2026届高考全国二卷模拟预测数学试题五

**基本信息** 覆盖函数、几何、概率等核心模块，以“理想函数”新定义、乒乓球比赛概率等情境设计，考查数学思维与应用能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、数列、向量等|注重概念辨析与基本运算| |多选题|3/18|统计数据、立体几何线面关系|强调空间观念与数据意识| |填空题|3/15|二项式定理、椭圆离心率、函数零点|突出几何直观与抽象能力| |解答题|5/77|概率分布与期望、立体几何证明与夹角、解三角形、双曲线综合、函数新定义|分层设问，如概率题分步求概率与期望；创新情境，如“理想函数”考查逻辑推理与创新意识|

2026年全国二卷模拟预测试题五 数学参考答案 单选题 题号 1 2 3 4 6 个 答案 A D B C B c C D 二.多选题 题号 9 10 11 答案 ABD BC ACD 三.填空题 12.4 14.0,1u{e 15.解：(1)甲赢得本次比赛的第一种情况为前两局胜利，则概率为0.6×0.7=0.42，·2分 第二种情况为第1局和第3局胜利，则概率为0.6×0.3×0.5=0.09，·4分 第三种情况为第1局输剩余2局赢，则概率为0.4×0.5×0.7=0.14，…6分 故甲赢得本次比赛的概率为0.42+0.09+0.14=0.65…7分 (2)甲赢0局的概率为P(0)=0.4×0.5×0.5=0.1, …8分 赢1局的概率为P0)=0.6×0.3×0.5+0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.5=0.25,…9分 赢2局的概率为P(2)=0.6×0.7×0.3+0.6×0.3×0.5+0.4×0.5×0.7=0.356,…10分 赢3局的概率为P(3)=0.6×0.7×0.7=0.294,… …11分 0 2 3 P 0.1 0.25 0.356 0.294 则期望为0.P(0)+1P(1)+2·P(2)+3·P(3)=1.844… ……13分 16.(1)设F为CD的中点，连接AF,EF.……1分 因为E为棱PD的中点，所以EF /IPC, 又EFd平面PBC,故EF//平面PBC.· …2分 因为△ACD为正三角形，所以AF⊥DC, 又BC⊥CD,AFC平面ABCD,所以AF//BC,·3分 又AFa平面PBC,故AF/I平面PBC 因为AF∩EF=F,所以平面AEF//平面PBC.…… 第1页，共2页 又AEc平面AEF,所以AE/1平面PBC.· 0…5分 (2)连接BD,设BD与AC交于点O, 由题意，AB⊥AD,BC⊥CD,AD=CD, 所以AB=BC,AC⊥BD,故以O为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系Oz,… B.…6分 D 从而有0A=0C=√5，OB=1,0D=3, 则0-5.0.C05.0,8-0o,D3.0o,P0-5.2,E35 2-2 1 ···8分 由PA⊥平面ABCD,得AP⊥AB,又AB⊥AD,ADO PA=A, 所以AB上平面EAD,即AB为平面EAD的一个法向量，AB=-1,V3,0.·10分 题小 C=,5,0, n-Bc=0即 x+V3y=0, 设平面EBC的法向量为n=(x,y,),则 i.EB=0“ -5x+V3y-2z=0, 取y=1,得i=-V5,l,3V5.… …12分 设平面EAD与平面EBC的夹角为0，则cos0=cos元，列- i·AB 93 …14分 AB 31 故平面EAD与平面EBC夹角的余弦值为93 0…15分 31 17.:(1)sin(A-B)sin(A+B)=(sin Acos B-cos Asin B)(sin Acos B+cos Asin B) =sin2 Acos2 B-cos2 Asin2 B sin A(1-sin2B)-(1-sin2 A)sinB =sin2 4-sin2B,......................3 故有sin2A-cos2B=sin(A-B)sin(A+B)成立；…4分 (2)①由a2=b2+bc和正弦定理可得，sin2A=sin2B+sin BsinC,…5分 又sinC=sinπ-C）=sinA+B）,则有sin2A-sin2B=sin B sin(A+B),…6分 由(1)可得sin(A-B)sin(A+B)=sin B sin(A+B),因sinA+B>0, 故得，sinB=sinA-B),又A,Be(0,π， 所以B=A-B或B+(A-B）=π（不合题意舍去），… ……7分 第1页，共2页 即A=2B,又C=工，4+B+C=元，解得，A=区 ·8分 2 ②因为A=2B,A+B+C=元，所以C=元-3B;… ……9分 由正弦定理得： 加Asm8snC,即。b 。,则b=simB 1 …10分 sin2B sin B sin3B sin2B 2cos B' c-sin3Bsin2BcosB+cos2Bsin B2sin Bcos2cosB-)sin B 4cosB ……11分 sin2B 2sin Bcos B 2sin Bcos B 2cosB 则人MBC的周长为三b+c+1=T+4cosB-1+1=2cosB+1,…2分 2cos B 2cosB 又△8C是锐角三角形，由0<B<受0<2B<受0<-3B<可得<B< 2 6 4,…13分 9as89放5-1114纷 2 即△4BC的周长的取值范围是(2+1，V3+1).… 18.解：(1)由已知得渐近线方程为bx±y=0,右焦点F(2,0),知c=2.·1分 且20=2办=1，则得6=1，又02=C--3, …3分 va2+b2 c 故双曲线的标准方程为号-y=1;… ····。··4分 3 (2)(1)【法一】当直线1的斜率不存在时，直线1方程为x=2,代入双曲线方 3-y2=1, 求护-不2》3-则0州-325，又120…5纷 0N的面积Sow=0 F:MNI-52X252VS即直线x2符合题意；：6 3 3 当直线1的斜率存在时， 设其方程为y=k(x-2列k≠±⑤ 3 将其与双曲线方程联立： -y2=1 消元可得1-3k2）x2+12k2x-12k2-3=0 y=k(x-2) 则△=144k4+41-3k2)12k2+3=12k2+12>0,设M(x,y),N(x2,y2), 12k2 则+一' 12k2+3 ,………7分 3k2-1 故MN=V1+k2x-x=V1+k2 12k22 4×12k2+3-25W2+) 3k2-1 3k2-13k2-1 第1页，共2页 而点O到直线y=k(x-2)的距离h= 12 ,”…………………………0………………。…。……●。9分 V1+k2 故aOMN的面积为： 12k23(k2+1)2V5 S.=MN= 2 3k2-13 k2+1 1 整理得k 32-73,化简得15k2=1· 解得k= 0………10分 15 所以直线1方程为y=±下 5x-2）.···· …11分 综上当SAOW= 时线的苏程为？成y=-小 3 【法二】当直线I的斜率不存在时，与上同法得到直线x=2符合题意； 12k2 当直线1的斜率存在时，与上同法得到：+书=一 12k2+3 3k2-1 因y-y=kx-kx=kVx-x, 故a0w的面积5w0Fr1y-为-1，-名=25 2 3 即k 12k2 -4×12k2+32V5 3k2-1 3k2-13 整理得15：=1，解得k=±5，则得直线1方程为y=± 15 15 (x-2. 综上当SAOMN= 25时，直线的方程为r=2或y=±5(x-2 15 【法三】由题意设直线1的方程为x=my+2m≠±V⑤)， 5-y=1→m-列r+4mw+1=0 3 x=1y+2 直线1与双曲线E交于M,N两点，所以△=16m2-4m2-3=12m2+12>0, 另设M(x,),Nx2,y2, 1 则y+2= -4m m2-3’= m2-3 故MN=Vx-x)}2+(y-2)=V1+m2)-y2)月 第1页，共2页 2 点0到直线x=my+2的距离h= V1+m2, 故a0wN的面积Saw-)hMN=一1 ×V1+m2 -4m -4× 125 V1+m2 Wm2-3 m2-33 -4m 2√5.12m2+124 即 八m2-3 4×1 m2-33(m2-32 3, 解得m=0或m2=15, 所以当SAOMN三 3时，直线的方程为x2或y=士x2引 3 【法四】由题意设直线1的方程为x=my+2m≠士5， y2m2-3y+4my+1=0 x=y+2 直线1与双曲线E交于M,N两点，所以△=16m2-4m2-3=12m2+12>0, 另设M(x,y),N(x2,y2, -4m 则y+= 1 m-3'4m-3 故e0wv的面职Sow=号0F-小=+为P-4为- 2W3 31 -4m 即 4×1=2512m2+124 m2-3 m2-3-3(m2-33 解得m=0或m2=15, 所以当Saow 25时，直线1的方程为x=2或y=±5(x-2引. 15 (i) 由题意知A-V5,0),BV5,0),故可设1：x=my+2,直线与双曲线方程联立得， -y=1→m2-3到y2+4+1=0 3 x=my+2 又因为直线1与双曲线交于两点，则m?≠3，△>0， 第1页，共2页 设Mx,y)，N(x2,y2), -47m 1 则乃+y2= m2-3’y= 23 …………13分 所以直线，w的方程分别为5r何.y=5-同.…14纷 5+ 联立 g-)m+2+6 得 y=-%2 得x= 2myy2+2(y+2)_3 )……l5分 y+y yo 则可设点P小小可“ k= 2 +⑤ 26, k=3 2 -2 y0-+ yo 3 所以4+5-2*5 一=2， k, 3 -2 2 所以中为定值2.。 k …17分 19.解：(1)由题可知g(x)=cosx-bcosx+-bxsinx,则82=2 元 ………………1分 又)=1,所以ge)的图象在点 ππ 282 处的切线方程为-1-引 …2分 4 将(0,0)代入，得b= 元2 ……3分 (2)(i)由题可知f'(x)=acosx-1. ①当-1≤a≤1时，f(x)≤0恒成立，f(x)在R上单调递减， 又f(0=0,故r*0时，恒有四<0，符合题意.…5分 ②当a>1时，f'(0)=a-1>0,故存在x。>0,使得f(x)在(0，x)上单调递增， 则fxo)>f(0)=0,又f(2a)=a(sin2a-2)<0,………7分 故当x∈(0，x,x2=2a时， x)f(<0,不符合题意. Xx2 综上，实数☑的取值范围为[-1，.…8分 第1页，共2页 (i)由题可知h(x)=sinx-bxcosx+2(sinx-x)cosx=cosx-[tanx-(b+2)x+2sinx], 令p()=tanx-6+2x+2sinx,x∈22： ππ 1 则p'(x)= -+2cosx-b-2, cos 令μ(x)=p'(x),则u'(x)=2sinx 因为当x(受0j时，)<0，当xe0时，i0, 故()即p在（受0上苹调避减，在(0 上单调递增， 且当x→士时，p()→+0，p(0)=1-b.…10分 0当6≤1时，p≥0恒成立，)在受）上单调递塔， 又po=0,故p()在（受0上相小于0，在0 上恒大于0， 又h(x)=cosx·p(x)且cosx>0, 故在（受00上.恒有细>0，符合题意… …………13分 ②当b>1时，p(0)<0,必存在m∈0， 使得p'(m)=0, 则p(x)在(0，m)上单调递减，在m 2 上单调递增，且o(m)<0,当x→5时，p)→+0， 2 故存在n∈m 2 使得p(n)=0 故在(0，m)上恒小于0，在n,上恒大于0， 2 则当x∈(0，m),xe,2 时， f<0,不符合题意.…16分 XX2 综上，b的取值范围为(-00,1川.……17分 第1页，共2页 2026年全国二卷模拟预测试题五 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷 选择题 58分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在数列中，，则 A．6072 B．6073 C．6074 D．6075 4．已知，则 A． B． C． D． 5．已知是等比数列，，前n项和为，则“”是“为递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，则向量的夹角为 A． B． C． D． 7．某停车场规定：连续停车时间不超过3小时，车主需缴费5元；若连续停车超过3小时，则每多停1小时，车主需多缴3元（不足1小时按1小时计算）.若车主甲于某日驶离该停车场时缴费20元，则甲当日驶入停车场的时间可以为 A． B． C． D． 8．若数列的前项和为，，且，则 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某会计统计公司购入材料的实际成本分别为14500，5800，11600，6000，8700，则 A．这组数据的平均数为9320 B．这组数据的第30百分位数为6000 C．这组数据的第80百分位数为11600 D．这组数据的极差为8700 10．在平行六面体中，分别是 的中点，则 A． B．平面 C． D．平面 11．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过F的直线与C交于A，B两点，连接并延长与准线相交于点P，与x轴交于Q点，准线与y轴交于点G，则 A． B．为锐角 C． D． 第II卷 非选择题 92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．二项式展开式中的常数项为______．（用数字作答） 13．已知椭圆的左右焦点分别为，P是椭圆上一点，且成等比数列，则椭圆离心率的最大值为_____________． 14．已知只有1个零点，则a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5． (1)求甲赢得本次比赛的概率； (2)用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，为正三角形，，，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分） 已知中，角A，B，C对应边分别为a，b，c. (1)求证：； (2)已知. ①若，求A； ②若是锐角三角形，且，求周长的取值范围. 18．（17分） 已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线AM与直线BN交于点P，记直线AM，BN，PF的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由. 19.（17分） 若对于函数的定义域内的任意非零实数，恒有，则称为区间上的“理想”函数．已知函数． (1)若的图象在点处的切线经过坐标原点，求． (2)若是定义在上的“理想”函数，且， （i）求的取值范围； （ii）若当取最大值时，是定义在上的“理想”函数，求的取值范围． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $