精品解析：辽宁省沈阳市大东区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 温州博物馆 B. 西藏博物馆 C. 广东博物馆 D. 湖北博物馆 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. （a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B. x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 C. x2y＝x•x•y D. a2﹣3a＝a（a﹣3） 4. 到三角形各顶点距离相等的点是（ ） A. 三条高交点 B. 三个内角平分线交点 C. 三条中线交点 D. 三条边垂直平分线交点 5. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是 A. B. C. D. 7. 下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ） A. ，， B. C. ， D. 8. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11 如图，将沿方向平移之后得到，若，则_____． 12. 长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为_____． 13. 在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，△BCD为等边三角形，且AD＝2,则四边形ABCD的周长为_________ 14. 已知不等式的解集是，则a的取值范围是_______． 15. 如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当时，的长为____________________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）因式分解：① ② （2）解不等式组： 17. 如图，中，，平分，于E．求证： （1）； （2）直线是线段的垂直平分线． 18. 已知：如图，一次函数与的图象相交于点C． （1）求点C的坐标； （2）若一次函数为与的图象与x轴分别相交于点A、B，求的面积； （3）结合图象，直接写出时x的取值范围． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标：___________． 20. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．∵，∴当时，原式有最小值，最小值为．根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足求的周长． 21. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． （1）购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（）的条件下，若该商场分别以元个、元个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔个，能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 22. 如图，在中，于点，，． （1）求的长； （2）若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求长． 23. 当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 温州博物馆 B. 西藏博物馆 C. 广东博物馆 D. 湖北博物馆 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的概念，轴对称图形：在同一平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形和原图完全重合，那么这个图形就叫做中心图形． 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴一定成立， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴不一定成立，符合题意， 故D符合题意； 故选D． 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. （a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B. x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 C. x2y＝x•x•y D. a2﹣3a＝a（a﹣3） 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．原式不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； D．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分． 4. 到三角形各顶点距离相等的点是（ ） A. 三条高交点 B. 三个内角平分线交点 C. 三条中线交点 D. 三条边垂直平分线交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定：到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．根据线段垂直平分线的判定即可直接得出答案． 【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 5. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断． 【详解】解：A. 是与的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意； B. 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意； C. 是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意； D. 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知解集确定出数轴上表示的解集即可． 【详解】解：不等式组的解集表示在数轴上为： 故选C． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，分清界点是解题的关键． 7. 下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ） A. ，， B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项B符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：B． 8. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解决旋转问题的关键是找准旋转角和旋转后的对应相等的量．根据旋转的性质可知，所以理由角的和差求出度数即可． 【详解】解：， 根据旋转的性质可知． 故选：B 9. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象知：当时，， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大． 10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，将沿方向平移之后得到，若，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 先利用平移的性质得，然后利用，即可求出答案． 【详解】解：沿方向平移得到， ， ． 故答案为：7． 12. 长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，由周长和面积可分别求得和的值，再利用提公因式法把所求代数式转化为，代入计算即可求解，利用提公因式法把原式转化成是解题关键． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：． 13. 在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，△BCD为等边三角形，且AD＝2,则四边形ABCD的周长为_________ 【答案】 【解析】 【分析】过D作DE⊥BC于E，根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质解答． 【详解】解：过D作DE⊥BC于E ∵△BCD为等边三角形 ∴∠DBC=60°，DB=BC=CD， ∵∠ABC=90° ∴∠ABD=30°， ∵在Rt△ABC中，∠ABD=30°，AD=2 ∴DB=4， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ， ∴C四边形ABCD=AB+BC+CD+DA= 故答案为：. 【点睛】本题考查了含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是注意含有30°角的直角三角形的性质使用． 14. 已知不等式的解集是，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组的求解规律：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解，探究a的取值范围即可． 【详解】解：由不等式组的解集是， 因此a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15. 如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，．当时，的长为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，由题意得，，由勾股定理得，，则，由，可知在的延长线上，如图，由旋转的性质可得，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，点D为的中点， ∴，， 由勾股定理得， ， ∴， ∵， ∴在的延长线上，如图， 由旋转的性质可得，， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．明确时点Q的位置是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）因式分解：① ② （2）解不等式组： 【答案】（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解一元一次不等式组， （1）①先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； ②利用平方差公式因式分解即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2） 解不等式得：， 解不等式得：， 故不等式组的解集为：． 17. 如图，中，，平分，于E．求证： （1）； （2）直线是线段的垂直平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定； （1）根据角平分线的性质可得，从而证明，即可证明； （2）根据垂直平分线的判定证明即可． 【小问1详解】 证明：∵，平分，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 18. 已知：如图，一次函数与的图象相交于点C． （1）求点C的坐标； （2）若一次函数为与的图象与x轴分别相交于点A、B，求的面积； （3）结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）点C坐标为 （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求点C的坐标； （2）分别求出A、B两点坐标，然后可得△ABC的面积； （3）根据图象可直接得到时x的取值范围． 【小问1详解】 联立两函数解析式可得方程组 ， 解得：， ∴点C的坐标为（1，-3）； 【小问2详解】 当时,，解得:， ∴A（4，0）， 当时，，解得：， ∴B（-2，0）， ∴ ∵点C坐标为 ∴点C到的距离为3 ∴△ABC的面积为：； 【小问3详解】 由图象可得：时x的取值范围是． 【点睛】此题主要考查了一次函数和一元一次不等式，二元一次方程组，关键是正确求出两函数图象与x轴交点，掌握数形结合思想． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标：___________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移、中心对称，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据平移方式，画出顶点的对应点分别为，再顺次连接即可得到； （2）根据中心对称方式，画出顶点的对应点分别为，再顺次连接即可得到； （3）结合图形得到的坐标，再根据旋转中心在旋转对应点连线的垂直平分线上即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问3详解】 解：由图可得，，，，，，， 的中点为，的中点为，的中点为， 点同时在、、的垂直平分线上， 又将绕某一点旋转可得到， 旋转中心的坐标为． 故答案为：． 20. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．∵，∴当时，原式有最小值，最小值为．根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握完全平方差，平方差公式，平方的非负性，即可． （1）根据材料方法，对式子进行因式分解，即可； （2）根据材料下对式子进行因式分解，再根据平方的非负性，即可； （3）根据材料对进行化简，求出，，的值，即可． 【小问1详解】 ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ∵， ∴当时，原式有最小值，最小值为． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 21. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． （1）购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（）的条件下，若该商场分别以元个、元个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔个，能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元； （2）个； （3）能实现利润超过元的目标，该商场有两种采购方案：采购甲型头盔个，采购乙型头盔个；采购甲型头盔个，采购乙型头盔个． 【解析】 【分析】（）设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （）设乙型头盔个，根据所需费用数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔的最大值； （）根据利润单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔的取值范围，结合（）中答案确定的取值范围，即可得出可选方案； 本题考查了二元一次方程组和不等式的综合应用，解题的关键是根据题意列方程组和不等式并求解，同时注意在确定方案时所设未知数应取整数． 【小问1详解】 设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元， 根据题意，得 ， 解得，； 答：购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元； 【小问2详解】 设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意，得：， 解得：， ∴的最大值为； 答：最多可购进乙型头盔个； 【小问3详解】 能，根据题意，得：； 解得：； ∴； ∵整数， ∴可取或，对应的的值分别为或， 因此能实现利润超过元的目标，该商场有两种采购方案： 采购甲型头盔个，采购乙型头盔个；采购甲型头盔个，采购乙型头盔个． 22. 如图，在中，于点，，． （1）求的长； （2）若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识． （1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得； （2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得； ②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； 【小问2详解】 解：①在中，由勾股定理得：． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 如图，当点在线段上时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时． ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 23. 当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出周长． 【答案】（1），理由见解答；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，根据勾股定理解出即可； （3）（3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴中，， ∴， 解得：， ∴． （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $