专题03一元一次不等式与不等式组易错必刷题型专练(13大题型共计49道题)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式与不等式组全章高频易错题型，通过15类题型系统梳理易错点，构建从基础解法到综合应用的知识逻辑链，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法（含绝对值）|5类/21题|针对去分母漏乘、系数变号等易错点总结规避策略|从解集求解到数轴表示、整数解、最值，逐步深化概念理解| |不等式组综合|4类/16题|提炼解集判定、参数求解的临界值分析法|结合方程组与参数问题，构建代数推理体系| |实际应用|5类/20题|归纳经济、分配等问题的不等关系建模方法|强化数学与现实联系，发展应用意识| |新定义运算|1类/6题|训练抽象运算规则转化与符号推理能力|拓展数学思维，提升创新意识|

专题03一元一次不等式与不等式组易错必刷题型专练 本专题汇总一元一次不等式与不等式组全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.求一元一次不等式的解集 题型02.在数轴上表示不等式的解集 题型03.求一元一次不等式的整数解 题型04.求一元一次不等式解的最值 题型05.解|x|a型不等式 题型06.用一元一次不等式解决实际问题 题型07.求不等式组的解集 题型08.求一元一次不等式组的整数解 题型09.由不等式组的解集求参数 题型10.由不等式组解集的情况求参数 题型11.不等式组和方程组结合问题 题型12.不等式组经济问题 题型13.不等式组分配问题 题型14.不等式组方案选择问题 题型15.新定义运算 易错必刷题型01.求一元一次不等式的解集 典题特征：常规整式、分式结构一元一次不等式求解 易错点：①去分母漏乘常数项 ②系数为负未变更不等号方向 ③移项符号出错 1．下列数中，能使不等式成立的的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若不等式的解集为，则m必须满足_______． 3．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______． 易错必刷题型02.在数轴上表示不等式的解集 典题特征：依据解集规范绘制数轴对应区间 易错点：①实心点与空心圈混用 ②解集绘制方向颠倒 ③刻度端点标注失误 5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 6．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 7．关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 8．若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 9．解下列不等式． (1)解不等式：，并把解集表示在数轴上； (2)求不等式的负整数解． 易错必刷题型03.求一元一次不等式的整数解 典题特征：根据不等式解集筛选指定类型整数 易错点：①边界数值判定失误 ②整数个数漏算重算 ③忽略限定整数类别要求 10．不等式的非负整数解有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．不等式的非正整数解有_____个． 12．下列说法错误的是（   ） A．的解集是 B．的整数解有无数个 C．是的一个解 D．的整数解为 13．正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，例如：，则满足等式的正整数的个数为（　　） A．2 B．3 C．12 D．16 易错必刷题型04.求一元一次不等式解的最值 典题特征：结合解集求取对应数值最大、最小值 易错点：①混淆解集端点与最值概念 ②忽视附加取值限制条件 14．已知的最小值为，的最大值为，则_______． 15．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 16．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 易错必刷题型05.解|x|a型不等式 典题特征：含绝对值结构的一元一次不等式计算 易错点：①绝对值不等关系判定错误 ②忽略特殊取值情形 ③去绝对值符号出错 18．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 19．已知不等式的解是，则a＝_______． 20．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 21．观察下列不等式及其解集： ①的解集为：或； ②的解集为：或； ③的解集为：或．回答下列问题： (1)的解集是___________． (2)归纳：当时，不等式的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式． 易错必刷题型06.用一元一次不等式解决实际问题 典题特征：生活应用类题干构建不等关系解题 易错点：①不等关系梳理偏差 ②列式书写格式不规范 ③结果未贴合实际取值要求 22．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，最大关节扭矩可达，使其动作复杂而灵动．此款机器人的关节扭矩（）应满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 23．为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了20道选择题，答对1道得5分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于85分，则他至少要答对的题数是_______． 24．某商店老板以每件80元购进一批熊猫主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（   ） A． B． C． D． 25．七年级新学期．两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲桌上，小英对其高度进行了测量，请根据下图中所给出的数据信息．回答下列问题： (1)每本课本的厚度为_________； (2)若有一摞上述规格的课本本．请用含有的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)现桌面上有若干本此规格的课本，整齐地叠放成一摞，若这摞课本距离地面的高度不超过，求这摞课本最多有多少本． 易错必刷题型07.求不等式组的解集 典题特征：多个一元一次不等式联立求取公共解集 易错点：①单独求解步骤出错 ②解集判定口诀运用错误 ③等号边界取舍不当 26．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 27．不等式组的解集是_____ 28．已知实数，满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 29．解不等式组，并写出它的所有整数解的和． 易错必刷题型08.求一元一次不等式组的整数解 典题特征：由不等式组公共解集筛选对应整数 易错点：①未求取公共解集直接判定 ②边界取值判断错误 ③参数影响下计数偏差 30．能使不等式成立的所有整数x的和是（    ） A．3 B．7 C．9 D．10 31．不等式组的正整数解是___________． 32．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 33．解不等式组：，并写出它所有的正整数解． 易错必刷题型09.由不等式组的解集求参数 典题特征：已知解集反向推导参数取值范围 易错点：①临界等号判定失误 ②忽略参数固有限制 ③多参数关联考量不全 34．若不等式组的解为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 35．若关于的不等式组的解集为，则的值为________． 36．已知，，且满足，，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 37．关于的不等式的解集都是不等式的解，求的取值范围． 易错必刷题型10.由不等式组解集的情况求参数 典题特征：依据有解、无解、整数解数量求参数 易错点：①解集存在条件区分混淆 ②临界取值把控不准 ③参数范围推导逻辑错误 38．若不等式组的解是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 39．若不等式组有一个整数解为，则a的取值范围是___________． 40．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．当为何值时，关于的不等式组恰有一个解？ 易错必刷题型11.不等式组和方程组结合问题 典题特征：方程组解满足不等式组限定条件求参 易错点：①方程组计算出错 ②数值代入替换失误 ③附加取值条件遗漏 42．关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______． 43．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 44．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 45．若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 易错必刷题型12.不等式组经济问题 典题特征：成本、收益类经济场景应用题型 易错点：①数量与金额不等关系列错 ②可行条件考量缺失 ③方案对比判定失误 46．某商场购进两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？（列不等式组求解） 47．年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 48．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 易错必刷题型13.不等式组分配问题 典题特征：物资、人员分配类数量关系题型 易错点：①关键词对应不等关系错误 ②忽视正整数取值要求 ③多条件联立求解失误 49．课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 50．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 51．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 易错必刷题型14.不等式组方案选择问题 典题特征：多类限定条件下选取可行最优方案 易错点：①限制条件罗列不全 ②可行方案统计遗漏 ③非合规方案错误纳入 52．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 53．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，已知购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉共需资金2700元；购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉共需资金4600元． (1)求甲、乙两种型号的微波炉每台的进价分别为多少元． (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且超过万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，共有几种进货方案？请写出所有的进货方案． 54．小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 易错必刷题型15.新定义运算 典题特征：给定全新运算规则，转化为不等式解题 易错点：①运算规则理解偏差 ②分段题型遗漏讨论情形 ③式子转化符号系数出错 ④参数结合类范围判定失误 55．定义：规定，例如：，．问题： (1) ______； (2)若，则x的值为______； (3)若，则x的取值范围为______． 56．对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 57．我们规定一种新运算，对于实数a，b，c，d，有．若正整数x满足，则满足条件的x的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 58．对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则______． 59．定义一种新运算“”∶当时，；当时，．例如： ， (1)__________________，________________ (2)已知，求的取值范围． 60．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元一次不等式与不等式组易错必刷题型专练 本专题汇总一元一次不等式与不等式组全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.求一元一次不等式的解集 题型02.在数轴上表示不等式的解集 题型03.求一元一次不等式的整数解 题型04.求一元一次不等式解的最值 题型05.解|x|a型不等式 题型06.用一元一次不等式解决实际问题 题型07.求不等式组的解集 题型08.求一元一次不等式组的整数解 题型09.由不等式组的解集求参数 题型10.由不等式组解集的情况求参数 题型11.不等式组和方程组结合问题 题型12.不等式组经济问题 题型13.不等式组分配问题 题型14.不等式组方案选择问题 题型15.新定义运算 易错必刷题型01.求一元一次不等式的解集 典题特征：常规整式、分式结构一元一次不等式求解 易错点：①去分母漏乘常数项 ②系数为负未变更不等号方向 ③移项符号出错 1．下列数中，能使不等式成立的的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再对比选项选出符合要求的答案即可． 【详解】解： ， 移项得 ， ∴ ； 对比选项： A选项：，满足不等式要求，故A选项符合题意； B选项：，不满足不等式要求，故B选项不符合题意； C选项：，不满足不等式要求，故C选项不符合题意； D选项：，不满足不等式要求，故D选项不符合题意． 2．若不等式的解集为，则m必须满足_______． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵不等式的解集为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号方向发生了改变， ∴， ∴． 3．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由第一个不等式的解集确定，且，化简第二个不等式可得，结合可得． 【详解】解：， ∴， ∵解集为， ∴，且， ∴， ， ∴， 移项并合并同类项，得， ∵， ∴两边同除以，得． 4．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先根据第一个不等式的解集求出，，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 关于x的不等式的解集是， ，， 可变形为，即， 解得． 易错必刷题型02.在数轴上表示不等式的解集 典题特征：依据解集规范绘制数轴对应区间 易错点：①实心点与空心圈混用 ②解集绘制方向颠倒 ③刻度端点标注失误 5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集，然后进行判断即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 在数轴上表示不等式的解集，如图所示： 6．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集； 先由数轴判断不等式的解集，再根据解集写出一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知解集为， ∴解集是的一元一次不等式为：， 故答案为：． 7．关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先解不等式可得，再根据题意可得不等式的解集为，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得，， 由题意得：不等式的解集为， ∴， 解得． 8．若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及二元一次方程组的解，能根据题意用表示出及熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据所给方程组，用表示出，再根据与的和不大于建立关于的不等式，据此可解决问题． 【详解】解： 得，， 与的和不大于， ， 解得． 在数轴上表示为： 故选：A． 9．解下列不等式． (1)解不等式：，并把解集表示在数轴上； (2)求不等式的负整数解． 【答案】(1)，见解析 (2)， 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，再把解集表示在数轴上即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，再写出它的负整数解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 把解集表示在数轴上如下： ． （2）解：， 两边同乘以6去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以这个不等式的负整数解为，． 易错必刷题型03.求一元一次不等式的整数解 典题特征：根据不等式解集筛选指定类型整数 易错点：①边界数值判定失误 ②整数个数漏算重算 ③忽略限定整数类别要求 10．不等式的非负整数解有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先利用一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集中找出符合要求的非负整数，统计个数即可得到答案. 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为1得 ， ∴ 不等式的非负整数解为 ，共4个． 11．不等式的非正整数解有_____个． 【答案】5 【分析】先求出不等式的解集，再求出满足要求的非正整数解，统计个数即可． 【详解】解：， ， ， ∴不等式的非正整数解有：，，，，一共5个． 12．下列说法错误的是（   ） A．的解集是 B．的整数解有无数个 C．是的一个解 D．的整数解为 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的解集与解的概念，需逐一分析各选项判断正误． 【详解】解：∵解不等式，两边同时除以（不等号方向改变）， ∴，故A说法正确． ∵小于的整数有，有无数个. ∴B说法正确． ∵解不等式，两边同时除以（不等号方向改变）. ∴，又∵. ∴是该不等式的解，故C说法正确． ∵的整数解除外，还有无数个负整数. ∴D说法错误． 故选：D． 13．正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，例如：，则满足等式的正整数的个数为（　　） A．2 B．3 C．12 D．16 【答案】D 【分析】利用不等式[x]≤x即可求出满足条件的n的值． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且n＜100， ∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查不等式以及取整，关键是要正确理解取整的定义，以及[x]≤x＜[x]+1式子的应用，这个式子在取整中经常用到． 易错必刷题型04.求一元一次不等式解的最值 典题特征：结合解集求取对应数值最大、最小值 易错点：①混淆解集端点与最值概念 ②忽视附加取值限制条件 14．已知的最小值为，的最大值为，则_______． 【答案】 【详解】求一元一次不等式解的最值、已知字母的值 ，求代数式的值 略 15．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 16．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 17．已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 易错必刷题型05.解|x|a型不等式 典题特征：含绝对值结构的一元一次不等式计算 易错点：①绝对值不等关系判定错误 ②忽略特殊取值情形 ③去绝对值符号出错 18．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 19．已知不等式的解是，则a＝_______． 【答案】 【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可． 【详解】∵ ∴，即， ∴ ∴或 ∴或 ∵不等式的解是， ∴应舍去， ∴，解得， 经检验，是方程的解． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解． 20．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 21．观察下列不等式及其解集： ①的解集为：或； ②的解集为：或； ③的解集为：或．回答下列问题： (1)的解集是___________． (2)归纳：当时，不等式的解集是___________． (3)运用（2）中的结论解不等式． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查求不等式的解集，熟练掌握题干中的求解方法，是解题的关键： （1）仿照题干，作答即可； （2）仿照题干，作答即可； （3）利用（2）中结论，得到①或②，进行求解即可． 【详解】（1）解：的解集是或； （2）当时，不等式的解集是或； （3）由（2）可知，不等式， 可化为①或②， 解①得，，解②得，． 故不等式的解集为：或． 易错必刷题型06.用一元一次不等式解决实际问题 典题特征：生活应用类题干构建不等关系解题 易错点：①不等关系梳理偏差 ②列式书写格式不规范 ③结果未贴合实际取值要求 22．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，最大关节扭矩可达，使其动作复杂而灵动．此款机器人的关节扭矩（）应满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵最大关节扭矩可达 ∴此款机器人的关节扭矩（）应满足的不等关系为． 23．为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了20道选择题，答对1道得5分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于85分，则他至少要答对的题数是_______． 【答案】18 【分析】根据各数量间的不等关系正确列出一元一次不等式即可求解，题数为正整数，需根据不等式解集取最小正整数得到结果． 【详解】解：设他答对的题数为，则答错或不答的题数为，根据题意列不等式得： ， 解得：， 为正整数， 的最小值为， 即他至少要答对的题数是18． 24．某商店老板以每件80元购进一批熊猫主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于，若设该卫衣打折销售，则可列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该卫衣打折销售，实际售价为，利润为，根据利润率是利润占进价的百分比，列出不等式即可． 【详解】解：设该卫衣打折销售， 则有． 25．七年级新学期．两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲桌上，小英对其高度进行了测量，请根据下图中所给出的数据信息．回答下列问题： (1)每本课本的厚度为_________； (2)若有一摞上述规格的课本本．请用含有的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)现桌面上有若干本此规格的课本，整齐地叠放成一摞，若这摞课本距离地面的高度不超过，求这摞课本最多有多少本． 【答案】(1)0.6 (2) (3) 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）先求出讲台的高度，再用讲台的高度加上n本课本的高度即为所求的代数式； （3）根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：每本课本的厚度为：． （2）解：讲台高度为：， ∴这一摞课本的顶部距离地面的高度为； （3）解：由题意得，， 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为． 易错必刷题型07.求不等式组的解集 典题特征：多个一元一次不等式联立求取公共解集 易错点：①单独求解步骤出错 ②解集判定口诀运用错误 ③等号边界取舍不当 26．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解不等式组中每个不等式的解集，再根据一元一次不等式组的解集确定原则，找出两个解集的公共部分即可得到答案． 【详解】解：记不等式组为 解不等式②，移项得． ∵不等式①的解集为，不等式②的解集为， 根据“同大取大”的原则，两个解集的公共部分为， ∴不等式组的解集为． 27．不等式组的解集是_____ 【答案】 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组的解集是． 28．已知实数，满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知，即，，根据求出b的取值范围，进而根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴，，， 即，，， 可知判断正确的是D． 29．解不等式组，并写出它的所有整数解的和． 【答案】，不等式组整数解的和为0 【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解：， 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解是：，， ∴不等式组整数解的和为． 易错必刷题型08.求一元一次不等式组的整数解 典题特征：由不等式组公共解集筛选对应整数 易错点：①未求取公共解集直接判定 ②边界取值判断错误 ③参数影响下计数偏差 30．能使不等式成立的所有整数x的和是（    ） A．3 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查不等式组的整数解，先估算，然后得到整数解求和即可． 【详解】解：∵， ∴不等式成立的所有整数为，，，，，，， ∴所有整数x的和是， 故选：B． 31．不等式组的正整数解是___________． 【答案】1， 2， 3 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 该不等式组的正整数解为． 32．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出每个不等式的解集，求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知条件得出关于a的不等式组即可． 【详解】解： 由①得： 由②得： ∴不等式组解集：， ∵不等式组有3个整数解， ∴不等式组有3个整数解为、0、1． ∴的取值范围是． 33．解不等式组：，并写出它所有的正整数解． 【答案】不等式组的正整数解为1、2 【分析】分别求解不等式组中两个不等式的解集，求出两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，再在总解集中找出所有正整数即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 原不等式组的解为： 则不等式组的正整数解为：1、2． 易错必刷题型09.由不等式组的解集求参数 典题特征：已知解集反向推导参数取值范围 易错点：①临界等号判定失误 ②忽略参数固有限制 ③多参数关联考量不全 34．若不等式组的解为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和不等式组解集的确定方法，熟练掌握不等式组解集的确定方法是解本题的关键．根据“都小取小”的不等式解集确定方法进行解答即可． 【详解】解：∵不等式组的解为， ∴， 故选：B. 35．若关于的不等式组的解集为，则的值为________． 【答案】5 【分析】先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，结合已知的不等式组解集得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：解不等式， 移项得， 系数化为得：． 解不等式， 移项得， 系数化为得：． 不等式组的解集为， ， 解得． 36．已知，，且满足，，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用a表示b和c，再根据，求出a和c的取值范围，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 将代入得， ∵，， ∴， 解得， 故 ，因此A错误； ， ∵，∴ ，因此B错误； ，不与相同，因此选项C错误； ∵，， ∴不等式各项加得， 即，因此D正确． 37．关于的不等式的解集都是不等式的解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系即可求出的取值范围． 【详解】解：将关于的不等式去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； 将关于的不等式去分母得，， 移项合并同类项得，， 解得． 由题意可知，， 解得． 易错必刷题型10.由不等式组解集的情况求参数 典题特征：依据有解、无解、整数解数量求参数 易错点：①解集存在条件区分混淆 ②临界取值把控不准 ③参数范围推导逻辑错误 38．若不等式组的解是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组的取值方法“同大取大”，即可求解． 【详解】解：不等式组的解是， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查不等式组的取值方法，掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的取值方法是解题的关键． 39．若不等式组有一个整数解为，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组有一个整数解为7，列出关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得， ∵不等式组有一个整数解为， ∴不等式组的解集为， ∴， ∴． 40．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解第一个不等式得到解集，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，结合已知的不等式组解集，推导出a的取值范围． 【详解】解不等式组 ， 解不等式①，移项得 ，即 ， ∵ 该不等式组的解集为 ，符合“同大取大”的解集规律 ∴ ． 41．当为何值时，关于的不等式组恰有一个解？ 【答案】 【分析】先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有一个解，即可得出的值． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 根据题意得，， 解得，， 当时，关于的不等式组恰有一个解． 易错必刷题型11.不等式组和方程组结合问题 典题特征：方程组解满足不等式组限定条件求参 易错点：①方程组计算出错 ②数值代入替换失误 ③附加取值条件遗漏 42．关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先把两式相加求出的值，再代入中得到关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ①②得，， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组的解以及解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知条件表示出2x+y的值，再得到关于m的不等式． 43．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 44．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 45．若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程用含k的式子表示x、y，根据方程组的解都是非负数得出关于k的不等式组，解之可得； （2）把（1）中方程组的解代入，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴， ∵方程组的解都是非负数， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：． 易错必刷题型12.不等式组经济问题 典题特征：成本、收益类经济场景应用题型 易错点：①数量与金额不等关系列错 ②可行条件考量缺失 ③方案对比判定失误 46．某商场购进两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？（列不等式组求解） 【答案】购进商品的件数为19件或20件 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用： 设购进件商品，则购进件商品，根据购进商品的件数不少于商品件数的2倍，利润不低于1770元列出不等式组求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品， 则， 解得， 为整数， 的值为19或20． 答：购进商品的件数为19件或20件． 47．年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 【答案】共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 【分析】设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台，根据题意得，然后解不等式组即可． 【详解】解：万元元，设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台， 根据题意得， 解第一个不等式得； 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， 因为为正整数， 所以的取值为或， 当时，； 当时，， 答：共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 48．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 【答案】(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 易错必刷题型13.不等式组分配问题 典题特征：物资、人员分配类数量关系题型 易错点：①关键词对应不等关系错误 ②忽视正整数取值要求 ③多条件联立求解失误 49．课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 50．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 51．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 易错必刷题型14.不等式组方案选择问题 典题特征：多类限定条件下选取可行最优方案 易错点：①限制条件罗列不全 ②可行方案统计遗漏 ③非合规方案错误纳入 52．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【答案】(1)“科普类”图书的单价为20元，“文学类”图书的单价为16元 (2)①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，根据共花费1240元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论； （2）设“文学类”书购a本，根据总价单价数量，结合总费用超过1790元且不超过1800元，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，                         由题意得：， 解得：， 则，                        答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元； （2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本， 依题意得：， 解得：． 因为a是正整数，所以． ∴学校有3种购买方案：                         ①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本； ②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本； ③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本． 53．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，已知购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉共需资金2700元；购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉共需资金4600元． (1)求甲、乙两种型号的微波炉每台的进价分别为多少元． (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且超过万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，共有几种进货方案？请写出所有的进货方案． 【答案】(1)甲种型号的微波炉每台的进价为1100元，乙种型号的微波炉每台的进价为800元； (2)共有3种方案：方案1，购进甲种型号的微波炉8台，购进乙种型号的微波炉12台；方案2，购进甲种型号的微波炉9台，购进乙种型号的微波炉11台；方案3，购进甲种型号的微波炉10台，购进乙种型号的微波炉10台． 【分析】（1）设甲种型号的微波炉每台的进价为x元，乙种型号的微波炉每台的进价为y元，根据购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉共需资金2700元；购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉共需资金4600元建立方程组求解即可； （2）设购进甲种型号的微波炉m台，则购进乙种型号的微波炉台，根据用不多于万元且超过万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种型号的微波炉每台的进价为x元，乙种型号的微波炉每台的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种型号的微波炉每台的进价为1100元，乙种型号的微波炉每台的进价为800元； （2）解：设购进甲种型号的微波炉m台，则购进乙种型号的微波炉台， 由题意得，， 解得， 又∵m为整数， ∴m的值可以为8或9或10， 当时，， 当时，， 当时，， 答：共有3种方案：方案1，购进甲种型号的微波炉8台，购进乙种型号的微波炉12台；方案2，购进甲种型号的微波炉9台，购进乙种型号的微波炉11台；方案3，购进甲种型号的微波炉10台，购进乙种型号的微波炉10台． 54．小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)小王共有种采购方案，其中购进纪念徽章个、吉祥摆件个的方案最省钱 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解，得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1744元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数得到采购方案数量，计算出每种方案所需费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元， 根据题意可得 ， 解得． 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件 个，m为正整数， 根据题意可得， 解得， 因为m为正整数， 所以m的取值为34，35，36，共3种采购方案， 设总费用为W元，则， 时，； 时，； 时，； 可得当时，W取得最小值，此时． 答：小王有3种采购方案，其中购进纪念徽章34个、吉祥摆件66个的方案最省钱． 易错必刷题型15.新定义运算 典题特征：给定全新运算规则，转化为不等式解题 易错点：①运算规则理解偏差 ②分段题型遗漏讨论情形 ③式子转化符号系数出错 ④参数结合类范围判定失误 55．定义：规定，例如：，．问题： (1) ______； (2)若，则x的值为______； (3)若，则x的取值范围为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干中的规定求解即可； （2）根据题干中的规定可得，求解即可； （3）根据题干中的规定可得，求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， 解得：． 56．对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义运算可得不等式组为，分别求出每个不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：∵对于实数，定义一种运算“”：， ∴不等式组为， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 将解集在数轴上表示如图： ． 57．我们规定一种新运算，对于实数a，b，c，d，有．若正整数x满足，则满足条件的x的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】先根据列出不等式，求出，再得出正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴满足条件的正整数值有1，2共2个． 58．对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则______． 【答案】或 【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键．根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴ 解得， ∵关于的不等式的最大整数解为， ∴ 解得 ∵为最大整数， ∴或； 故答案为：或 59．定义一种新运算“”∶当时，；当时，．例如： ， (1)__________________，________________ (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据新定义进行计算即可； （2）分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，． ∴，． （2）解：∵，当时，；当时，， ∴①或② 由①得； 由②得不等式组无解； 的取值范围为． 60．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)整数的最小值为 (3) 【分析】（1）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义进行判断； （2）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解； （3）分别解方程组和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程， ， ， 解得； 解不等式， ， 解得； ， 方程的解是不等式的“内含解”． （2）解：解方程， ， 解得． ， ， 解不等式， ， ， ， 解得． 由“内含解”的定义，得， ， ， 解得， 整数的最小值为． （3）解：， 由，得， ，方程组的解是不等式的“内含解”， ，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $