1.1 二次根式的意义课件2025-2026学年浙教版数学八年级下册

1.1 二次根式的意义 浙教版 八年级下册 第1章 二次根式 知识回顾 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1)面积为3的正方形的边长为 ，面积为S的正方形的边长为_____. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则它的宽为______m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s) 与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为______. 获取新知 根据下图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空： 2cm a cm 直角三角形的边长是： 。 （b – 3）cm² 正方形的边长是： cm。 S (cm²) 等腰直角三角形的的直角边长是：__________cm. 直角三角形的边长是： 正方形的边长是： 等腰直角三角形的的直角边长是： 你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 1.表示的是算术平方根 2.根号内含有字母的代数式 二次根式: 像 ， 这样表示的是算术平方根的代数式叫做二次根式。 思考： 是不是二次根式？ 呢？ 议一议：二次根式 表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？ 注意：根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零. 形如 的式子叫做二次根式。 被开方数 二次根号 读作“根号a” 例题讲解 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 例2 求下列二次根式中字母a的取值范围： 求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零. 解：（1）由a+1≥0 得，a≥-1 ∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数. （3）由 ＞0，得 1-2a＞0，即a< , ∴字母a的取值范围是小于 的实数. （2）因为无论a取何值，都有（a-3）2≥0, 所以a的取值范围是全体实数. 例3 当x=-4时，求二次根式 的值. 解：将x=-4代入二次根式，得 1.一块面积为的正方形桌布，其边长为____ ，这个边长 ____（填“是”或“不是”）二次根式. 是 随堂演练 14 2.下列各式中，不属于二次根式的是( ) B A. B. C. D. 15 3.在代数式：，，， ， ， 中，一定属于二次根式的是________ （填序号）. ①④⑥ 16 4. 若在实数范围内有意义，则实数 的取值范 围是______. 17 5.（教材例1变式）求下列二次根式中字母 的取值范围. （1） ; 解： . （2） ; 解： . 18 （3） ; 解： . （4） . 解：全体实数. 19 6.（教材例2变式） 当 时，二次根式 的值为___. 3 20 图1-1-1 7.如图1-1-1所示是生活中用到的一种不锈 钢零件，可看作一个直角三角形，其中一 条直角边长为3，另一条直角边长为 ，则斜边长为________ （用含的代数式表示）；当 时，斜 边长为___. 5 21 8.（教材作业题T3变式）当 分别取下列值时，求二次根式 的值. （1） ； 解：当时， . （2） ； 解：当时， . 22 （3） . 解：当时， 23 图1-1-2 9.（教材作业题T4变式）如图1-1-2，从 帐篷支撑杆的顶部 向地面拉一根绳 子 固定帐篷.若绳子的长度为5.5米， 地面固定点到帐篷支撑杆底部 的距 离为 米，用二次根式表示帐篷支撑杆 的高.若 ，则帐篷支撑杆的高是多少？ 24 解：由题意，知 ， 所以 . 因为 ，所以 米. 当 时， （米）, 即当时，帐篷支撑杆的高是 米. 25 10.若和都有意义，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 26 11.如果式子有意义，那么 的取值范围是_______________. 且 27 12. 对于二次根式 ： （1）若它有意义，则 的取值范围是_ _____； （2）若它的值是2，则 的值是____. 28 13.已知是正整数，则实数 的最大值是____. 16 29 14.（教材作业题T5变式）若二次根式的值为6，求 的 值. 解：因为,所以 , 所以,所以 . 30 15. 已知直角三角形的三边长分别是 ，，，其中， 满足，求 的值. 解：因为 ， 所以 . 因为, , 所以， ， 31 解得， . 若为斜边长，则 ; 若为直角边长，则 ， 故的值为5或 . 16. 阅读下面引例的解答过程： 引例：已知，为实数，且 ， 求 的值. 解：由题意，得且 ， 所以且 ， 所以，所以 ， 所以 . 33 结合引例，请挖掘下列问题中所隐含的条件，并解决问题： （1）已知，求 的值； 解：由题意，得且 ， 所以且 , 所以，所以 ， 所以 . 34 （2）已知，求 的值； 解：由题意，得，所以 ， 所以 . 35 （3）已知实数满足,求 的值. 解：由题意，得 , 所以 , 所以 , 所以 , 所以 , 36 所以 , 所以 . 二次根式 的意义 概念 二次根式有意义的条件 二次根式的求值 被开方数_____________ 算术平方根 大于或等于零 课堂小结 像，这样表示 ___________的代数式叫做 二次根式 $