1.1 二次根式的意义 课件 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦《二次根式》第一节，核心讲解二次根式的定义及有意义的条件。课堂导入从复习平方根、算术平方根入手，通过直角三角形斜边、正方形边长等实际问题，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到二次根式概念。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过“议一议”“观察共同特征”等环节，引导学生抽象二次根式的双重特征，发展抽象能力。结合例2、例3求字母取值范围，强化被开方数非负及分母不为0的推理，培养推理意识。课堂小结结构化梳理定义、条件、求值步骤，助力学生系统掌握，教师可直接用于教学提升效率。

第1节 二次根式的意义 第1章 《二次根式》 1.经历二次根式概念的发生过程，了解二次根式的概念， 发展抽象能力。 2.理解二次根式何时有意义，何时无意义，会求简单的 二次根式中所含字母的取值范围。 3.会求含字母的二次根式的值，提升运算能力。 2 02 新知导入 你能说出下列问题的结果吗？ （1）16的平方根是______，算术平方根是______. （2）0的平方根是______，算术平方根是______. （3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？ ±4 4 0 0 ﹣2没有平方根，也没有算术平方根. 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根. 如果𝑥2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根. 新知探究 探究点1 二次根式的定义 1.完成下列问题，计算原理是什么？ 议一议 （1）一个直角三角形，两直角边分别为 cm 和 2 cm，根据勾股定理，斜边长度为 cm。 （2）一个正方形的面积是 cm²，它的边长为 cm； ∟ S= cm² （3）一个等腰直角三角形的面积是 cm²，推导可得它的腰长 cm。 cm² ∟ 求一个非负数的算术平方根 1.二次根式：像这样，表示算术平方根的代数式 叫作二次根式。 （1）二次根式的定义是“形式定义”，即二次根式必 须含有二次根号“”。 （2）中的可以是数，也可以是含字母的代数式， 既可以表 示开方运算，也可以表示运算的结果。 5 知识点1 二次根式的定义 1. 下列不属于二次根式的是( ) B A. B. C. D. 2. 正方形的面积为 ，那么边长是____，这 个边长____（填“是”或“不是”）二次根式. 3.下列代数式：；；； ； 中，是二次根式的是______（填序号）. 是 ①④ 返回 6 03 新知探究 根据如图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空： 直角三角形的边长是： . 正方形的边长是： . 等腰直角三角形的的直角边长是 . 03 新知探究 【观察】这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2； 含有“ ”. ②被开方数为非负数. 二次根式的定义： 像 ,,, 这样表示算术平方根的代数式叫二次根式. 新知探究 探究点1 二次根式的定义 议一议 2.这些式子 、、 都有什么共同点？ ——都有二次根号 ——根号里的数或式子都大于或等于0 ——都表示一个非负数的算术平方根 3. 说一说二次根式的含义 二次根式 表示一个非负数算术平方根的代数式叫做二次根式。 二次根号 被开方数 读作：二次根号a，常读为：根号a， 典例分析 探究点1 二次根式的定义 例1.判断下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？请说明理由。 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 解 (1) 是二次根式。理由：含有二次根号，被开方数 ，符合定义； (2) 不是二次根式。理由：被开方数 ，式子无意义，不符合定义； (3) 是二次根式。理由：含有二次根号，且 ，符合定义； (4) 不是二次根式。理由：这是三次根号，不是二次根号，不符合定义。 a可以是数,也可以是式. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 注 意 表示 a 的算术平方根. 本身是一个非负数 2.二次根式具有双重非负性 ①二次根式是一个非负数，即；②被开方数 是一个非负 数，即 。 11 知识点2 二次根式有意义的条件 4. 若有意义， 能取的最小整数是( ) B A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 下列二次根式，无论 取什么值都有意义的是( ) D A. B. C. D. 返回 12 新知探究 探究点2 二次根式有意义的条件 要使二次根式 在实数范围内有意义，必须满足被开方数 。 如果被开方数是分式，还要保证分母不等于0。 （1）含有二次根号 （注意：不是三次根号 等）； （2）被开方数（根号里的数或式子）大于或等于0。 2.判断一个式子是不是二次根式，必须同时满足什么条件？ 议一议 和是二次根式吗？ 为什么？如果不是,请改正. 当是二次根式 当是二次根式 注 意 03 新知探究 被开方数a≥0 根指数为2 二次根式 的两个必备特征 1.含有二次根号“ ”（根指数为 2）； 2.被开方数必须是非负数. 注意：a 可以是数，也可以是式. 03 新知讲解 二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数． 注意 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如是二次根式.像+1（a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式. 典例分析 探究点2 二次根式有意义的条件 例2.求下列二次根式中，字母 的取值范围： (1) ； (2) ； (3) 。 (1) 直接让根号里的式子≥0即可； (2) 任何实数的平方都≥0，所以无论 取何值，被开方数都满足条件； (3) 根号里是分式，既要保证分子分母组成的式子≥0，又要保证分母≠0，结合分式符号规律，只需分母>0。 解：(1) 要使 有意义，需满足： ，解得 。 (2) 要使 有意义，需满足：。 ∵任何实数的平方都大于或等于0， ∴ 可取全体实数。 (3) 要使 有意义，需满足： 且 。 ∵分子1>0，∴只需分母 ， 解得 。 分析（紧扣“被开方数≥0” ） 典例分析 （教材p6例题） 例3 求下列二次根式中字母 a 的取值范围： (1) ；(2) ；(3) 。 解：(1) 根据二次根式有意义的条件，得： ，解得 。 ∴字母 的取值范围是 。 (2) ∵无论 取什么实数， 都大于或等于0， ∴字母 的取值范围是全体实数。 (3) 根据二次根式有意义的条件，得： 且 ， 即 ，解得 。 ∴字母 的取值范围是 。 03 新知探究 被开方数a≥0 根指数为2 二次根式 的两个必备特征 1.含有二次根号“ ”（根指数为 2）； 2.被开方数必须是非负数. 注意：a 可以是数，也可以是式. 03 新知讲解 二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数． 注意 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如是二次根式.像+1（a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式. 03 新知探究 【思考】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） x可以为任意实数 x≥0 x可以为任意实数 x＞0 x＞﹣1 x≤1且x≠0 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0. 03 新知探究 (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 有意义的 条件： (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A＞0； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A≥0且B≠0. 归纳总结 典例分析 （教材p7例题） 例4. 当 x=-4 时，求二次根式 的值。 分析：求二次根式的值，分两步： 第一步代入字母的值， 第二步计算被开方数，求出算术平方根。 解：把 代入 ，得： 。 新知巩固 1. 求下列二次根式中字母 x 的取值范围： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 解： (1) 由 ，得 ； (2) 因为 ， 所以 ，故 取全体实数； (3) 由 ， 得 ，解得 ； (4) 由 ， 两边同时除以-5（不等号方向改变）， 得 。 （教材p7课内练习） 典例2 求下列二次根式中字母 的取值范围。 （1） ； 解：由,得 ， 所以字母 的取值范围是大于或等于1的实数。 （2） ； 解：由且,得,所以 ， 所以字母 的取值范围是小于3的实数。 24 （3） 。 解：因为不论为何值，恒成立,所以字母 的取值范围 是全体实数。 25 课堂小结 1.什么是二次根式： 有二次根号，且被开方数≥0的代数式； 2.有意义的条件： 核心是“被开方数≥0”，若有分母，还要保证“分母≠0”； 3.求二次根式的值： 先 判断字母取值是否符合条件，再代入计算，最后求算术平方根。 利用本节课知识，解决了使二次根式在实数范围内有意义的被开方数的取值范围问题，此问题在计算中经常作为隐含条件给出,注意合理应用. 05 课堂小结 二次根式 定义 在有意义条件下求字母的取值范围 含有二次根号 被开方数为非负数 被开方数≥0 分母≠0 感谢聆听! $