下辽宁月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2sinB-√3cosA)c=V3 acosC. (1)求角C的大小： (2)若角C是锐角，c=√7，a+b=4,求ABC的面积. 例2.(2026河南洛阳·模拟预测)在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且√2c=2 asin C, (1)求角A的大小； (2)若c=2√2，BM=2MC,AM=√2，求△ABC的面积. 例3.(2425高三下贵州贸阳月考)在ABC中，a,b,c分别为内角4，B,C的对边，©osB=号 (1)求角A的大小： (2)若ABC是锐角三角形，c=2,求ABC面积的取值范围. 解三角形：周长问题与面积问题专项训练 例4.(25-26高一下广西百色：月考)已知ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m=a,cos 2/ i=(b,sinB),且m∥元. (1)求角A: (2)若ABC为锐角三角形，且b=2,求ABC面积的取值范围. 变式1.(2026~辽宁朝阳一模)在ABC中，C=2A+2B,cosB= 7 (1)求cosA; (2)若BC=6,求ABC的面积 变式2.(25-26高一下·河北邢台月考)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C.已知 acosC+ccos4= Γ2 (1)求b: (2)若A=2π 3,cOsB三，求ABC的面积 解三角形：周长问题与面积问题专项训练 变式3.(25-26高三上·河北衡水·月考)记锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C (1)若B=2C,a=2,求b+c的取值范围 ②法2s(4+c2cs号-小5o2B=0,4C-2,求48C面积的叹值范用 变式4.(2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测)己知a,b,c分别是锐角ABC三个内角A,B,C的对边，且 3asinC=c(1+cosA),asinB=3. (1)求A,b的值： (2)求ABC面积的取值范围. 6