精品解析：2025年山东省临沂市莒南县九年级中考一模数学试题

2024—2025学年度下学期一轮教学质量检测 九年级数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列运算结果是正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，实数的大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，实数的大小比较进行分析判断即可． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项符合题意； C. ，故此选项不符合题意； D. ，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 一个几何体如图水平放置，按图中标示的方向看到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据从正面看到的图形是几何体的俯视图即可解答． 【详解】解：按图中标示的方向看到的是． 故选A． 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布和从数轴上提取已知条件是解题的关键． 由数轴可知，，得，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：解：由数轴可知，， ∴，， A、由数轴可知，，那么的范围是 ，而的范围是，所以，该选项错误，不符合题意； B、因为，根据不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得 ，所以该选项错误，不符合题意； C、由于，根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得 所以该选项错误，不符合题意； D、因为，所以的范围是，则的范围是；又因为，所以的范围是，则的范围是．所以，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 据统计，2025年春运，全社会跨区域人员流动量90.2亿人次，比2024年同期增长7.1%，创历史新纪录．春运，这场“人类最大规模的周期性迁徙”，奔涌着流动中国的生机活力，也映射出愈发坚实的中国信心．90.2亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：90.2亿． 故选C． 5. 如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长EG交AB于H，根据平行四边形与三角板的性质，，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定义，计算出结果． 【详解】解：如图，延长EG交AB于H， ∵∠BMF=∠BGE=90°， ∴MF//EH， ∴∠BFM=∠BHE， ∵， ∴∠BFM=∠BHE=60°， ∵在平行四边形ABCD中，DC//AB， ∴∠DEH=∠BHE=60°， ∵∠GEN=45°， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与一副特殊三角形板的性质，关键在于作出辅助线，利用平行四边形的性质进行求解． 6. 小明假期旅游时购买了四款摆件，每款摆件均装在一个不透明的礼品盒内，且这四个礼品盒完全相同，小明先让妈妈从四盒礼品中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走，则剩下的是两款摆件的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． 画树状图，得到共有种等可能的结果，其中剩下的是两款摆件的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下， 由树状图得共有种等可能的结果，其中剩下的是两款摆件的结果有种， 剩下的是两款摆件的概率是， 故选：D． 7. 随旅游旺季的到来，我市景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用．根据题意正确列出方程是解题的关键． 设这两个月的平均增加率为，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这两个月的平均增加率为， 根据题意得， 解得：或（舍去）， 故选：C． 8. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：D． 9. 如图1，在菱形中，，过点B且垂直于的直l沿射线的方向以的速度平移，在平移过程中，直线l被菱形的边所截得的线段长为，平移时间为，y与t的函数关系图象如图2所示，则图2中a的值为（ ） A. B. 10 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，动点问题的函数图象，连接交于O，由菱形的性质可得，再证明直线l平行于，结合函数图象可得，据此利用勾股定理可求出，过点D作交延长线于T，则，证明，利用相似三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵直线l垂直于， ∴直线l平行于， 由图2可知，直线l被菱形的边所截得的线段长最长为， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点D作交延长线于T，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 第II卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底． 12. 如图，在中，，平分交于点D，．若，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：． 13. 如图，扇形中，，点为的中点，，交于点，以为半径画交于点，则图中阴影部分面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式、直角三角形的性质、勾股定理，连接，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再利用计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 点为的中点，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是正确的作出辅助线．延长交延长线于点，则，证明，即可得出，根据的面积，求出的面积，然后可得出菱形的面积． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 点是边的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 又点是中点， ，， ， 的面积为1， 的面积为5， 菱形的面积为20， 故答案为：20． 15. 在平面直角坐标系中，将点向右平移一个单位得到点B，再取点B关于原点的对称点C，然后把点C绕原点顺时针旋转得到点，称作一个周期变化，第二个周期变化后得到的点为，第三个周期变化后得到的点为，以此类推，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意求出的坐标，发现4次一循环，那么得到点的坐标与点的坐标一样，即可求解． 【详解】解：如图： 由题意得，，即， ∵取点B关于原点的对称点C， ∴， ∵点C绕原点顺时针旋转得到点 ∴， 同理，由题意得，， 由旋转得：， 过点分别作轴的垂线，垂足为点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上操作可求：，，， 发现4次一循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标一样为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的规律探索，旋转的性质，点的平移，全等三角形的判定与性质等知识点，找出点的变化规律是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程组， （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（），（），． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，分式化简求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据加减消元法即可求解； （）先算括号内的分式加法再算分式除法，最后把代入求值即可． 【详解】（）解： 得，解得， 将代入得，解得， ∴原方程组的解为； （）解： ， 当时， 原式． 17. 2025年春节，临清文旅市场迎来“开门红”，“以文铸魂，以文化城，以文赋能”的系列运河活动吸引余万游客涌入临清，感受古城的独特魅力．为助力清明节推广，自媒体平台计划从，两个景点中选择一个进行线上宣传．现从两个景点游客中各随机抽取名，进行满意度调查打分（满分分，只打整数分），并对分数整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①景点名游客的满意度分数为： 10，5，8，7，10，8，9，8，10，7，9，7，9，7，6，8，9，6，5，9． ②景点名游客的满意度分数条形统计图如图： ③两个景点的满意度分数的平均数、众数、中位数、9分及9分以上人数所占百分比如下表所示： 景点 平均分 众数 中位数 分及分以上人数 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）预计清明节期间景点接待万人次，景点万人次．估计两个景点的游客能打分及分以上的人数共有多少万人？ （3）根据以上信息，在即将到来的清明节假期，你会选择哪个景点出游？请说明理由． 【答案】（1），， （2）估计两个景点的游客能打分及分以上的人数共有万人 （3）景点， 理由如下：景点游客满意度分数的平均数、众数都比景点游客满意度分数的平均数、众数要大，因此选择景点． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，平均数、中位数、众数的定义，以样本估计总体，熟练掌握相关定义和中位数、众数的计算方法是解题关键． （1）根据众数、中位数的定义进行计算即可； （2）根据表格和（1）得两个景点的游客能打分及分以上的人数所占的百分比分别为、，用样本估计总体计算即可； （3）根据平均数、众数的大小比较即可求解． 【小问1详解】 解：景点顾客满意度分数出现次数最多的是分，共出现次， 景点顾客满意度分数的众数是分，故； 将样本中名顾客对景点满意度分数按从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为， 景点顾客满意度分数的中位数为分，故； 点顾客满意度分数分及分以上人数所占百分比， ． 答：，，． 【小问2详解】 解：由题意得：景点顾客满意度分数分及分以上人数所占百分比为， 点顾客满意度分数分及分以上人数所占百分比为， 万人． 答：估计两个景点的游客能打分及分以上的人数共有万人． 【小问3详解】 略 18. 聊城西站自开通以来给聊城人民出行带来了极大的便利，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中，开展了测量聊城西站楼顶P处到地面的距离，实践报告如下： 活动课题 测量聊城西站楼顶P处到地面的距离（的长度） 活动工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 说明 为站台北侧扶梯，点A为扶梯底端，点B为扶梯顶端，平台 测量数据 解决问题 根据以上数据计算聊城西站楼顶P到地面的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题（参考数据：，，，，结果保留整数） 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，以及矩形的判定和性质，过点B作交于点E，易知四边形为矩形，得到，在中，利用解直角三角形得到，在中，利用解直角三角形得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：过点B作交于点E， 易知四边形为矩形， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 的高度为32． 19. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两条弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交于点E，过点P作直线，交于点F． （1）判断四边形的形状； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形为菱形 （2） 【解析】 【分析】（1）先判定四边形为平行四边形，再证明，可证四边形为菱形； （2）过作于，先求出，再由勾股定理求出，设，在中，由勾股定理求出，最后根据菱形面积公式求出面积． 【小问1详解】 四边形为菱形． ，， 四边形为平行四边形，， 由作图得：平分， ， ， ， 四边形为菱形． 【小问2详解】 过作于， 平分，， ， ， ， 四边形为菱形， ， 设，在中，， 即：， 解得：， ． 【点睛】本题考查了基本作图，菱形的判定定理，勾股定理，等角对等边，掌握菱形的判定定理，勾股定理是解题的关键． 20. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上的一点，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）若线段，求D点的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， 【小问2详解】 解：如图，设点，那么点， 由可得，， 解得，（舍去）， ． 21. 如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ∴， ， ， ， 为直径， ， ，即， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，求弧长，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）由切线的性质可得，则，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，再证明，，即可证明． （2）先证明，则，由圆周角定理得到，进一步求出，据此利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的长为． 22. 综合实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，，取的中点D，以点D为直角顶点作等腰直角三角形，M在N的左侧．如图1，若点M与点A重合，与相交于点P． （1）探究与的数量关系． （2）如图2，小亮做了一下调整，点O为的中点，点D与点O重合，连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：，理由如下： 如图，作交的延长线于点，则， ， 三角形为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ； （2） 解：，理由如下： 如图，作于点H， ， 为等腰直角三角形，点O为的中点，点D与点O重合， ，，， 设，则 由旋转的性质可得，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ∵直线， ，， ∴， ∴四边形为矩形， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）作交的延长线于点，则，证明，，，进而得到为等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出答案； （2）作于点H，根据等腰直角三角形的性质， 得到，，，设，则，由旋转的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得到，，再证明四边形为矩形，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像上有两点、，它的对称轴为直线． （1）当该二次函数图像过点时． ①求t的值； ②当，轴，且到x轴距离为2，求a的值； （2）当时，若对于任意，都有成立，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①3；② （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①将点二次函数解析式，可得出，再根据即可得出答案； ②根据轴，得到点A与点B关于对称轴对称，即，再根据，到x轴距离为2，可求得点A和点B的坐标，将两坐标代入函数解析式即可求出a的值； （2）根据已知条件和，求得，由，可知A、B两点在x轴的同一侧，因此可得出答案． 【小问1详解】 解：①二次函数图像过点， ， ， ； ②轴， 点A与点B关于对称轴对称， 即， 又， ， 到x轴距离为2， ，， 将A、B两点的坐标代入二次函数解析式得： ， 解得； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， 、在x轴的同一侧， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期一轮教学质量检测 九年级数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列运算结果是正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个几何体如图水平放置，按图中标示的方向看到的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 据统计，2025年春运，全社会跨区域人员流动量90.2亿人次，比2024年同期增长7.1%，创历史新纪录．春运，这场“人类最大规模的周期性迁徙”，奔涌着流动中国的生机活力，也映射出愈发坚实的中国信心．90.2亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（ ） A. B. C. D. 6. 小明假期旅游时购买了四款摆件，每款摆件均装在一个不透明的礼品盒内，且这四个礼品盒完全相同，小明先让妈妈从四盒礼品中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走，则剩下的是两款摆件的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 随旅游旺季的到来，我市景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 9. 如图1，在菱形中，，过点B且垂直于的直l沿射线的方向以的速度平移，在平移过程中，直线l被菱形的边所截得的线段长为，平移时间为，y与t的函数关系图象如图2所示，则图2中a的值为（ ） A. B. 10 C. D. 12 10. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：__________． 12. 如图，在中，，平分交于点D，．若，则的长度为__________． 13. 如图，扇形中，，点为的中点，，交于点，以为半径画交于点，则图中阴影部分面积为______． 14. 如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为__________． 15. 在平面直角坐标系中，将点向右平移一个单位得到点B，再取点B关于原点的对称点C，然后把点C绕原点顺时针旋转得到点，称作一个周期变化，第二个周期变化后得到的点为，第三个周期变化后得到的点为，以此类推，则点的坐标为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程组， （2）先化简，再求值：，其中． 17. 2025年春节，临清文旅市场迎来“开门红”，“以文铸魂，以文化城，以文赋能”的系列运河活动吸引余万游客涌入临清，感受古城的独特魅力．为助力清明节推广，自媒体平台计划从，两个景点中选择一个进行线上宣传．现从两个景点游客中各随机抽取名，进行满意度调查打分（满分分，只打整数分），并对分数整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①景点名游客的满意度分数为： 10，5，8，7，10，8，9，8，10，7，9，7，9，7，6，8，9，6，5，9． ②景点名游客的满意度分数条形统计图如图： ③两个景点的满意度分数的平均数、众数、中位数、9分及9分以上人数所占百分比如下表所示： 景点 平均分 众数 中位数 分及分以上人数 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）预计清明节期间景点接待万人次，景点万人次．估计两个景点的游客能打分及分以上的人数共有多少万人？ （3）根据以上信息，在即将到来的清明节假期，你会选择哪个景点出游？请说明理由． 18. 聊城西站自开通以来给聊城人民出行带来了极大的便利，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中，开展了测量聊城西站楼顶P处到地面的距离，实践报告如下： 活动课题 测量聊城西站楼顶P处到地面的距离（的长度） 活动工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 说明 为站台北侧扶梯，点A为扶梯底端，点B为扶梯顶端，平台 测量数据 解决问题 根据以上数据计算聊城西站楼顶P到地面的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题（参考数据：，，，，结果保留整数） 19. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两条弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交于点E，过点P作直线，交于点F． （1）判断四边形的形状； （2）若，，求四边形的面积． 20. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上的一点，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）若线段，求D点的坐标； 21. 如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，求的长． 22. 综合实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，，取的中点D，以点D为直角顶点作等腰直角三角形，M在N的左侧．如图1，若点M与点A重合，与相交于点P． （1）探究与的数量关系． （2）如图2，小亮做了一下调整，点O为的中点，点D与点O重合，连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像上有两点、，它的对称轴为直线． （1）当该二次函数图像过点时． ①求t的值； ②当，轴，且到x轴距离为2，求a的值； （2）当时，若对于任意，都有成立，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $